Мартингальное неравенство Дуба

В математике является мартингальное неравенство Дуба , также известное как субмартингальное неравенство Колмогорова, результатом изучения случайных процессов . Он дает оценку вероятности того, что субмартингал превысит любое заданное значение в течение заданного интервала времени. Как следует из названия, результат обычно выдается в случае, если процесс представляет собой мартингал , но результат также действителен и для субмартингалов.

Неравенство принадлежит американскому математику Джозефу Л. Дубу .

Формулировка неравенства

Постановка неравенства Дуба представляет собой субмартингал относительно фильтрации основного вероятностного пространства. Вероятностная мера в выборочном пространстве мартингала будет обозначаться P . Соответствующее ожидаемое значение случайной величины X , определенное интегрированием Лебега , будет обозначаться E[ X ] .

Неформально неравенство Дуба гласит, что ожидаемое значение процесса в какой-то конечный момент времени контролирует вероятность того, что путь выборки заранее превысит какое-либо конкретное значение. Поскольку в доказательстве используются очень прямые рассуждения, оно не требует каких-либо ограничительных предположений относительно базовой фильтрации или самого процесса, в отличие от многих других теорем о случайных процессах. В режиме непрерывного времени требуется непрерывность справа (или непрерывность слева) путей выборки, но только для того, чтобы знать, что супремальное значение пути выборки равно супремуму в произвольном счетном плотном подмножестве времен.

Дискретное время

Пусть X ₁ , ..., X _n — субмартингал дискретного времени относительно фильтрации ${\mathcal {F}}_{1},\ldots ,{\mathcal {F}}_{n}$ основного вероятностного пространства, то есть:

$X_{i}\leq \operatorname {E} [X_{i+1}\mid {\mathcal {F}}_{i}].$

Субмартингальное неравенство говорит, что

$P\left[\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_{n},0)]}{C}}$

для любого положительного числа C . Доказательство опирается на теоретико-множественный факт, что событие, определенное max( X _i ) > C , может быть разложено как несвязное объединение событий E _i, определенных формулами (X _i > C и (X _j ≤ C для всех j < я )) . Затем

$CP(E_{i})=\int _{E_{i}}C\,dP\leq \int _{E_{i}}X_{i}\,dP\leq \int _{E_{i}}{\text{E}}[X_{n}\mid {\mathcal {F}}_{i}]\,dP=\int _{E_{i}}X_{n}\,dP,$

воспользовавшись свойством субмартингала для последнего неравенства и тем фактом, что $E_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}$ для последнего равенства. Суммирование этого результата в диапазоне i от 1 до n приводит к выводу

$CP(E)\leq \int _{E}X_{n}\,dP,$

что является более точным, чем заявленный результат. Используя тот элементарный факт, что X _n ≤ max( X _n , 0) , следует данное субмартингальное неравенство.

В этом доказательстве свойство субмартингала используется один раз вместе с определением условного ожидания . Доказательство также можно сформулировать на языке случайных процессов, чтобы оно стало следствием мощной теоремы о том, что остановившийся субмартингал сам по себе является субмартингалом. В этой схеме минимальный индекс i, фигурирующий в приведенном выше доказательстве, интерпретируется как время остановки .

Непрерывное время

Теперь пусть X _t будет субмартингалом, индексированным интервалом [0, T ] действительных чисел относительно фильтрации F _t основного вероятностного пространства, то есть:

$X_{s}\leq \operatorname {E} [X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}].$

для всех s < t . Субмартингальное неравенство говорит, что если выборочные пути мартингала почти наверняка непрерывны справа, то

$P\left[\sup _{0\leq t\leq T}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_{T},0)]}{C}}$

для любого положительного числа C . Это следствие приведенного выше результата для дискретного времени, полученного путем записи

$\sup _{0\leq t\leq T}X_{t}=\sup\{X_{t}:t\in [0,T]\cap \mathbb {Q} \}=\lim _{i\to \infty }\sup\{X_{t}:t\in [0,T]\cap Q_{i}\}$

в которой Q ₁ ⊂ Q ₂ ⊂ ⋅⋅⋅ — любая последовательность конечных множеств, объединение которых является множеством всех рациональных чисел. Первое равенство является следствием предположения о непрерывности справа, а второе равенство является чисто теоретико-множественным. Неравенство дискретного времени применимо, чтобы сказать, что

$P\left[\sup _{t\in [0,T]\cap Q_{i}}X_{t}\geq C\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [{\textrm {max}}(X_{T},0)]}{C}}$

для каждого i , и это переходит к пределу, приводя к неравенству субмартингала. Этот переход от дискретного времени к непрерывному времени очень гибок, поскольку для этого требуется только наличие счетного плотного подмножества [0,T] , которое затем можно автоматически построить из возрастающей последовательности конечных множеств. Таким образом, неравенство субмартингала справедливо даже для более общих наборов индексов, которые не обязательно должны быть интервалами или натуральными числами .

