Мера (математика)

Чтобы узнать о коалгебраической концепции, см. «Измерение коалгебры» .

Не путать с метрикой (математикой) .

Неформально мера обладает свойством монотонности в том смысле, что если $A$ является подмножеством ​ $B,$ мера $A$ меньше или равна мере $B.$ Более того, мера пустого множества должна быть равна 0. Простым примером является объем (насколько большой объект занимает пространство) в качестве меры.

В математике понятие меры — это обобщение и формализация геометрических мер ( длины , площади , объёма ) и других распространённых понятий, таких как величина , масса и вероятность событий. Эти, казалось бы, разные концепции имеют много общего и часто могут рассматриваться вместе в едином математическом контексте. Меры являются основополагающими в теории вероятностей и теории интегрирования , и их можно обобщить, приняв отрицательные значения , как в случае с электрическим зарядом . Далеко идущие обобщения меры (такие как спектральные меры и проекционнозначные меры ) широко используются в квантовой физике и физике в целом.

Интуиция, лежащая в основе этой концепции, восходит к Древней Греции , когда Архимед пытался вычислить площадь круга . Но только в конце 19 — начале 20 веков теория меры стала разделом математики. Основы современной теории меры были заложены в работах Эмиля Бореля , Анри Лебега , Николая Лузина , Иоганна Радона , Константина Каратеодори и Мориса Фреше и других.

Определение

Счетная аддитивность меры $\mu$: Мера счетного непересекающегося объединения равна сумме всех мер каждого подмножества.

Позволять $X$ быть набором и $\Sigma$ а $\sigma$-алгебра окончена $X.$ Установленная функция $\mu$ от $\Sigma$ к расширенной прямой вещественных чисел называется мерой , если выполняются следующие условия:

• Негативность : для всех $E\in \Sigma ,\ \ \mu (E)\geq 0.$
• $\mu (\varnothing )=0.$
• Счётная аддитивность (или $\sigma$-аддитивность ): для всех счетных коллекций. $\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ попарно непересекающихся множеств в Σ,
  $$\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).$$

Если хотя бы один набор $E$ имеет конечную меру, то требование $\mu (\varnothing )=0$ выполняется автоматически благодаря счетной аддитивности:

$$\mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),$$

и поэтому $\mu (\varnothing )=0.$

Если отбросить условие неотрицательности и $\mu$ принимает не более одного из значений $\pm \infty ,$ затем $\mu$ называется знаковой мерой .

Пара $(X,\Sigma )$ называется измеримым пространством , а члены $\Sigma$ называются измеримыми множествами .

тройка ​ $(X,\Sigma ,\mu )$называется пространством меры . Вероятностная мера – это мера с полной мерой единица, т. е. $\mu (X)=1.$ Вероятностное пространство — это пространство меры с вероятностной мерой.

Для пространств с мерой, которые также являются топологическими пространствами, для меры и топологии могут быть наложены различные условия совместимости. Большинство мер, встречающихся на практике в анализе (а во многих случаях и в теории вероятностей ), являются мерами Радона . Меры Радона имеют альтернативное определение в терминах линейных функционалов на локально выпуклом топологическом векторном пространстве непрерывных функций с компактным носителем . Этот подход принят Бурбаки (2004) и рядом других источников. Подробнее читайте в статье о радоновых мерах .

Экземпляры

Основная категория: Меры (теория меры)

Здесь перечислены некоторые важные меры.

• Счетная мера определяется формулой $\mu (S)$ = количество элементов в $S.$
• Мера Лебега ​ $\mathbb {R}$ является полной трансляционно-инвариантной мерой на σ -алгебре, содержащей интервалы из $\mathbb {R}$ такой, что $\mu ([0,1])=1$; и любая другая мера с этими свойствами расширяет меру Лебега.
• Мера кругового угла инвариантна относительно вращения , а мера гиперболического угла инвариантна относительно отображения сжатия .
• Мера Хаара для локально компактной топологической группы является обобщением меры Лебега (а также считающей меры и меры кругового угла) и обладает аналогичными свойствами единственности.
• Мера Хаусдорфа является обобщением меры Лебега на множества нецелой размерности, в частности на фрактальные множества.
• Каждое вероятностное пространство порождает меру, которая принимает значение 1 во всем пространстве (и, следовательно, принимает все свои значения в единичном интервале [0, 1]). Такая мера называется вероятностной мерой или распределением . см. в списке распределений вероятностей . Примеры
• Мера Дирака δa _где (ср. функция Дирака имеет вид δa _χS ( S ) = — ₎ ), χS _{дельта -} индикаторная функция ( a $S.$ Мера множества равна 1, если оно содержит точку $a$ и 0 в противном случае.

