Экспоненциальное распределение Каниадакиса

( Экспоненциальное распределение Каниадакиса или κ -экспоненциальное распределение) представляет собой распределение вероятностей , возникающее в результате максимизации энтропии Каниадакиса при соответствующих ограничениях. Это один из примеров распределения Каниадакиса . κ - экспонента является обобщением экспоненциального распределения таким же образом, как энтропия Каниадакиса является обобщением стандартной энтропии Больцмана-Гиббса или энтропии Шеннона . κ - экспоненциальное распределение типа I является частным случаем κ -гамма-распределения , тогда как κ -экспоненциальное распределение типа II является частным случаем κ -распределения Вейбулла .

Тип I

Функция плотности вероятности

κ -экспоненциальное распределение типа I

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$0<\kappa <1$ форма ( настоящая ) $\beta >0$ ставка ( реальная )
Поддерживать	$x\in [0,\infty )$
PDF	$(1-\kappa ^{2})\beta \exp _{\kappa }(-\beta x)$
CDF	$1-{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2}}}+\kappa ^{2}\beta x{\Big )}\exp _{k}({-\beta x)}$
Иметь в виду	${\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}$
Дисперсия	$\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {2(1-4\kappa ^{2})^{2}-(1-\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}{(1-4\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}}$
асимметрия	${\frac {2(1-\kappa ^{2})(144\kappa ^{8}+23\kappa ^{6}+27\kappa ^{4}-6\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{3}\sigma _{\kappa }^{3}(4\kappa ^{2}-1)^{3}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}$
Избыточный эксцесс	${\frac {9(1200\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{6}+143\kappa ^{4}-18\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{4}\sigma _{\kappa }^{4}(1-\kappa ^{2})^{-1}(1-4\kappa ^{2})^{4}(3600\kappa ^{8}-4369\kappa ^{6}+819\kappa ^{4}-51\kappa ^{2}+1)}}-3$
Метод моментов	${\frac {1-\kappa ^{2}}{\prod _{n=0}^{m+1}[1-(2n-m-1)\kappa ]}}{\frac {m!}{\beta ^{m}}}$

-экспоненциальное распределение Каниадакиса κ типа I является частью класса статистических распределений, возникающих из κ-статистики Каниадакиса, которые имеют степенные хвосты. Это распределение имеет следующую функцию плотности вероятности :

$f_{_{\kappa }}(x)=(1-\kappa ^{2})\beta \exp _{\kappa }(-\beta x)$

действителен для $x\geq 0$, где $0\leq |\kappa |<1$ - индекс энтропии, связанный с энтропией Каниадакиса и $\beta >0$ известен как параметр скорости . Экспоненциальное распределение восстанавливается как $\kappa \rightarrow 0.$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная распределения функция κ -экспоненциального распределения типа I определяется выражением

$F_{\kappa }(x)=1-{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2}}}+\kappa ^{2}\beta x{\Big )}\exp _{k}({-\beta x)}$

для $x\geq 0$. Кумулятивное экспоненциальное распределение восстанавливается в классическом пределе $\kappa \rightarrow 0$.

Характеристики

Моменты, математическое ожидание и дисперсия

κ -экспоненциальное распределение типа I имеет момент порядка $m\in \mathbb {N}$ данный

$\operatorname {E} [X^{m}]={\frac {1-\kappa ^{2}}{\prod _{n=0}^{m+1}[1-(2n-m-1)\kappa ]}}{\frac {m!}{\beta ^{m}}}$

где $f_{\kappa }(x)$ конечно, если $0<m+1<1/\kappa$.

Ожидание определяется как:

$\operatorname {E} [X]={\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}$

и дисперсия:

$\operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {2(1-4\kappa ^{2})^{2}-(1-\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}{(1-4\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}}$

Куртозис

Эксцесс - экспоненциального распределения κ типа I можно вычислить следующим образом:

$\operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}\right]^{4}}{\sigma _{\kappa }^{4}}}\right]$

, эксцесс κ Таким образом -экспоненциального распределения распределения типа I определяется выражением:

$\operatorname {Kurt} [X]={\frac {9(1-\kappa ^{2})(1200\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{6}+143\kappa ^{4}-18\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{4}\sigma _{\kappa }^{4}(1-4\kappa ^{2})^{4}(3600\kappa ^{8}-4369\kappa ^{6}+819\kappa ^{4}-51\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/5$

