Функция плотности вероятности

В теории вероятностей функция плотности вероятности ( PDF ), функция плотности или плотность — абсолютно непрерывной случайной величины это функция , значение которой в любой заданной выборке (или точке) в выборочном пространстве (набор возможных значений, принимаемых случайная величина) можно интерпретировать как предоставление относительной вероятности того, что значение случайной величины будет равно этой выборке. ^[2]^[3] Другими словами, плотность вероятности — это вероятность на единицу длины, иными словами, в то время как абсолютная вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо конкретное значение, равна 0 (поскольку изначально существует бесконечное множество возможных значений), значение PDF Для двух разных выборок можно использовать, чтобы в любом конкретном отборе случайной величины сделать вывод, насколько более вероятно, что случайная величина будет близка к одной выборке по сравнению с другой выборкой.

Точнее, PDF используется для указания вероятности случайной величины попадания в определенный диапазон значений , а не для принятия какого-либо одного значения. Эта вероятность определяется интегралом PDF этой переменной в этом диапазоне, то есть она определяется площадью под функцией плотности, но над горизонтальной осью и между самым низким и самым большим значениями диапазона. Функция плотности вероятности всюду неотрицательна, а площадь под всей кривой равна 1.

Термины «функция распределения вероятностей» и «функция вероятности» также иногда использовались для обозначения функции плотности вероятности. Однако такое использование не является стандартным среди вероятностников и статистиков. В других источниках «функция распределения вероятностей» может использоваться, когда распределение вероятностей определяется как функция по общим наборам значений, или оно может относиться к кумулятивной функции распределения , или это может быть функция распределения вероятностей. функция массы вероятности (PMF), а не функция распределения вероятностей (PMF), а не плотность. Сама «функция плотности» также используется для функции массы вероятности, что приводит к дальнейшей путанице. ^[4] Однако в целом PMF используется в контексте дискретных случайных величин (случайных величин, которые принимают значения в счетном наборе), тогда как PDF используется в контексте непрерывных случайных величин.

Пример [ править ]

Предположим, бактерии определенного вида обычно живут от 20 до 30 часов. Вероятность того, что бактерия проживет ровно 5 часов, равна нулю. Многие бактерии живут примерно 5 часов, но нет никаких шансов, что какая-либо бактерия погибнет ровно через 5 часов. Однако вероятность того, что бактерия погибнет в период от 5 часов до 5,01 часа, поддается количественной оценке. Предположим, ответ равен 0,02 (т. е. 2%). Тогда вероятность того, что бактерия погибнет между 5 и 5,001 часами, должна составлять около 0,087, поскольку этот временной интервал составляет одну десятую длины предыдущего. Вероятность того, что бактерия погибнет в период от 5 часов до 5,0001 часа, должна составлять около 0,0087 и так далее.

В данном примере соотношение (вероятность проживания в течение интервала)/(продолжительность интервала) примерно постоянно и равно 2 в час (или 2 часа). ⁻¹). Например, существует вероятность 0,02 умереть в интервале 0,01 часа между 5 и 5,01 часами и (вероятность 0,02 / 0,01 часа) = 2 часа. ⁻¹. Это количество 2 часа ⁻¹называется плотностью вероятности смерти примерно через 5 часов. Следовательно, вероятность того, что бактерия погибнет через 5 часов, можно записать как (2 часа ⁻¹) дт . Это вероятность того, что бактерия погибнет в течение бесконечно малого промежутка времени около 5 часов, где dt — продолжительность этого окна. Например, вероятность того, что он проживет дольше 5 часов, но меньше (5 часов + 1 наносекунда), равна (2 часа ⁻¹)×(1 наносекунда) ≈ 6 × 10 ⁻¹³ (с использованием перевода единиц 3,6 × 10 ¹² наносекунды = 1 час).

Существует функция плотности вероятности f с f (5 часов) = 2 часа. ⁻¹. Интеграл в любом временном окне (не только в бесконечно малых, но и в больших окнах) представляет собой вероятность того , от f что бактерия погибнет в этом окне.

непрерывные распределения Абсолютно одномерные

Функция плотности вероятности чаще всего связана с абсолютно непрерывными одномерными распределениями . величина Случайная $X$ имеет плотность $f_{X}$ , где $f_{X}$ является неотрицательной интегрируемой по Лебегу функцией, если:

\Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx.

