Непрерывный процесс выборки

В математике процесс с выборочной непрерывностью — это стохастический процесс , пути выборки которого почти наверняка являются непрерывными функциями .

Определение

Пусть (Ω, Σ, P ) — вероятностное пространство . Пусть X : I × Ω → S — случайный процесс, где набор индексов I и пространство состояний S являются топологическими пространствами . Тогда процесс X называется выборочно-непрерывным (или почти наверняка непрерывным , или просто непрерывным ), если отображение X ( ω ) : I → S непрерывно как функция топологических пространств для P — почти всех ω в Ω .

Во многих примерах набор индексов I представляет собой интервал времени [0, T ] или [0, +∞), а пространство состояний S представляет собой действительную линию или n - мерное евклидово пространство R. ^н .

Примеры

• Броуновское движение ( винеровский процесс ) в евклидовом пространстве выборочно-непрерывно.
• При «хороших» параметрах уравнений решения стохастических дифференциальных уравнений являются выборочно-непрерывными. См. теорему существования и единственности в статье о стохастических дифференциальных уравнениях, чтобы узнать о некоторых достаточных условиях, обеспечивающих непрерывность выборки.
• Процесс X : [0, +∞) × Ω → R , который совершает равновероятные скачки вверх или вниз в единицу времени в соответствии с

${\begin{cases}X_{t}\sim \mathrm {Unif} (\{X_{t-1}-1,X_{t-1}+1\}),&t{\mbox{ an integer;}}\\X_{t}=X_{\lfloor t\rfloor },&t{\mbox{ not an integer;}}\end{cases}}$

является не выборочно-непрерывным. На самом деле, оно, безусловно, прерывисто.

Характеристики

• Для выборочно-непрерывных процессов конечномерные распределения определяют закон и наоборот.

См. также

• Непрерывный случайный процесс

Ссылки

• Клоден, Питер Э.; Платен, Экхард (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений . Приложения математики (Нью-Йорк) 23. Берлин: Springer-Verlag. стр. 38–39. ISBN  3-540-54062-8 .