Распределение фазового типа

Фазовый тип

Параметры	$S,\;m\times m$ субгенератора матрица ${\boldsymbol {\alpha }}$, вероятности вектор-строка
Поддерживать	$x\in [0;\infty )\!$
PDF	${\boldsymbol {\alpha }}e^{xS}{\boldsymbol {S}}^{0}$ Подробности смотрите в статье
CDF	$1-{\boldsymbol {\alpha }}e^{xS}{\boldsymbol {1}}$
Иметь в виду	$-{\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-1}\mathbf {1}$
медиана	нет простой закрытой формы
Режим	нет простой закрытой формы
Дисперсия	$2{\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-2}\mathbf {1} -({\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-1}\mathbf {1} )^{2}$
МГФ	$-{\boldsymbol {\alpha }}(tI+S)^{-1}{\boldsymbol {S}}^{0}+\alpha _{0}$
CF	$-{\boldsymbol {\alpha }}(itI+S)^{-1}{\boldsymbol {S}}^{0}+\alpha _{0}$

Распределение фазового типа — это распределение вероятностей, построенное с помощью свертки или смеси экспоненциальных распределений . Он возникает в результате системы одного или нескольких взаимосвязанных пуассоновских процессов, происходящих последовательно или поэтапно. Последовательность, в которой происходит каждая из фаз, сама по себе может быть случайным процессом . Распределение можно представить случайной величиной, описывающей время до поглощения марковского процесса с одним поглощающим состоянием. Каждое из состояний марковского процесса представляет собой одну из фаз.

У него есть эквивалент в дискретном времени – распределение дискретного фазового типа .

Множество распределений фазового типа плотно в области всех распределений с положительными значениями, то есть с его помощью можно аппроксимировать любое распределение с положительным знаком.

Определение

Рассмотрим марковский процесс с непрерывным временем и m + 1 состояниями, где m ≥ 1, такой, что состояния 1,..., m являются переходными состояниями, а состояние 0 является поглощающим состоянием. Далее, пусть процесс имеет начальную вероятность начала на любой из m + 1 фаз, заданную вектором вероятности ( α ₀ , α ), где α ₀ — скаляр, а α — вектор 1 × m .

представляет Распределение типа непрерывной фазы собой распределение времени от начала вышеуказанного процесса до момента поглощения в поглощающем состоянии.

Этот процесс можно записать в виде матрицы скорости перехода :

${Q}=\left[{\begin{matrix}0&\mathbf {0} \\\mathbf {S} ^{0}&{S}\\\end{matrix}}\right],$

где S — матрица размера m × m , а S ⁰ = –S 1 . Здесь 1 представляет вектор-столбец m × 1, где каждый элемент равен 1.

Характеристика

Распределение времени X до достижения процессом поглощающего состояния называется распределением фазового типа и обозначается PH( α , S ).

Функция распределения X определяется выражением:

$F(x)=1-{\boldsymbol {\alpha }}\exp({S}x)\mathbf {1} ,$

и функция плотности,

$f(x)={\boldsymbol {\alpha }}\exp({S}x)\mathbf {S^{0}} ,$

для всех x > 0, где exp( · ) – матричная экспонента . Обычно предполагается, что вероятность начала процесса в поглощающем состоянии равна нулю (т.е. α ₀ = 0). Моменты функции распределения определяются выражением

$E[X^{n}]=(-1)^{n}n!{\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-n}\mathbf {1} .$

Преобразование Лапласа распределения фазового типа имеет вид

$M(s)=\alpha _{0}+{\boldsymbol {\alpha }}(sI-S)^{-1}\mathbf {S^{0}} ,$

где I — единичная матрица.