Следовательно, если $F_{X}$ — кумулятивная функция распределения $X$ , затем:

F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(u)\,du,

и если

f_{X}

является непрерывным в

x

)

f_{X}(x)={\frac {d}{dx}}F_{X}(x).

Интуитивно можно подумать $f_{X}(x)\,dx$ как вероятность $X$ попадающий в бесконечно малый интервал $[x,x+dx]$ .

Формальное определение [ править ]

( Это определение можно распространить на любое распределение вероятностей, используя теоретико-мерное определение вероятности . )

величина Случайная $X$ со значениями в измеримом пространстве $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ (обычно $\mathbb {R} ^{n}$ с борелевскими множествами как измеримыми подмножествами) имеет в качестве распределения вероятностей меру X _∗ P на $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ : плотность $X$ относительно эталонной меры $\mu$ на $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ – производная Радона–Никодима :

f={\frac {dX_{*}P}{d\mu }}.

То есть f — это любая измеримая функция, обладающая свойством:

\Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu

для любого измеримого множества

A\in {\mathcal {A}}.

Обсуждение [ править ]

В рассмотренном выше случае непрерывной одномерной меры эталонной мерой является мера Лебега . Функция массы вероятности дискретной случайной величины — это плотность относительно меры подсчета в выборочном пространстве (обычно наборе целых чисел или некотором его подмножестве).

Невозможно определить плотность относительно произвольной меры (например, нельзя выбрать меру отсчета в качестве эталона для непрерывной случайной величины). Более того, когда она существует, плотность почти уникальна, а это означает, что любые две такие плотности совпадают почти везде .

Подробности [ править ]

В отличие от вероятности, функция плотности вероятности может принимать значения больше единицы; например, непрерывное равномерное распределение на интервале $[0, 1/2]$ имеет плотность вероятности $f (x) = 2$ для $0 \leq x \leq 1/2$ и $f (x) = 0$ в других местах.

Стандартное нормальное распределение имеет плотность вероятности

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x^{2}/2}.

случайная величина $X$ Если задана $и ее распределение допускает функцию плотности вероятности f$ , то ожидаемое значение X $($ если ожидаемое значение существует) можно рассчитать как

\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.

Не каждое распределение вероятностей имеет функцию плотности: распределения дискретных случайных величин ее не имеют; не делает этого и распределение Кантора , даже если оно не имеет дискретной компоненты, т. е. не приписывает положительную вероятность какой-либо отдельной точке.

Распределение имеет функцию плотности тогда и только тогда, когда его кумулятивная функция распределения $F (x)$ абсолютно непрерывна . В этом случае: $F$ почти всюду дифференцируема , и ее производную можно использовать в качестве плотности вероятности:

{\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).

Если распределение вероятностей допускает плотность, то вероятность каждого одноточечного набора ${a}$ равна нулю; то же самое справедливо для конечных и счетных множеств.

Две плотности вероятности $f$ и $g$ представляют одно и то же распределение вероятностей , если они различаются только на множестве Лебега нулевой меры .

В области статистической физики неформальная переформулировка приведенного выше соотношения между производной кумулятивной функции распределения в качестве определения функции плотности вероятности обычно используется и функцией плотности вероятности. Это альтернативное определение следующее:

Если $dt$ — бесконечно малое число, вероятность того, что $X$ входит в интервал $(t, t + dt),$ равна $f (t) dt$ , или:

\Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt.

между дискретным и распределениями Связь непрерывным

Некоторые дискретные случайные величины, а также случайные величины, включающие как непрерывную, так и дискретную часть, можно представить с помощью обобщенной функции плотности вероятности, используя дельта-функцию Дирака . (Это невозможно с функцией плотности вероятности в том смысле, который определен выше, это можно сделать с распределением . ) Например, рассмотрим двоичную дискретную случайную величину, имеющую распределение Радемахера , то есть принимая в качестве значений -1 или 1, с вероятностью По 1 ⁄ 2 каждый. Плотность вероятности, связанная с этой переменной, равна:

f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).

В более общем смысле, если дискретная переменная может принимать $n$ различных значений среди действительных чисел, то соответствующая функция плотности вероятности имеет вид:

f(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\delta (t-x_{i}),

где

x_{1},\ldots ,x_{n}

дискретные значения, доступные переменной и

p_{1},\ldots ,p_{n}

— вероятности, связанные с этими значениями.