Другие «именованные» меры, используемые в различных теориях, включают: меру Бореля , меру Жордана , эргодическую меру , меру Гаусса , меру Бэра , меру Радона , меру Янга и меру Леба .

В физике примером меры является пространственное распределение массы (см., например, гравитационный потенциал ) или другое неотрицательное экстенсивное свойство , сохраняющееся ( законе сохранения список из них см. в ) или нет. Отрицательные значения приводят к знаковым показателям, см. «Обобщения» ниже.

• Мера Лиувилля , известная также как естественная форма объема на симплектическом многообразии, полезна в классической статистической и гамильтоновой механике.
• Мера Гиббса широко используется в статистической механике, часто под названием канонический ансамбль .

Теория меры используется в машинном обучении. Одним из примеров является мера вероятности, индуцированная потоком, в GFlowNet.

Основные свойства

Позволять $\mu$ быть мерой.

Монотонность

Если $E_{1}$ и $E_{2}$ являются измеримыми множествами с $E_{1}\subseteq E_{2}$ затем

$$\mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).$$

Мера счетных объединений и пересечений

Счётная субаддитивность

Для любой счетной последовательности $E_{1},E_{2},E_{3},\ldots$ измеримых множеств (не обязательно непересекающихся) $E_{n}$ в $\Sigma :$

$$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).$$

Непрерывность снизу

Если $E_{1},E_{2},E_{3},\ldots$ являются измеримыми множествами, которые возрастают (это означает, что $E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots$) то объединение множеств $E_{n}$ измерима и

$$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\sup _{i\geq 1}\mu (E_{i}).$$

Непрерывность сверху

Если $E_{1},E_{2},E_{3},\ldots$ являются измеримыми множествами, которые уменьшаются (это означает, что $E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots$) то пересечение множеств $E_{n}$измерима; при этом, если хотя бы один из $E_{n}$ имеет конечную меру, то

$$\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).$$

Это свойство неверно без предположения, что хотя бы одно из $E_{n}$имеет конечную меру. Например, для каждого $n\in \mathbb {N} ,$ позволять $E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} ,$ все они имеют бесконечную меру Лебега, но пересечение пусто.

Другая недвижимость

Полнота

Основная статья: Полная мера

Измеримый набор $X$ называется нулевым множеством , если $\mu (X)=0.$Подмножество нулевого множества называется пренебрежимо малым множеством . Пренебрежимо малое множество не обязательно должно быть измеримым, но каждое измеримое пренебрежимо малое множество автоматически является нулевым множеством. Мера называется полной , если каждое ничтожное множество измеримо.

Меру можно расширить до полной, рассматривая σ-алгебру подмножеств $Y$ которые незначительно отличаются от измеримого множества $X,$ то есть такой, что симметричная разность $X$ и $Y$содержится в нулевом наборе. Один определяет $\mu (Y)$ в равной $\mu (X).$

«Отбрасывая край»

Если $f:X\to [0,+\infty ]$ является $(\Sigma ,{\cal {B}}([0,+\infty ]))$-измеримо, тогда

$$\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\mu \{x\in X:f(x)>t\}$$

почти для всех $t\in [-\infty ,\infty ].$ Это свойство используется в связи с интегралом Лебега .

Доказательство

Оба $F(t):=\mu \{x\in X:f(x)>t\}$ и $G(t):=\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}$ являются монотонно невозрастающими функциями $t,$поэтому оба они имеют не более счетного числа разрывов и, следовательно, непрерывны почти всюду относительно меры Лебега. Если $t<0$ затем $\{x\in X:f(x)\geq t\}=X=\{x\in X:f(x)>t\},$ так что $F(t)=G(t),$ по желанию.

Если $t$ таков, что $\mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty$ тогда из монотонности следует

$$\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty ,$$

так что $F(t)=G(t),$как требуется. Если $\mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty$ для всех $t$тогда мы закончили, так что предположим иначе. Тогда есть уникальный $t_{0}\in \{-\infty \}\cup [0,+\infty )$ такой, что $F$ бесконечно слева от $t$ (что может произойти только тогда, когда $t_{0}\geq 0$) и конечен вправо. Рассуждая, как указано выше, $\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty$ когда $t<t_{0}.$ Аналогично, если $t_{0}\geq 0$ и $F\left(t_{0}\right)=+\infty$ затем $F\left(t_{0}\right)=G\left(t_{0}\right).$

