Образец пространства

В теории вероятностей выборочное пространство (также называемое выборочным пространством описания , возможность пространство , или пространство результатов ) эксперимента или или случайного испытания — это совокупность всех возможных исходов результатов этого эксперимента. Пространство выборки обычно обозначается с использованием нотации множества , а возможные упорядоченные результаты или точки выборки перечислены как элементы множества. Обычно к выборочному пространству относятся метки S , Ω или U (что означает « универсальный набор »). Элементами выборочного пространства могут быть числа, слова, буквы или символы. Они также могут быть конечными , счетно- бесконечными или несчетно-бесконечными .

Подмножеством событие выборочного пространства является , обозначаемое $E$. Если результат эксперимента включен в $E$, то событие $E$ произошло.

Например, если в ходе эксперимента подбрасывается одна монета, пространством выборки является множество $\{H,T\}$, где результат $H$ означает, что монета выпала орлом и результат $T$ означает, что монета решка. Возможные события: $E=\{\}$, $E=\{H\}$, $E=\{T\}$, и $E=\{H,T\}$. Для подбрасывания двух монет пространство выборки равно $\{HH,HT,TH,TT\}$, где результат $HH$ если обе монеты орел, $HT$ если первая монета орёл, а вторая решка, $TH$ если первая монета — решка, а вторая — решка, и $TT$ если обе монеты решка. Событие, когда хотя бы одна из монет окажется орлом, определяется выражением $E=\{HH,HT,TH\}$.

Для однократного броска шестигранной игральной кости , где интересующим результатом является количество выпавших вверх точек , пространство выборки равно $\{1,2,3,4,5,6\}$.

Четко определенное, непустое пространство выборки $S$ является одним из трех компонентов вероятностной модели ( вероятностного пространства ). Два других базовых элемента представляют собой четко определенный набор возможных событий (пространство событий), который обычно представляет собой мощности набор $S$ если $S$ дискретна или является σ-алгеброй на $S$ если оно непрерывно, и вероятность каждому событию присвоена (функция меры вероятности ).

Визуальное представление конечного выборочного пространства и событий. Красный овал — это событие, когда число нечетное, а синий овал — это событие, когда число простое.

Пространство выборки можно визуально представить в виде прямоугольника, при этом результаты выборки пространства обозначаются точками внутри прямоугольника. События могут быть представлены овалами, где точки, заключенные в овал, составляют событие.

Условия выборочного пространства

Набор $\Omega$ с результатами $s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}$ (т.е. $\Omega =\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}\}$) должно соответствовать некоторым условиям, чтобы быть выборочным пространством:

• Результаты должны быть взаимоисключающими , т.е. если $s_{j}$ происходит, то никакое другое $s_{i}$ состоится, $\forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j$.
• Результаты должны быть коллективно исчерпывающими , т. е. в каждом эксперименте (или случайном испытании) всегда будет иметь место некоторый результат. $s_{i}\in \Omega$ для $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$.
• Образцовое пространство ( $\Omega$) должно иметь правильную степень детализации в зависимости от того, что интересует экспериментатора. Ненужная информация должна быть удалена из пространства выборки и правильная абстракция . выбрана

Например, при попытке подбросить монету одним из возможных образцов является $\Omega _{1}=\{H,T\}$, где $H$ результат, при котором монета упадет орлом и $T$ это для хвостов. Другим возможным пространством выборки может быть $\Omega _{2}=\{(H,R),(H,NR),(T,R),(T,NR)\}$. Здесь, $R$ обозначает дождливый день и $NR$ это день, когда не идет дождь. Для большинства экспериментов $\Omega _{1}$ был бы лучшим выбором, чем $\Omega _{2}$, поскольку экспериментатора, скорее всего, не волнует, как погода повлияет на подбрасывание монеты.

Несколько пространств выборки

Для многих экспериментов может быть доступно более одного правдоподобного выборочного пространства, в зависимости от того, какой результат интересует экспериментатора. Например, при вытягивании карты из стандартной колоды, состоящей из пятидесяти двух игральных карт , одним из вариантов выборочного пространства могут быть различные ранги (от туза до короля), а другим — масти ( трефы, бубны, червы или пики). ). Однако более полное описание результатов могло бы указать как номинал, так и масть, а выборочное пространство, описывающее каждую отдельную карту, может быть построено как декартово произведение двух выборочных пространств, отмеченных выше (это пространство будет содержать пятьдесят два равновероятных результаты). Возможны и другие места для выборки, например, перевернутые или перевернутые, если некоторые карты были перевернуты при перетасовке.