Это существенно унифицирует трактовку дискретных и непрерывных распределений вероятностей. Приведенное выше выражение позволяет определить статистические характеристики такой дискретной переменной (такие как среднее значение , дисперсия и эксцесс ), исходя из формул, приведенных для непрерывного распределения вероятности.

Семейства плотностей [ править ]

Обычно функции плотности вероятности (и функции массы вероятности ) параметризуются, то есть характеризуются неуказанными параметрами . Например, нормальное распределение параметризуется с точки зрения среднего значения и дисперсии , обозначаемых как $\mu$ и $\sigma ^{2}$ соответственно, давая семейство плотностей

f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.

Разные значения параметров описывают разные распределения разных случайных величин на одном и том же выборочном пространстве (один и тот же набор всех возможных значений переменной); это выборочное пространство является областью семейства случайных величин, которые описывает это семейство распределений. Заданный набор параметров описывает одно распределение внутри семейства, имеющее функциональную форму плотности. С точки зрения данного распределения параметры являются константами, а члены функции плотности, которые содержат только параметры, но не переменные, являются частью коэффициента нормализации распределения (мультипликативный коэффициент, который гарантирует, что площадь под плотностью — вероятность того, что что-то произойдет в области, равна 1). Этот коэффициент нормализации находится за пределами ядра распределения.

Поскольку параметры являются константами, перепараметризация плотности с точки зрения других параметров, чтобы дать характеристику другой случайной величины в семействе, означает просто подстановку в формулу новых значений параметров вместо старых.

Плотности, связанные с несколькими переменными [ править ]

Для непрерывных случайных величин $X 1, ..., X n$ также можно определить функцию плотности вероятности, связанную с набором в целом, часто называемую совместной функцией плотности вероятности . Эта функция плотности определяется как функция $n$ переменных, такая, что для любой области $D$ в $n$ -мерном пространстве значений переменных $X 1, ..., X n$ вероятность того, что реализация набора в область $D$ переменные попадают

\Pr \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}.

Если $F (x 1, ..., x n) = Pr(X 1 \leq x 1, ..., X n \leq x n)$ является кумулятивной функцией распределения вектора $(X 1, ..., X n)$ , то совместную функцию плотности вероятности можно вычислить как частную производную

f(x)=\left.{\frac {\partial ^{n}F}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}}\right|_{x}

плотность Предельная

Для $i = 1, 2, ..., n$ пусть $f X i (x i)$ будет функцией плотности вероятности, связанной только с переменной $X i$ . Это называется функцией предельной плотности, и ее можно вывести из плотности вероятности, связанной со случайными величинами $X 1, ..., X n,$ путем интегрирования по всем значениям других $n - 1$ переменных:

f_{X_{i}}(x_{i})=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_{n}.

Независимость [ править ]

Непрерывные случайные величины $X 1, ..., X n$ , допускающие совместную плотность, независимы друг от друга тогда и только тогда, когда

f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n}).

Следствие [ править ]

Если совместную функцию плотности вероятности вектора из $n$ случайных величин можно разложить в произведение $n$ функций одной переменной

f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n}),

(где каждое

f i

не обязательно является плотностью), тогда

все n

переменных в наборе независимы друг от друга, и предельная функция плотности вероятности каждой из них определяется выражением

f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(x_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}.

Пример [ править ]

Этот элементарный пример иллюстрирует приведенное выше определение многомерных функций плотности вероятности в простом случае функции набора двух переменных. Давайте позвоним ${\vec {R}}$ двумерный случайный вектор координат $(X, Y)$ : вероятность получить ${\vec {R}}$ положительных $x$ и $y$ в четверти плоскости

\Pr \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.

изменение переменных в функции вероятности плотности Функция случайных величин и

Если функция плотности вероятности случайной величины (или вектора) $X$ задана как $f X (x)$ , можно (но часто не обязательно; см. ниже) вычислить функцию плотности вероятности некоторой переменной $Y = g (X)$ . Это также называется «заменой переменной» и на практике используется для генерации случайной величины произвольной формы $f g (X) = f Y$ с использованием известного (например, однородного) генератора случайных чисел.

Соблазнительно думать, что для того, чтобы найти ожидаемое значение $(g (X))$ нужно сначала найти плотность вероятности $fg E (X)$ новой случайной величины $Y = g (X)$ . Однако вместо вычислений

\operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }yf_{g(X)}(y)\,dy,

вместо этого можно найти

\operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx.