Для $t>t_{0},$ позволять $t_{n}$ — монотонно неубывающая последовательность, сходящаяся к $t.$ Монотонно невозрастающие последовательности $\{x\in X:f(x)>t_{n}\}$ членов $\Sigma$ имеет хотя бы одно конечное $\mu$-измеримый компонент, и

$$\{x\in X:f(x)\geq t\}=\bigcap _{n}\{x\in X:f(x)>t_{n}\}.$$

Непрерывность сверху гарантирует, что

$$\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\lim _{t_{n}\uparrow t}\mu \{x\in X:f(x)>t_{n}\}.$$

Правая сторона $\lim _{t_{n}\uparrow t}F\left(t_{n}\right)$ тогда равно $F(t)=\mu \{x\in X:f(x)>t\}$ если $t$ является точкой непрерывности $F.$ С $F$ непрерывен почти всюду, это завершает доказательство.

Аддитивность

Меры должны быть счетно-аддитивными. Однако это условие можно усилить следующим образом. Для любого набора $I$ и любой набор неотрицательных $r_{i},i\in I$ определять:

$$\sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\infty ,J\subseteq I\right\rbrace .$$

То есть мы определяем сумму $r_{i}$ быть верхней суммой всех сумм конечного числа из них.

Мера $\mu$ на $\Sigma$ является $\kappa$-добавка, если для любого $\lambda <\kappa$ и любое семейство непересекающихся множеств $X_{\alpha },\alpha <\lambda$ имеют место следующие:

$$\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma$$

$$\mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).$$

Второе условие эквивалентно утверждению, что идеал нулевых множеств есть $\kappa$-полный.

Сигма-конечные меры

Основная статья: Сигма-конечная мера

Мерное пространство $(X,\Sigma ,\mu )$ называется конечным, если $\mu (X)$ является конечным действительным числом (а не $\infty$). Ненулевые конечные меры аналогичны вероятностным мерам в том смысле, что любая конечная мера $\mu$ пропорциональна вероятностной мере ${\frac {1}{\mu (X)}}\mu .$ Мера $\mu$ называется σ-конечным , если $X$можно разложить в счетное объединение измеримых множеств конечной меры. Аналогично, говорят, что множество в пространстве с мерой имеет σ-конечную меру , если оно представляет собой счетное объединение множеств с конечной мерой.

Например, действительные числа со стандартной мерой Лебега σ-конечны, но не конечны. Рассмотрим замкнутые интервалы $[k,k+1]$ для всех целых чисел $k;$Таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, а их объединение есть вся вещественная прямая. В качестве альтернативы рассмотрим действительные числа со счетной мерой , которая присваивает каждому конечному набору действительных чисел количество точек в наборе. Это пространство с мерой не является σ-конечным, поскольку каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и для покрытия всей вещественной прямой потребовалось бы несчетное количество таких множеств. Пространства с σ-конечной мерой обладают некоторыми очень удобными свойствами; В этом отношении σ-конечность можно сравнить со свойством Линделефа топологических пространств. Их также можно рассматривать как смутное обобщение идеи о том, что пространство с мерой может иметь «несчетную меру».

Строго локализуемые меры

Основная статья: Разложимая мера

Полуконечные меры

Позволять $X$ быть набором, пусть ${\cal {A}}$ быть сигма-алгеброй на $X,$ и разреши $\mu$ быть мерой ${\cal {A}}.$ Мы говорим $\mu$ является полуконечным , что означает, что для всех $A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \},$ ${\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})\neq \emptyset .$

Полуконечные меры обобщают сигма-конечные меры таким образом, что некоторые большие теоремы теории меры, справедливые для сигма-конечных, но не произвольных мер, могут быть с небольшими изменениями расширены и для полуконечных мер. (Задание: добавить примеры таких теорем; см. страницу обсуждения.)

Основные примеры

• Любая сигма-конечная мера полуконечная.
• Предполагать ${\cal {A}}={\cal {P}}(X),$ позволять $f:X\to [0,+\infty ],$ и предположим $\mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)$ для всех $A\subseteq X.$
  • У нас есть это $\mu$ является сигма-конечным тогда и только тогда, когда $f(x)<+\infty$ для всех $x\in X$ и $f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})$является счетным. У нас есть это $\mu$ полуконечно тогда и только тогда, когда $f(x)<+\infty$ для всех $x\in X.$
  • принимая $f=X\times \{1\}$ выше (так что $\mu$ рассчитывает на меры ${\cal {P}}(X)$), мы видим, что считающая мера на ${\cal {P}}(X)$ является
    • сигма-конечно тогда и только тогда, когда $X$является счетным; и
    • полуконечный (независимо от того, $X$является счетным). (Таким образом, считая меру, на наборе мощности ${\cal {P}}(X)$ произвольного несчетного множества $X,$ дает пример полуконечной меры, которая не является сигма-конечной.)
• Позволять $d$ быть полной, разделимой метрикой на $X,$ позволять ${\cal {B}}$ — борелевская сигма-алгебра, индуцированная $d,$ и разреши $s\in \mathbb {R} _{>0}.$ Тогда мера Хаусдорфа ${\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}$ является полуконечным.
• Позволять $d$ быть полной, разделимой метрикой на $X,$ позволять ${\cal {B}}$ — борелевская сигма-алгебра, индуцированная $d,$ и разреши $s\in \mathbb {R} _{>0}.$ Тогда мера упаковки ${\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}$ является полуконечным.

