Дискретное равномерное распределение

дискретная форма

Функция массы вероятности n = 5, где n = b − a + 1
Кумулятивная функция распределения
Обозначения	${\mathcal {U}}\{a,b\}$ или $\mathrm {unif} \{a,b\}$
Параметры	$a,b$ целые числа с $b\geq a$ $n=b-a+1$
Поддерживать	$k\in \{a,a+1,\dots ,b-1,b\}$
ПМФ	${\frac {1}{n}}$
CDF	${\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{n}}$
Иметь в виду	${\frac {a+b}{2}}$
медиана	${\frac {a+b}{2}}$
Режим	Н/Д
Дисперсия	${\frac {(b-a+1)^{2}-1}{12}}$
асимметрия	$0$
Избыточный эксцесс	$-{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}$
Энтропия	$\ln(n)$
МГФ	${\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}$
CF	${\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}}$
ПГФ	${\frac {z^{a}-z^{b+1}}{n(1-z)}}$

В теории вероятностей и статистике дискретное равномерное распределение представляет собой симметричное распределение вероятностей , в котором с равной вероятностью может наблюдаться конечное число значений; каждое из n значений имеет равную вероятность 1/ n . Другой способ сказать «дискретное равномерное распределение» — это «известное конечное число результатов, которые могут произойти с равной вероятностью».

Простым примером дискретного равномерного распределения является бросок игральной кости . Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, и каждый раз, когда бросают игральную кость, вероятность выпадения данного результата равна 1/6. Если бросить две игральные кости и сложить их значения, полученное распределение перестанет быть равномерным, поскольку не все суммы имеют одинаковую вероятность.Хотя удобно описывать дискретные равномерные распределения над целыми числами, такие как это, можно также рассматривать дискретные равномерные распределения над любым конечным множеством . Например, случайная перестановка — это перестановка, равномерно сгенерированная из перестановок заданной длины, а равномерное остовное дерево — это остовное дерево, равномерно сгенерированное из остовных деревьев данного графа.

Дискретное равномерное распределение само по себе непараметрично. Однако удобно представлять его значения в общем случае всеми целыми числами в интервале [ a , b ], так что a и b становятся основными параметрами распределения (часто просто рассматривают интервал [1, n ] с единственным параметр n ). С учетом этих соглашений кумулятивную функцию распределения (CDF) дискретного равномерного распределения можно выразить для любого k ∈ [ a , b ] как

$F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}$

Оценка максимума

Основная статья: Проблема немецких танков

Этот пример описывается, говоря, что выборка из k наблюдений получается из равномерного распределения целых чисел $1,2,\dotsc ,N$, причем задача состоит в том, чтобы оценить неизвестный максимум N . Эта проблема широко известна как проблема немецких танков , в честь применения максимальной оценки к оценкам производства немецких танков во время Второй мировой войны .

Несмещенная оценка равномерно минимальной дисперсии (UMVU) для максимума определяется выражением

${\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1$

где m — максимум выборки , а k — размер выборки , выборка без замены. Это можно рассматривать как очень простой случай оценки максимального расстояния .

Это имеет дисперсию

${\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N$

поэтому стандартное отклонение примерно ${\tfrac {N}{k}}$, средний (популяционный) размер разрыва между выборками; сравнивать ${\tfrac {m}{k}}$ выше.

Максимум выборки является оценкой максимального правдоподобия для максимума генеральной совокупности, но, как обсуждалось выше, он смещен.

Если выборки не пронумерованы, но узнаваемы или маркированы, вместо этого можно оценить размер популяции с помощью метода повторного захвата .

Случайная перестановка

Основная статья: Случайная перестановка

См. числа recontres для описания вероятностного распределения числа фиксированных точек равномерно распределенной случайной перестановки .

Свойства

Семейство равномерных распределений по диапазонам целых чисел (с неизвестной одной или обеими границами) имеет конечномерную достаточную статистику , а именно тройку выборочного максимума, минимума выборки и размера выборки, но не является экспоненциальным семейством распределений, потому что поддержка варьируется в зависимости от параметров. Для семейств, поддержка которых не зависит от параметров, теорема Питмана-Купмана-Дармуа утверждает, что только экспоненциальные семейства имеют достаточную статистику, размерность которой ограничена по мере увеличения размера выборки. Таким образом, равномерное распределение является простым примером, показывающим предел этой теоремы.

См. также

• Дельта-распределение Дирака
• Непрерывное равномерное распределение