Значения двух интегралов одинаковы во всех случаях, когда и $X$ , и $g (X)$ фактически имеют функции плотности вероятности. Не обязательно, чтобы $g$ была взаимно однозначной функцией . В некоторых случаях последний интеграл вычисляется гораздо проще, чем первый. См. Закон бессознательного статистика .

Скаляр в скаляр [ править ]

Позволять $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ будет монотонной функцией , то результирующая функция плотности будет равна ^[5]

f_{Y}(y)=f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|.

Здесь $г -1$ обозначает обратную функцию .

Это следует из того, что вероятность, содержащаяся в дифференциальной области, должна быть инвариантной относительно замены переменных. То есть,

\left|f_{Y}(y)\,dy\right|=\left|f_{X}(x)\,dx\right|,

или

f_{Y}(y)=\left|{\frac {dx}{dy}}\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}(x)\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}={\left|\left(g^{-1}\right)'(y)\right|}\cdot f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}.

Для функций, которые не являются монотонными, функция плотности вероятности для $y$ равна

\sum _{k=1}^{n(y)}\left|{\frac {d}{dy}}g_{k}^{-1}(y)\right|\cdot f_{X}{\big (}g_{k}^{-1}(y){\big )},

где

n (y)

— количество решений по

x

для уравнения

g(x)=y

, и

g_{k}^{-1}(y)

это решения.

Вектор в вектор [ править ]

Предположим, что $x$ — $n$ -мерная случайная величина с плотностью соединений $f$ . Если $y = G (x)$ , где $G$ — биективная дифференцируемая функция , то $y$ имеет $pY плотность$ :

p_{Y}(\mathbf {y} )=f{\Bigl (}G^{-1}(\mathbf {y} ){\Bigr )}\left|\det \left[\left.{\frac {dG^{-1}(\mathbf {z} )}{d\mathbf {z} }}\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {y} }\right]\right|

с дифференциалом, рассматриваемым как якобиан обратного

G (\cdot)

, оцененного в

y

. ^[6]

Например, в двумерном случае $x = (x 1, x 2)$ предположим, что преобразование $G$ задается как $y 1 = G 1 (x 1, x 2)$ , $y 2 = G 2 (x 1, x 2 ))$ с обратными $x 1 = G 1 -1 (y1, y2 2)$ , $x2 2 = G G2 -1 (у 1, у 2)$ . Совместное распределение для y = ( y ₁ , y ₂ ) имеет плотность ^[7]

p_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2})=f_{X_{1},X_{2}}{\big (}G_{1}^{-1}(y_{1},y_{2}),G_{2}^{-1}(y_{1},y_{2}){\big )}\left\vert {\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{2}}}-{\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{2}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{1}}}\right\vert .

Вектор в скаляр [ править ]

Позволять $V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ быть дифференцируемой функцией и $X$ быть случайным вектором, принимающим значения в $\mathbb {R} ^{n}$ , $f_{X}$ быть функцией плотности вероятности $X$ и $\delta (\cdot )$ быть дельта-функцией Дирака . Используя приведенные выше формулы, можно определить $f_{Y}$ , функция плотности вероятности $Y=V(X)$ , который будет задан

f_{Y}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} .

Этот результат приводит к закону бессознательного статистика :

\operatorname {E} _{Y}[Y]=\int _{\mathbb {R} }yf_{Y}(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} }y\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} \,dy=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}\int _{\mathbb {R} }yf_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,dy\,d\mathbf {x} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(\mathbf {x} )f_{X}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} =\operatorname {E} _{X}[V(X)].

Доказательство:

Позволять $Z$ быть сжатой случайной величиной с функцией плотности вероятности $p_{Z}(z)=\delta (z)$ (т.е. константа, равная нулю). Пусть случайный вектор ${\tilde {X}}$ и преобразование $H$ быть определен как

H(Z,X)={\begin{bmatrix}Z+V(X)\\X\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y\\{\tilde {X}}\end{bmatrix}}.