Задействованный пример

Нулевая мера сигма-конечная и, следовательно, полуконечная. Кроме того, нулевая мера явно меньше или равна $\mu .$ Можно показать, что существует наибольшая мера с этими двумя свойствами:

Теорема (полуконечная часть) — По любой мере $\mu$ на ${\cal {A}},$ существует среди полуконечных мер на ${\cal {A}}$ которые меньше или равны $\mu ,$ величайший ​ элемент $\mu _{\text{sf}}.$

Мы говорим полуконечная часть $\mu$ иметь в виду полуконечную меру $\mu _{\text{sf}}$определенные в приведенной выше теореме. Мы приводим несколько хороших явных формул для полуконечной части, которые некоторые авторы могут принять за определение:

• $\mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.$
• $\mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.$
• $\mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.$

С $\mu _{\text{sf}}$ полуконечно, отсюда следует, что если $\mu =\mu _{\text{sf}}$ затем $\mu$является полуконечным. Также очевидно, что если $\mu$ полуконечно, тогда $\mu =\mu _{\text{sf}}.$

Непримеры

Каждый $0-\infty$мера , не являющаяся нулевой мерой, не является полуконечной. (Здесь мы говорим $0-\infty$ мера означает меру, диапазон которой лежит в $\{0,+\infty \}$: $(\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).$) Ниже мы приведем примеры $0-\infty$ меры, которые не являются нулевыми мерами.

• Позволять $X$ быть непустым, пусть ${\cal {A}}$ быть $\sigma$-алгебра $X,$ позволять $f:X\to \{0,+\infty \}$ не будет нулевой функцией, и пусть $\mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}.$ Можно показать, что $\mu$ является мерой.
  • $\mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.$
    • $X=\{0\},$ ${\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},$ $\mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.$
• Позволять $X$ быть неисчислимым, пусть ${\cal {A}}$ быть $\sigma$-алгебра $X,$ позволять ${\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}$ быть счетными элементами ${\cal {A}},$ и разреши $\mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}.$ Можно показать, что $\mu$ является мерой.

Вовлеченный не-пример

Меры, которые не являются полуконечными, становятся очень дикими, если ограничиваться определенными множествами. Любая мера в некотором смысле полуконечная, если она $0-\infty$ часть (дикая часть) отбирается.

- А. Мукерджа и К. Потовен, Реальный и функциональный анализ, Часть A: Реальный анализ (1985)

Теорема (разложение Лютера) — По любой мере $\mu$ на ${\cal {A}},$ существует $0-\infty$ мера $\xi$ на ${\cal {A}}$ такой, что $\mu =\nu +\xi$ для некоторой полуконечной меры $\nu$ на ${\cal {A}}.$ Действительно, среди таких мер $\xi ,$ существует наименьшая мера $\mu _{0-\infty }.$ Кроме того, у нас есть $\mu =\mu _{\text{sf}}+\mu _{0-\infty }.$

Мы говорим $\mathbf {0-\infty }$ часть ​ $\mu$ иметь в виду меру $\mu _{0-\infty }$определенные в приведенной выше теореме. Вот явная формула для $\mu _{0-\infty }$: $\mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.$

Результаты

• Позволять $\mathbb {F}$ быть $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} ,$ и разреши $T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.$ Затем $\mu$ полуконечно тогда и только тогда, когда $T$ является инъективным. (Этот результат важен для изучения дуального пространства $L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )$.)
• Позволять $\mathbb {F}$ быть $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} ,$ и разреши ${\cal {T}}$ — топология сходимости по мере на $L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu ).$ Затем $\mu$ полуконечно тогда и только тогда, когда ${\cal {T}}$ является Хаусдорф.
• (Джонсон) Пусть $X$ быть набором, пусть ${\cal {A}}$ быть сигма-алгеброй на $X,$ позволять $\mu$ быть мерой ${\cal {A}},$ позволять $Y$ быть набором, пусть ${\cal {B}}$ быть сигма-алгеброй на $Y,$ и разреши $\nu$ быть мерой ${\cal {B}}.$ Если $\mu ,\nu$ оба не являются $0-\infty$ мера, то оба $\mu$ и $\nu$ полуконечны тогда и только тогда, когда $(\mu \times _{\text{cld}}\nu )$$(A\times B)=\mu (A)\nu (B)$ для всех $A\in {\cal {A}}$ и $B\in {\cal {B}}.$ (Здесь, $\mu \times _{\text{cld}}\nu$ — мера, определенная в теореме 39.1 в журнале Berberian '65. )