или

$\operatorname {Kurt} [X]={\frac {9(9\kappa ^{2}-1)^{2}(\kappa ^{2}-1)(1200\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{6}+143\kappa ^{4}-18\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{2}(1-4\kappa ^{2})^{2}(9\kappa ^{6}+13\kappa ^{4}-5\kappa ^{2}+1)(3600\kappa ^{8}-4369\kappa ^{6}+819\kappa ^{4}-51\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/5$

Эксцесс показательного обычного распределения восстанавливается в пределе $\kappa \rightarrow 0$.

асимметрия

Асимметрию : -экспоненциального распределения κ типа I можно вычислить следующим образом

$\operatorname {Skew} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}\right]^{3}}{\sigma _{\kappa }^{3}}}\right]$

, асимметрия κ Таким образом -экспоненциального распределения распределения типа I определяется выражением:

$\operatorname {Shew} [X]={\frac {2(1-\kappa ^{2})(144\kappa ^{8}+23\kappa ^{6}+27\kappa ^{4}-6\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{3}\sigma _{\kappa }^{3}(4\kappa ^{2}-1)^{3}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/4$

Эксцесс показательного обычного распределения восстанавливается в пределе $\kappa \rightarrow 0$.

Тип II

Функция плотности вероятности

κ -экспоненциальное распределение типа II

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$0\leq \kappa <1$ форма ( настоящая ) $\beta >0$ ставка ( реальная )
Поддерживать	$x\in [0,\infty )$
PDF	${\frac {\beta }{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2}}}}\exp _{\kappa }(-\beta x)$
CDF	$1-\exp _{k}({-\beta x)}$
Квантиль	$\beta ^{-1}\ln _{\kappa }{\Bigg (}{\frac {1}{1-F_{\kappa }}}{\Bigg )},0\leq F_{\kappa }\leq 1$
Иметь в виду	${\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}$
медиана	$\beta ^{-1}\ln _{\kappa }(2)$
Режим	${\frac {1}{\kappa \beta {\sqrt {2(1-\kappa ^{2})}}}}$
Дисперсия	$\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {1+2\kappa ^{4}}{(1-4\kappa ^{2})(1-\kappa ^{2})^{2}}}$
асимметрия	${\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1)}{(1-9\kappa ^{2})(2\kappa ^{4}+1)}}{\sqrt {\frac {1-4\kappa ^{2}}{1+2\kappa ^{4}}}}$
Избыточный эксцесс	${\frac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3)}{(4\kappa ^{2}-1)^{-1}(2\kappa ^{4}+1)^{2}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}$
Метод моментов	${\frac {\beta ^{-m}m!}{\prod _{n=0}^{m}[1-(2n-m)\kappa ]}}$

-экспоненциальное распределение Каниадакиса κ типа II также является частью класса статистических распределений, возникающих из κ-статистики Каниадакиса , которые имеют степенные хвосты, но с другими ограничениями. Это распределение является частным случаем распределения Каниадакиса κ -Вейбулла с $\alpha =1$ является:

$f_{_{\kappa }}(x)={\frac {\beta }{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2}}}}\exp _{\kappa }(-\beta x)$

действителен для $x\geq 0$, где $0\leq |\kappa |<1$ - индекс энтропии, связанный с энтропией Каниадакиса и $\beta >0$ известен как параметр скорости .

Экспоненциальное распределение восстанавливается как $\kappa \rightarrow 0.$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения κ выражением -экспоненциального распределения типа II определяется

$F_{\kappa }(x)=1-\exp _{k}({-\beta x)}$

для $x\geq 0$. Кумулятивное экспоненциальное распределение восстанавливается в классическом пределе $\kappa \rightarrow 0$.