Ясно, что $H$ является биективным отображением, а якобиан $H^{-1}$ дан кем-то:

{\frac {dH^{-1}(y,{\tilde {\mathbf {x} }})}{dy\,d{\tilde {\mathbf {x} }}}}={\begin{bmatrix}1&-{\frac {dV({\tilde {\mathbf {x} }})}{d{\tilde {\mathbf {x} }}}}\\\mathbf {0} _{n\times 1}&\mathbf {I} _{n\times n}\end{bmatrix}},

которая представляет собой верхнетреугольную матрицу с единицами на главной диагонали, поэтому ее определитель равен 1. Применяя теорему о замене переменной из предыдущего раздела, получаем, что

f_{Y,X}(y,x)=f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )},

которые, если их маргинализировать

x

приводит к желаемой функции плотности вероятности.

Суммы независимых случайных величин [ править ]

Функция плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин $U$ и $V$ , каждая из которых имеет функцию плотности вероятности, представляет собой свертку их отдельных функций плотности:

f_{U+V}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy=\left(f_{U}*f_{V}\right)(x)

Предыдущее соотношение можно обобщить на сумму N независимых случайных величин с плотностями $1, ..., UN :$ U

f_{U_{1}+\cdots +U}(x)=\left(f_{U_{1}}*\cdots *f_{U_{N}}\right)(x)

Это можно получить путем двусторонней замены переменных, включающей $Y = U + V$ и $Z = V$ , аналогично примеру ниже для фактора независимых случайных величин.

Произведения и коэффициенты независимых случайных величин [ править ]

Учитывая две независимые случайные величины $U$ и $V$ , каждая из которых имеет функцию плотности вероятности, плотность произведения $Y = UV$ и частного $Y = U / V$ можно вычислить путем замены переменных.

Пример: распределение коэффициентов [ править ]

Чтобы вычислить частное $Y = U / V$ двух независимых случайных величин $U$ и $V$ , определите следующее преобразование:

{\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}

Затем плотность соединений $p (y, z)$ можно вычислить путем замены переменных с U , V на Y , Z , а $Y$ можно получить путем исключения $Z$ из плотности соединений.

Обратное преобразование

{\begin{aligned}U&=YZ\\V&=Z\end{aligned}}

Абсолютное значение матрицы Якоби определителя $J(U,V\mid Y,Z)$ этого преобразования:

\left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial y}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}\\{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}\end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}z&y\\0&1\end{bmatrix}}\right|=|z|.

Таким образом:

p(y,z)=p(u,v)\,J(u,v\mid y,z)=p(u)\,p(v)\,J(u,v\mid y,z)=p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|.

А распределение $Y$ можно вычислить, исключив $Z$ :

p(y)=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz

Этот метод критически требует, чтобы преобразование от U , V к Y , Z было биективным . Вышеупомянутое преобразование удовлетворяет этому требованию, поскольку $Z$ можно напрямую отобразить обратно в $V$ , и для данного $V$ частное $U / V$ является монотонным . То же самое относится и к сумме $U + V$ , разности $U - V$ и произведению $UV$ .

Точно такой же метод можно использовать для вычисления распределения других функций от нескольких независимых случайных величин.

Пример: частное двух стандартных нормалей [ править ]

Учитывая две стандартные нормальные переменные $U$ и $V$ , частное можно вычислить следующим образом. Во-первых, переменные имеют следующие функции плотности:

{\begin{aligned}p(u)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{u^{2}}/{2}}\\[1ex]p(v)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{v^{2}}/{2}}\end{aligned}}

Трансформируем, как описано выше:

{\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}

Это ведет к:

{\begin{aligned}p(y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}z\,dz\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}z^{2}\\[5pt]&=\left.-{\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\right|_{u=0}^{\infty }\\[5pt]&={\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}\end{aligned}}

Это плотность стандартного распределения Коши .

См. также [ править ]

Оценка плотности - оценка ненаблюдаемой основной функции плотности вероятности.
Оценка плотности ядра —
Функция правдоподобия - функция, связанная со статистикой и теорией вероятностей.
Список вероятностных распределений
Амплитуда вероятности - комплексное число, квадрат абсолютного значения которого является вероятностью.
Функция массы вероятности - Распределение вероятностей дискретной переменной
Вторичная мера
используется В качестве плотности вероятности позиции :
- Атомная орбиталь - функция, описывающая электрон в атоме.
- Домашний ареал – территория, на которой животное живет и периодически перемещается.