Дальнейшие неравенства

Существуют и другие субмартингальные неравенства, также связанные с Дубом. Пусть теперь X _t — мартингал или положительный субмартингал; если набор индексов несчетен, то (как указано выше) предположим, что пути выборки непрерывны справа. В этих сценариях неравенство Йенсена подразумевает, что | Икс _т | ^п является субмартингалом для любого числа p ≥ 1 при условии, что все эти новые случайные величины имеют конечный целое. Тогда применимо субмартингальное неравенство, позволяющее сказать, что

${\text{P}}[\sup _{t}|X_{t}|\geq C]\leq {\frac {{\text{E}}[|X_{T}|^{p}]}{C^{p}}}.$

для любого положительного числа C . Здесь T — конечное время , т.е. наибольшее значение набора индексов. Кроме того, у человека есть

${\text{E}}[|X_{T}|^{p}]\leq {\text{E}}\left[\sup _{0\leq s\leq T}|X_{s}|^{p}\right]\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}{\text{E}}[|X_{T}|^{p}]$

если p больше единицы. Это, иногда известное как максимальное неравенство Дуба , является прямым результатом объединения представления слоеного пирога с субмартингальным неравенством и неравенством Гёльдера .

Помимо указанного неравенства, имеет место

${\text{E}}\left|\sup _{0\leq s\leq T}X_{s}\right|\leq {\frac {e}{e-1}}\left(1+{\text{E}}[\max\{|X_{T}|\log |X_{T}|,0\}]\right)$

Связанные неравенства

Из неравенства Дуба для мартингалов с дискретным временем следует неравенство Колмогорова : если X ₁ , X ₂ , ... является последовательностью независимых случайных величин с действительным знаком , каждая из которых имеет нулевое среднее, то ясно, что

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{1}+\cdots +X_{n}+X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]&=X_{1}+\cdots +X_{n}+\operatorname {E} \left[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]\\&=X_{1}+\cdots +X_{n},\end{aligned}}$

поэтому S _n = X ₁ + ... + X _n — мартингал. Заметим, что из неравенства Йенсена следует, что |S _n | является неотрицательным субмартингалом, если Sn _{является} мартингалом. Следовательно, приняв p = 2 в мартингальном неравенстве Дуба,

$P\left[\max _{1\leq i\leq n}\left|S_{i}\right|\geq \lambda \right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[S_{n}^{2}\right]}{\lambda ^{2}}},$

что и есть формулировка неравенства Колмогорова.

Применение: Броуновское движение.

Обозначим через B каноническое одномерное броуновское движение . Затем

$P\left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\leq \exp \left(-{\frac {C^{2}}{2T}}\right).$

Доказательство состоит в следующем: поскольку показательная функция монотонно возрастает, для любого неотрицательного λ

$\left\{\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right\}=\left\{\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right\}.$

В силу неравенства Дюба и поскольку экспонента броуновского движения является положительным субмартингалом,

${\begin{aligned}P\left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]&=P\left[\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right]\\[8pt]&\leq {\frac {\operatorname {E} [\exp(\lambda B_{T})]}{\exp(\lambda C)}}\\[8pt]&=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}T-\lambda C\right)&&\operatorname {E} \left[\exp(\lambda B_{t})\right]=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}t\right)\end{aligned}}$

Поскольку левая часть не зависит от λ , выберите λ, чтобы минимизировать правую часть: λ = C / T дает искомое неравенство.

Ссылки

Источники

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Серия Уайли по вероятности и математической статистике (третье издание оригинального издания 1979 г.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-00710-2 . МР   1324786 .
• Дуб, Дж.Л. (1953). Случайные процессы . Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. MR   0058896 .
• Дарретт, Рик (2019). Вероятность – теория и примеры . Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. Том. 49 (Пятое издание оригинальной редакции 1991 г.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/9781108591034 . ISBN  978-1-108-47368-2 . МР   3930614 . S2CID   242105330 .
• Холл, П. ; Хейде, CC (1980). Теория Мартингейла-предела и ее применение . Вероятность и математическая статистика. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press . дои : 10.1016/C2013-0-10818-5 . ISBN  0-12-319350-8 .
• Калленберг, Олав (2021). Основы современной вероятности . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Том. 99 (Третье издание оригинальной редакции 1997 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-030-61871-1 . ISBN  978-3-030-61871-1 . МР   4226142 .
• Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен Э. (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление . Тексты для аспирантов по математике . Том. 113 (Второе издание оригинальной редакции 1988 г.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-0949-2 . ISBN  0-387-97655-8 . МР   1121940 .
• Лоев, Мишель (1978). Теория вероятностей. II . Тексты для аспирантов по математике . Том. 46 (Четвертое издание оригинальной редакции 1955 г.). Нью-Йорк – Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  0-387-90262-7 . МР   0651018 .
• Ревуз, Дэниел ; Йор, Марк (1999). Непрерывные мартингалы и броуновское движение . Основные принципы математических наук. Том 293 (Третье издание оригинальной редакции 1991 г.). Берлин: Springer Verlag . дои : 10.1007/978-3-662-06400-9 . ISBN  3-540-64325-7 . МР   1725357 .
• Ширяев, Альберт Н. (2019). Вероятность — 2 . Тексты для аспирантов по математике . Том. 95. Перевод Боаса, Р.П.; Чибисов Д.М. (Третье издание 1980 г., оригинальная ред.). Нью-Йорк: Спрингер . дои : 10.1007/978-0-387-72208-5 . ISBN  978-0-387-72207-8 . МР   3930599 .

Внешние ссылки

• Ширяев, Альберт Н. (2001) [1994], «Мартингейл» , Энциклопедия Математики , EMS Press