Распределение Ирвина – Холла

Распределение Ирвина – Холла

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	п € N 0
Поддерживать	$x\in [0,n]$
PDF	${\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n-1}$
CDF	${\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n}$
Иметь в виду	${\frac {n}{2}}$
медиана	${\frac {n}{2}}$
Режим	${\begin{cases}{\text{any value in }}[0,1]&{\text{for }}n=1\\{\frac {n}{2}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
Дисперсия	${\frac {n}{12}}$
асимметрия	0
Избыточный эксцесс	$-{\tfrac {6}{5n}}$
МГФ	${\left({\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{t}}\right)}^{n}$
CF	${\left({\frac {\mathrm {e} ^{it}-1}{it}}\right)}^{n}$

В теории вероятности и статистике распределение Ирвина -Холла , названное в честь Джозефа Оскара Ирвина и Филипа Холла , представляет собой распределение вероятностей для случайной величины, определяемой как сумма ряда независимых случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение . По этой причине его также называют равномерным распределением суммы .

Генерация псевдослучайных чисел, имеющих приблизительно нормальное распределение , иногда достигается путем вычисления суммы ряда псевдослучайных чисел, имеющих равномерное распределение; обычно ради простоты программирования. Изменение масштаба распределения Ирвина – Холла обеспечивает точное распределение генерируемых случайных величин.

Это распределение иногда путают с распределением Бейтса , которое представляет собой среднее значение (не сумму ) n независимых случайных величин, равномерно распределенных от 0 до 1.

Определение

Распределение Ирвина – Холла представляет собой непрерывное распределение вероятностей для суммы n независимых и одинаково распределенных U (0, 1) случайных величин:

$X=\sum _{k=1}^{n}U_{k}.$

Функция плотности вероятности (pdf) для $0\leq x\leq n$ дается

$f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x-k)_{+}^{n-1}$

где $(x-k)_{+}$ обозначает положительную часть выражения:

$(x-k)_{+}={\begin{cases}x-k&x-k\geq 0\\0&x-k<0.\end{cases}}$

Таким образом, PDF представляет собой сплайн (кусочно-полиномиальную функцию) степени n - 1 по узлам 0, 1,..., n . Фактически, для x между узлами, расположенными в точках k и k + 1, PDF равен

$f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}(k,n)x^{j}$

где коэффициенты a _j ( k , n ) могут быть найдены из рекуррентного соотношения над k

$a_{j}(k,n)={\begin{cases}1&k=0,j=n-1\\0&k=0,j<n-1\\a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+k-j-1}{n \choose k}{{n-1} \choose j}k^{n-j-1}&k>0\end{cases}}$

Коэффициенты также A188816 в OEIS . Коэффициенты кумулятивного распределения: A188668 .

Среднее значение и дисперсия равны n /2 и n /12 соответственно.

Особые случаи

• Для n = 1 X следует равномерному распределению :

$f_{X}(x)={\begin{cases}1&0\leq x\leq 1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

• Для n = 2 X следует треугольному распределению :

$f_{X}(x)={\begin{cases}x&0\leq x\leq 1\\2-x&1\leq x\leq 2\end{cases}}$

• Для n = 3,

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{2}}(-2x^{2}+6x-3)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{2}}(3-x)^{2}&2\leq x\leq 3\end{cases}}$

• Для n = 4,

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}x^{3}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{6}}(-3x^{3}+12x^{2}-12x+4)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{6}}(3x^{3}-24x^{2}+60x-44)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{6}}(4-x)^{3}&3\leq x\leq 4\end{cases}}$

• Для n = 5,

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}x^{4}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{24}}(-4x^{4}+20x^{3}-30x^{2}+20x-5)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{24}}(6x^{4}-60x^{3}+210x^{2}-300x+155)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{24}}(-4x^{4}+60x^{3}-330x^{2}+780x-655)&3\leq x\leq 4\\{\frac {1}{24}}(5-x)^{4}&4\leq x\leq 5\end{cases}}$

Аппроксимация нормального распределения

Согласно Центральной предельной теореме , с увеличением n распределение Ирвина – Холла все более сильно приближается к нормальному распределению со средним значением. $\mu =n/2$ и дисперсия $\sigma ^{2}=n/12$. Чтобы приблизиться к стандартному нормальному распределению $\phi (x)={\mathcal {N}}(\mu =0,\sigma ^{2}=1)$, распределение Ирвина-Холла можно центрировать, сдвинув его на среднее значение n/2 и масштабируя результат на квадратный корень его дисперсии:

$\phi (x){\overset {n\gg 0}{\approx }}{\sqrt {\frac {n}{12}}}f_{X}\left(x{\sqrt {\frac {n}{12}}}+{\frac {n}{2}};n\right)$

Этот вывод приводит к простой в вычислительном отношении эвристике, которая удаляет квадратный корень, в результате чего стандартное нормальное распределение может быть аппроксимировано суммой 12 равномерных рисунков U(0,1) следующим образом:

$\sum _{k=1}^{12}U_{k}-6\sim f_{X}(x+6;12)\mathrel {\dot {\sim }} \phi (x)$

Похожие и родственные дистрибутивы

Распределение Ирвина-Холла похоже на распределение Бейтса , но в качестве параметра по-прежнему используются только целые числа. Расширение до вещественнозначных параметров возможно путем добавления также случайной однородной переменной с N - trunc( N шириной ).

Расширения распределения Ирвина – Холла

При использовании метода Ирвина-Холла для подбора данных одна проблема заключается в том, что IH не очень гибок, поскольку параметр n должен быть целым числом. Однако вместо суммирования n равных равномерных распределений мы могли бы также добавить, например, U + 0,5 U , чтобы рассмотреть также случай n = 1,5 (давая трапециевидное распределение ).

Распределение Ирвина-Холла имеет применение для формирования диаграммы направленности и синтеза диаграммы направленности, как показано на рисунке 1.

См. также

• Распределение Бейтса
• Нормальное распределение
• Центральная предельная теорема
• Равномерное распределение (непрерывное)
• Треугольное распределение

Ссылки

• Холл, Филип . (1927) «Распределение средних значений для выборок размера N, взятых из совокупности, в которой переменная принимает значения от 0 до 1, причем все такие значения равновероятны». Биометрика , Том. 19, № 3/4., стр. 240–245. doi : 10.1093/biomet/19.3-4.240 JSTOR   2331961
• Ирвин, Дж. О. (1927) «О частотном распределении средних выборок из популяции, имеющей любой закон частоты с конечными моментами, с особым упором на тип II Пирсона». Биометрика , Том. 19, № 3/4., стр. 225–239. doi : 10.1093/biomet/19.3-4.225 JSTOR   2331960