Характеристики

Моменты, математическое ожидание и дисперсия

κ -экспоненциальное распределение типа II имеет момент порядка $m<1/\kappa$ данный

$\operatorname {E} [X^{m}]={\frac {\beta ^{-m}m!}{\prod _{n=0}^{m}[1-(2n-m)\kappa ]}}$

Ожидаемое значение и дисперсия:

$\operatorname {E} [X]={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}$

$\operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {1+2\kappa ^{4}}{(1-4\kappa ^{2})(1-\kappa ^{2})^{2}}}$

Режим задается:

$x_{\textrm {mode}}={\frac {1}{\kappa \beta {\sqrt {2(1-\kappa ^{2})}}}}$

Куртозис

Эксцесс - экспоненциального распределения κ типа II можно вычислить следующим образом:

$\operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}}{\sigma _{\kappa }}}\right)^{4}\right]$

, эксцесс κ Таким образом -экспоненциального распределения распределения типа II определяется выражением:

$\operatorname {Kurt} [X]={\frac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3)}{\beta ^{4}\sigma _{\kappa }^{4}(\kappa ^{2}-1)^{4}(576\kappa ^{6}-244\kappa ^{4}+29\kappa ^{2}-1)}}\quad {\text{ for }}\quad 0\leq \kappa <1/4$

или

$\operatorname {Kurt} [X]={\frac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3)}{(4\kappa ^{2}-1)^{-1}(2\kappa ^{4}+1)^{2}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{ for }}\quad 0\leq \kappa <1/4$

асимметрия

Асимметрию : -экспоненциального распределения κ типа II можно вычислить следующим образом

$\operatorname {Skew} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}\right]^{3}}{\sigma _{\kappa }^{3}}}\right]$

, асимметрия κ Таким образом -экспоненциального распределения распределения типа II определяется выражением:

$\operatorname {Skew} [X]=-{\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{3}\sigma _{\kappa }^{3}(\kappa ^{2}-1)^{3}(36\kappa ^{4}-13\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/3$

или

$\operatorname {Skew} [X]={\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1)}{(1-9\kappa ^{2})(2\kappa ^{4}+1)}}{\sqrt {\frac {1-4\kappa ^{2}}{1+2\kappa ^{4}}}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/3$

Асимметрия показательного обычного распределения восстанавливается в пределе $\kappa \rightarrow 0$.

Квантили

Квантили выражением задаются следующим

$x_{\textrm {quantile}}(F_{\kappa })=\beta ^{-1}\ln _{\kappa }{\Bigg (}{\frac {1}{1-F_{\kappa }}}{\Bigg )}$

с $0\leq F_{\kappa }\leq 1$, в котором медиана имеет место:

$x_{\textrm {median}}(F_{\kappa })=\beta ^{-1}\ln _{\kappa }(2)$

Кривая Лоренца

Кривая Лоренца , связанная с κ -экспоненциальным распределением типа II, имеет вид:

${\mathcal {L}}_{\kappa }(F_{\kappa })=1+{\frac {1-\kappa }{2\kappa }}(1-F_{\kappa })^{1+\kappa }-{\frac {1+\kappa }{2\kappa }}(1-F_{\kappa })^{1-\kappa }$

Коэффициент Джини ​

$\operatorname {G} _{\kappa }={\frac {2+\kappa ^{2}}{4-\kappa ^{2}}}$

Асимптотическое поведение

κ : -экспоненциальное распределение типа II асимптотически ведет себя следующим образом

$\lim _{x\to +\infty }f_{\kappa }(x)\sim \kappa ^{-1}(2\kappa \beta )^{-1/\kappa }x^{(-1-\kappa )/\kappa }$

$\lim _{x\to 0^{+}}f_{\kappa }(x)=\beta$

Приложения

κ : -экспоненциальное распределение применялось в нескольких областях, таких как

• В геомеханике — для анализа свойств горных массивов;
• В квантовой теории, в физическом анализе с использованием закона излучения Планка ;
• В обратных задачах -экспоненциальное распределение κ использовалось для формулировки устойчивого подхода;
• В теории сетей .

См. также

• Джорджио Каниадакис
• Текущая статистика
• Распространение Каниадакиса
• κ-гауссово распределение Каниадакиса
• κ-гамма-распределение Каниадакиса
• Распределение Каниадакиса κ-Вейбулла
• Каниадакис κ-Логистическое распределение
• Распределение Кианадакиса κ-Эрланга
• Экспоненциальное распределение

Внешние ссылки

• Страница Джорджио Каниадакиса в Google Scholar
• Статистика Каниадакиса на arXiv.org