Ссылки [ править ]

^ «Обзор статистики AP - кривые плотности и нормальное распределение» . Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 года . Проверено 16 марта 2015 г.
^ Гринстед, Чарльз М.; Снелл, Дж. Лори (2009). «Условная вероятность — дискретная условная» (PDF) . Введение Гринстеда и Снелла в вероятность . Тексты апельсиновой рощи. ISBN 978-1616100469 . Архивировано (PDF) из оригинала 25 апреля 2003 г. Проверено 25 июля 2019 г.
^ «вероятность. Является ли равномерно случайное число на действительной линии допустимым распределением?» . Крест проверен . Проверено 6 октября 2021 г.
^ Орд, Дж. К. (1972) Семейства частотных распределений , Гриффин. ISBN 0-85264-137-0 (например, Таблица 5.1 и Пример 5.4)
^ Зигрист, Кайл. «Преобразования случайных величин» . Статистика LibreTexts . Проверено 22 декабря 2023 г.
^ Девор, Джей Л.; Берк, Кеннет Н. (2007). Современная математическая статистика с приложениями . Сенгаге. п. 263. ИСБН 978-0-534-40473-4 .
^ Дэвид, Стирзакер (1 января 2007 г.). Элементарная вероятность . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521534284 . OCLC 851313783 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Биллингсли, Патрик (1979). Вероятность и мера . Нью-Йорк, Торонто, Лондон: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-00710-2 .
Казелла, Джордж ; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод (второе изд.). Томсон Обучение. стр. 34–37. ISBN 0-534-24312-6 .
Стирзакер, Дэвид (2003). Элементарная вероятность . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42028-8 . Главы с 7 по 9 посвящены непрерывным переменным.

Внешние ссылки [ править ]

Ушаков, Н.Г. (2001) [1994], «Плотность распределения вероятностей» , Энциклопедия математики , EMS Press
Вайсштейн, Эрик В. «Функция плотности вероятности» . Математический мир .

[1] «Обзор статистики AP - кривые плотности и нормальное распределение» . Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 года . Проверено 16 марта 2015 г.

[2] Гринстед, Чарльз М.; Снелл, Дж. Лори (2009). «Условная вероятность — дискретная условная» (PDF) . Введение Гринстеда и Снелла в вероятность . Тексты апельсиновой рощи. ISBN 978-1616100469 . Архивировано (PDF) из оригинала 25 апреля 2003 г. Проверено 25 июля 2019 г.

[3] «вероятность. Является ли равномерно случайное число на действительной линии допустимым распределением?» . Крест проверен . Проверено 6 октября 2021 г.

[4] Орд, Дж. К. (1972) Семейства частотных распределений , Гриффин. ISBN 0-85264-137-0 (например, Таблица 5.1 и Пример 5.4)

[5] Зигрист, Кайл. «Преобразования случайных величин» . Статистика LibreTexts . Проверено 22 декабря 2023 г.

[6] Девор, Джей Л.; Берк, Кеннет Н. (2007). Современная математическая статистика с приложениями . Сенгаге. п. 263. ИСБН 978-0-534-40473-4 .

[7] Дэвид, Стирзакер (1 января 2007 г.). Элементарная вероятность . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521534284 . OCLC 851313783 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т Это Теория вероятностных распределений
функция массы вероятности (pmf) функция плотности вероятности (pdf) кумулятивная функция распределения (cdf) функция квантиля
сырой момент центральный момент иметь в виду дисперсия среднеквадратичное отклонение асимметрия эксцесс L-момент
производящая момент функция (мгс) характеристическая функция вероятностная функция (pgf) накапливающийся объединение

Пример [ править ]

непрерывные распределения Абсолютно одномерные

Формальное определение [ править ]

Обсуждение [ править ]

Подробности [ править ]

между дискретным и распределениями Связь непрерывным

Семейства плотностей [ править ]

Плотности, связанные с несколькими переменными [ править ]

плотность Предельная ​ ​

Независимость [ править ]

Следствие [ править ]

Пример [ править ]

изменение переменных в функции вероятности плотности Функция случайных величин и

Скаляр в скаляр [ править ]

Вектор в вектор [ править ]

Вектор в скаляр [ править ]

Суммы независимых случайных величин [ править ]

Произведения и коэффициенты независимых случайных величин [ править ]

Пример: распределение коэффициентов [ править ]

Пример: частное двух стандартных нормалей [ править ]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

плотность Предельная