Равновероятные исходы

Подбрасывание монеты приводит к выборке, состоящей из двух исходов, которые почти одинаково вероятны.

Вверх или вниз? Если перевернуть ход мысли, то получится пространство выборки , состоящее из двух исходов, которые не равновероятны.

Основная статья: Равновероятные исходы

Некоторые методы теории вероятности предполагают, что различные результаты эксперимента всегда определяются так, чтобы быть одинаково вероятными. Для любого выборочного пространства с $N$ равновозможные исходы, каждому исходу присвоена вероятность ${\frac {1}{N}}$. Однако существуют эксперименты, которые нелегко описать выборочным пространством равновероятных результатов — например, если кто-то много раз подбрасывает кнопку и наблюдает, приземлилась ли она острием вверх или вниз, то не существует физической симметрии, предполагают, что оба исхода должны быть одинаково вероятны.

Хотя большинство случайных явлений не имеют одинаково вероятных результатов, может быть полезно определить пространство выборки таким образом, чтобы исходы были по крайней мере примерно одинаково вероятны, поскольку это условие значительно упрощает вычисление вероятностей событий в пространстве выборки. Если каждый отдельный исход происходит с одинаковой вероятностью, то вероятность любого события становится простой:

$\mathrm {P} ({\text{event}})={\frac {\text{number of outcomes in event}}{\text{number of outcomes in sample space}}}$

Например, если бросить два справедливых шестигранных кубика, чтобы получить два равномерно распределенных целых числа, $D_{1}$ и $D_{2}$, каждый в диапазоне от 1 до 6 включительно, 36 возможных упорядоченных пар исходов $(D_{1},D_{2})$ представляют собой выборочное пространство равновероятных событий. В этом случае применяется приведенная выше формула, например, для расчета вероятности определенной суммы двух бросков в исходе. Вероятность того, что сумма $D_{1}+D_{2}$ пять это ${\frac {4}{36}}$, поскольку сумма четырех из тридцати шести равновозможных пар исходов равна пяти.

Если бы пространство выборки представляло собой все возможные суммы, полученные в результате броска двух шестигранных игральных костей, приведенную выше формулу все равно можно применить, поскольку броски игральных костей справедливы, но количество исходов в данном событии будет варьироваться. Сумма двух может произойти с результатом $\{(1,1)\}$, поэтому вероятность ${\frac {1}{36}}$. При сумме семи исходы события таковы: $\{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)\}$, поэтому вероятность ${\frac {6}{36}}$.

Простая случайная выборка

Основная статья: Простая случайная выборка

В статистике делаются выводы о характеристиках населения путем изучения выборки представителей этой популяции. Чтобы получить выборку, которая дает объективную оценку истинных характеристик населения, статистики часто стремятся изучить простую случайную выборку , то есть выборку, в которую с равной вероятностью может быть включен каждый человек в популяции. Результатом этого является то, что каждая возможная комбинация индивидуумов, которые могут быть выбраны для выборки, имеет равные шансы оказаться выбранной выборкой (т. е. пространство простых случайных выборок заданного размера из данной совокупности состоит из одинаково вероятные исходы).

Бесконечно большие выборочные пространства

В элементарном подходе к вероятности любое подмножество выборочного пространства обычно называется событием . Однако это порождает проблемы, когда пространство выборки непрерывно, поэтому необходимо более точное определение события. Согласно этому определению событиями считаются только измеримые подмножества выборочного пространства, составляющие σ-алгебру над самим выборочным пространством.

Примером бесконечно большого пространства выборки является измерение срока службы лампочки. Соответствующее выборочное пространство будет [0, ∞) .

См. также

• Пространство параметров
• Вероятностное пространство
• Космос (математика)
• Набор (математика)
• Событие (теория вероятностей)
• σ-алгебра

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с пространством образцов, на Викискладе?