Особые случаи

Следующие распределения вероятностей считаются особыми случаями распределения непрерывного фазового типа:

• Вырожденное распределение , точечная масса на нуле или распределение типа пустой фазы – 0 фаз.
• Экспоненциальное распределение – 1 фаза.
• Распределение Эрланга – 2 или более одинаковых фазы подряд.
• Детерминированное распределение (или константа) – предельный случай распределения Эрланга, когда количество фаз становится бесконечным, а время в каждом состоянии становится нулевым.
• Распределение Коксиана – 2 или более (не обязательно одинаковые) последовательные фазы с вероятностью перехода в завершающее/поглощающее состояние после каждой фазы.
• Гиперэкспоненциальное распределение (также называемое смесью экспоненциальных) – 2 или более неидентичных фазы, каждая из которых имеет вероятность возникновения взаимоисключающим или параллельным образом. (Примечание: экспоненциальное распределение — это вырожденная ситуация, когда все параллельные фазы идентичны.)
• Гипоэкспоненциальное распределение - две или более фазы подряд могут быть неодинаковыми или смесью идентичных и неидентичных фаз, обобщает Эрланг.

Поскольку распределение фазового типа плотно в области всех распределений с положительными значениями, мы можем представить любое распределение с положительными значениями. Однако фазовый тип представляет собой распределение с легким хвостом или платикуртическое. Таким образом, представление распределения с тяжелым хвостом или лептокуртического распределения по типу фазы является приближением, даже если точность приближения может быть настолько хорошей, насколько мы хотим.

Примеры

Во всех следующих примерах предполагается, что в нуле нет вероятностной массы, то есть α ₀ = 0.

Экспоненциальное распределение

Простейшим нетривиальным примером распределения фазового типа является экспоненциальное распределение параметра λ. Параметрами фазового распределения являются: S = -λ и α = 1.

Гиперэкспоненциальное или смесь экспоненциального распределения

Смесь экспоненциального или гиперэкспоненциального распределения с λ ₁ ,λ ₂ ,...,λ _n >0 можно представить как распределение фазового типа с

${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4},...,\alpha _{n})$

с $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1$ и

${S}=\left[{\begin{matrix}-\lambda _{1}&0&0&0&0\\0&-\lambda _{2}&0&0&0\\0&0&-\lambda _{3}&0&0\\0&0&0&-\lambda _{4}&0\\0&0&0&0&-\lambda _{5}\\\end{matrix}}\right].$

Эту смесь плотностей экспоненциально распределенных случайных величин можно охарактеризовать как

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{X_{i}}(x),$

или его кумулятивная функция распределения

$F(x)=1-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e^{-\lambda _{i}x}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}F_{X_{i}}(x).$

с $X_{i}\sim Exp(\lambda _{i})$

Распределение Эрланга

Распределение Эрланга имеет два параметра: форму (целое число k > 0) и скорость λ > 0. Иногда его обозначают E ( k , λ ). Распределение Эрланга можно записать в виде распределения фазового типа, сделав матрицу S a k × k с диагональными элементами -λ и супердиагональными элементами λ, с вероятностью запуска в состоянии 1, равной 1. Например, Е (5,λ),

${\boldsymbol {\alpha }}=(1,0,0,0,0),$

и

${S}=\left[{\begin{matrix}-\lambda &\lambda &0&0&0\\0&-\lambda &\lambda &0&0\\0&0&-\lambda &\lambda &0\\0&0&0&-\lambda &\lambda \\0&0&0&0&-\lambda \\\end{matrix}}\right].$

Для заданного количества фаз распределение Эрланга представляет собой распределение типа фазы с наименьшим коэффициентом вариации.

Гипоэкспоненциальное распределение является обобщением распределения Эрланга, поскольку для каждого перехода имеются разные скорости (неоднородный случай).

Смесь дистрибутива Erlang

Смесь двух распределений Эрланга с параметром E (3,β ₁ ), E (3,β ₂ ) и (α ₁ ,α ₂ ) (таких, что α ₁ + α ₂ = 1 и для каждого i , α _i ≥ 0 ) можно представить как распределение типа фазы с

${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},0,0,\alpha _{2},0,0),$

и

${S}=\left[{\begin{matrix}-\beta _{1}&\beta _{1}&0&0&0&0\\0&-\beta _{1}&\beta _{1}&0&0&0\\0&0&-\beta _{1}&0&0&0\\0&0&0&-\beta _{2}&\beta _{2}&0\\0&0&0&0&-\beta _{2}&\beta _{2}\\0&0&0&0&0&-\beta _{2}\\\end{matrix}}\right].$

Коксианское распределение

Распределение Кокса является обобщением распределения Эрланга . Вместо того, чтобы войти в поглощающее состояние только из состояния k, его можно достичь из любой фазы. Представление фазового типа имеет вид:

$S=\left[{\begin{matrix}-\lambda _{1}&p_{1}\lambda _{1}&0&\dots &0&0\\0&-\lambda _{2}&p_{2}\lambda _{2}&\ddots &0&0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ddots &-\lambda _{k-2}&p_{k-2}\lambda _{k-2}&0\\0&0&\dots &0&-\lambda _{k-1}&p_{k-1}\lambda _{k-1}\\0&0&\dots &0&0&-\lambda _{k}\end{matrix}}\right]$

и

${\boldsymbol {\alpha }}=(1,0,\dots ,0),$

где 0 < p ₁ ,..., p _{k -1} ≤ 1. В случае, когда все p _i = 1, мы имеем распределение Эрланга. Распределение Кокса чрезвычайно важно, поскольку любое распределение ациклического фазового типа имеет эквивалентное представление Кокса.

Обобщенное распределение Кокса ослабляет условие, требующее начала с первой фазы.

Характеристики

Минимумы независимых случайных величин PH

Подобно экспоненциальному распределению класс распределений PH замкнут относительно минимумов независимых случайных величин. Описание этого здесь .

Генерация выборок из распределенных случайных величин фазового типа

BuTools включает методы для генерации выборок из распределенных случайных величин фазового типа.

Аппроксимация других распределений

Любое распределение можно сколь угодно хорошо аппроксимировать распределением фазового типа. Однако на практике аппроксимации могут быть плохими, если размер аппроксимирующего процесса фиксирован. Аппроксимируя детерминированное распределение времени 1 с 10 фазами, каждая из которых имеет среднюю длину 0,1, будет иметь дисперсию 0,1 (потому что распределение Эрланга имеет наименьшую дисперсию). ).

• BuTools - сценарий MATLAB и Mathematica для подгонки распределений фазового типа к трем заданным моментам.
• сопоставление моментов сценария MATLAB для соответствия минимальному распределению фазового типа трем заданным моментам
• KPC-toolbox — библиотека сценариев MATLAB для соответствия наборов эмпирических данных марковским процессам вступления и распределениям фазового типа.

Подбор распределения типа фазы к данным

Методы подбора распределения типа фазы к данным можно классифицировать как методы максимального правдоподобия или методы сопоставления моментов. подгонка распределения фазового типа к распределениям с тяжелым хвостом является практичной. Было показано, что в некоторых ситуациях

• PhFit — скрипт C для подгонки к данным дискретных и непрерывных фазовых распределений.
• EMpht — это сценарий C для подгонки распределений фазового типа к данным или параметрическим распределениям с использованием алгоритма максимизации ожидания .
• HyperStar был разработан вокруг основной идеи сделать подбор фазового типа простым и удобным для пользователя, чтобы способствовать использованию распределений фазового типа в широком диапазоне областей. Он предоставляет графический интерфейс пользователя и дает хорошие результаты при минимальном взаимодействии с пользователем.
• jPhase — это библиотека Java, которая также может вычислять метрики для очередей, используя распределение по подобранному фазовому типу.

См. также

• Дискретное фазовое распределение
• Марковский процесс с непрерывным временем
• Экспоненциальное распределение
• Гиперэкспоненциальное распределение
• Теория массового обслуживания

Ссылки

• М. Ф. Нойтс (1975), Распределения вероятностей фазового типа, В Liber Amicorum профессора Х. Флорина, страницы 173–206, Лувенский университет.
• МФ Нейтс. Матрично-геометрические решения в стохастических моделях: алгоритмический подход , Глава 2: Распределения вероятностей фазового типа; Dover Publications Inc., 1981.
• Ж. Латуш, В. Рамасвами. Введение в методы матричного анализа в стохастическом моделировании, 1-е издание. Глава 2: Распределение PH; АСА СИАМ, 1999.
• Калифорния О'Синнеид (1990). Характеристика фазовых распределений . Коммуникации в статистике: стохастические модели, 6 (1), 1-57.
• Калифорния О'Синнеид (1999). Распределение фазового типа: открытые проблемы и некоторые свойства , Коммуникация в статистике: стохастические модели, 15 (4), 731-757.