Местное время (математика)

Пример пути процесса Ито вместе с его поверхностью местного времени.

В математической теории случайных процессов локальное время — это случайный процесс, связанный с семимартингальными процессами, такими как броуновское движение , которое характеризует количество времени, которое частица провела на данном уровне. Местное время появляется в различных формулах стохастического интегрирования , таких как формула Танаки , если подынтегральная функция недостаточно гладкая. Он также изучается в статистической механике в контексте случайных полей .

Формальное определение

Для непрерывного действительного семимартингала $(B_{s})_{s\geq 0}$, местное время $B$ в точку $x$ это случайный процесс, который неформально определяется формулой

$L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{s})\,d[B]_{s},$

где $\delta$ - дельта-функция Дирака и $[B]$ это квадратичная вариация . Это понятие придумал Поль Леви . Основная идея заключается в том, что $L^{x}(t)$ — это (соответственно масштабированная и параметризованная по времени) мера того, сколько времени $B_{s}$ провел в $x$ вовремя $t$. Более строго его можно записать как почти верный предел

$L^{x}(t)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1_{\{x-\varepsilon <B_{s}<x+\varepsilon \}}\,d[B]_{s},$

можно показать, что оно всегда существует. Обратите внимание, что в частном случае броуновского движения (или, в более общем смысле, действительной диффузии вида $dB=b(t,B)\,dt+dW$ где $W$ является броуновским движением), член $d[B]_{s}$ просто сводится к $ds$, что объясняет, почему его называют местным временем $B$ в $x$. Для дискретного процесса в пространстве состояний $(X_{s})_{s\geq 0}$, местное время можно выразить проще как

$L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\{x\}}(X_{s})\,ds.$

Формула Танаки

Формула Танаки также дает определение местного времени для произвольного непрерывного семимартингала. $(X_{s})_{s\geq 0}$ на $\mathbb {R} :$

$L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)\,dX_{s},\qquad t\geq 0.$

Более общая форма была независимо доказана Мейером. и Ван; формула расширяет лемму Ито для дважды дифференцируемых функций на более общий класс функций. Если $F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывен с производной $F',$ которое имеет ограниченную вариацию, то

$F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})\,dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)\,dF'_{-}(x),$

где $F'_{-}$ является левой производной.

Если $X$ является броуновским движением, то для любого $\alpha \in (0,1/2)$ поле местного времени $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ имеет модификацию, непрерывную по Гельдеру по $x$ с показателем $\alpha$, равномерно для ограниченного $x$ и $t$. В общем, $L$ имеет модификацию, столь же непрерывную в $t$ и каталог в $x$.

Формула Танаки обеспечивает явное разложение Дуба – Мейера для одномерного отражающего броуновского движения : $(|B_{s}|)_{s\geq 0}$.

Теоремы Рэя – Найта

Поле местного времени $L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}$ связанный со случайным процессом в пространстве $E$ — хорошо изученная тема в области случайных полей. Теоремы типа Рэя – Найта связывают поле L _t с соответствующим гауссовским процессом .

В общем, теоремы типа Рэя – Найта первого рода рассматривают поле L _t в момент достижения основного процесса, тогда как теоремы второго рода основаны на моменте остановки, когда поле локальных времен впервые превышает заданное значение. .

Первая теорема Рэя – Найта

Пусть ( B _t ) _{t ≥ 0} — одномерное броуновское движение, начинающееся из B ₀ = a > 0, и ( W _t ) _{t ≥0} — стандартное двумерное броуновское движение, начинающееся из W ₀ = 0 ∈ R. ² . Определите время остановки, когда B впервые достигает начала координат, $T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}$. Рэй и рыцарь (независимо) показал, что

$\left\{L^{x}(T)\colon x\in [0,a]\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{|W_{x}|^{2}\colon x\in [0,a]\right\}\,$ ( 1 )

где ( L _t ) _{t ≥ 0} — поле локальных времен ( B _t ) _{t ≥ 0} , а равенство имеет место в распределении на C [0, a ]. Процесс | Ш _х | ² известен как квадрат процесса Бесселя .

Вторая теорема Рэя – Найта

Пусть ( B _t ) _{t ≥ 0} — стандартное одномерное броуновское движение B ₀ = 0 ∈ R , и пусть ( L _t ) _{t ≥ 0} — ассоциированное поле локальных времен. Пусть T _a — первый момент времени, когда местное время в нуле превышает a > 0.

$T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}>a\}.$

Пусть ( W _t ) _{t ≥ 0} — независимое одномерное броуновское движение, начинающееся из W ₀ = 0, тогда

$\left\{L_{T_{a}}^{x}+W_{x}^{2}\colon x\geq 0\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{(W_{x}+{\sqrt {a}})^{2}\colon x\geq 0\right\}.\,$ ( 2 )

Эквивалентно, процесс $(L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}$ (что представляет собой процесс в пространственной переменной $x$) по распределению равен квадрату 0-мерного процесса Бесселя, начавшегося в $a$, и как таковое является марковским.

Обобщенные теоремы Рэя – Найта.

Результаты типа Рэя-Найта для более общих случайных процессов интенсивно изучаются, а аналогичные утверждения как ( 1 ), так и ( 2 ) известны для сильно симметричных марковских процессов.

См. также

• Формула Танаки
• Броуновское движение
• Случайное поле

Ссылки

• К.Л. Чанг и Р.Дж. Уильямс, Введение в стохастическое интегрирование , 2-е издание, 1990, Биркхойзер, ISBN   978-0-8176-3386-8 .
• М. Маркус и Дж. Розен, Марковские процессы, гауссовы процессы и местное время , 1-е издание, 2006 г., Cambridge University Press ISBN   978-0-521-86300-1
• П. Мёртерс и Ю. Перес, Броуновское движение , 1-е издание, 2010 г., Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-76018-8 .