Локализуемые меры

Локализуемые меры являются частным случаем полуконечных мер и обобщением сигма-конечных мер.

Позволять $X$ быть набором, пусть ${\cal {A}}$ быть сигма-алгеброй на $X,$ и разреши $\mu$ быть мерой ${\cal {A}}.$

• Позволять $\mathbb {F}$ быть $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} ,$ и разреши $T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.$ Затем $\mu$ локализуемо тогда и только тогда, когда $T$ является биективным (тогда и только тогда, когда $L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )$ "является" $L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )^{*}$).

s-конечные меры

Основная статья: s-конечная мера

Мера называется s-конечной, если она представляет собой счетную сумму конечных мер. S-конечные меры являются более общими, чем сигма-конечные, и имеют приложения в теории случайных процессов .

Неизмеримые множества

Основная статья: Неизмеримое множество

Если предположить , что выбранная аксиома верна, можно доказать, что не все подмножества евклидова пространства измеримы по Лебегу ; примеры таких наборов включают набор Витали и неизмеримые наборы, постулируемые парадоксом Хаусдорфа и парадоксом Банаха-Тарского .

Обобщения

Для определенных целей полезно иметь «меру», значения которой не ограничиваются неотрицательными действительными числами или бесконечностью. Например, счетно-аддитивная функция множества со значениями в (знаковых) действительных числах называется знаковой мерой , а такая функция со значениями в комплексных числах называется комплексной мерой . Заметим, однако, что комплексная мера обязательно имеет конечную вариацию, следовательно, комплексные меры включают в себя конечные меры со знаком, но не, например, меру Лебега .

Меры, принимающие значения в банаховом пространстве, широко изучались. Мера, принимающая значения из множества самосопряженных проекций в гильбертовом пространстве, называется проекционнозначной мерой ; они используются в функциональном анализе спектральной теоремы . Когда необходимо отличить обычные меры, принимающие неотрицательные значения, от обобщений, термин « положительная мера» используют . Положительные меры замыкаются при конической комбинации , но не при общей линейной комбинации , а знаковые меры представляют собой линейное замыкание положительных мер.

Другое обобщение — это конечно-аддитивная мера , также известная как содержание . Это то же самое, что и мера, за исключением того, что вместо требования счетной аддитивности нам требуется только конечная аддитивность. Исторически это определение было использовано первым. Оказывается, вообще говоря, конечно-аддитивные меры связаны с такими понятиями, как банаховы пределы , двойственные к $L^{\infty }$и компактификация Стоуна-Чеха . Все это так или иначе связано с аксиомой выбора . Содержание остается полезным в некоторых технических проблемах геометрической теории меры ; это теория банаховых мер .

Заряд — это обобщение в обе стороны: это конечно-аддитивная знаковая мера. ( зарядах см. в пространстве ba Информацию об ограниченных , где мы говорим, что заряд ограничен , что означает, что его диапазон является ограниченным подмножеством R .)

См. также

• Абелева алгебра фон Неймана
• Почти везде
• Теорема Каратеодори о продолжении
• Содержание (теория меры)
• Теория Фубини
• Лемма Фату
• Теория нечеткой меры
• Геометрическая теория меры
• мера Хаусдорфа
• Внутренняя мера
• Интеграция Лебега
• Мера Лебега
• Лоренцево пространство
• Теория подъема
• Измеримый кардинал
• Измеримая функция
• Содержание Минковского
• Внешняя мера
• Мера продукта
• Прогрессивная мера
• Регулярная мера
• Векторная мера
• Оценка (теория меры)
• Форма объёма

Библиография

• Роберт Г. Бартл (1995) Элементы интеграции и мера Лебега , Wiley Interscience.
• Бауэр, Хайнц (2001), Теория меры и интеграции , Берлин: де Грюйтер, ISBN  978-3110167191
• Медведь, HS (2001), Учебник по интеграции Лебега , Сан-Диего: Academic Press, ISBN  978-0120839711
• Бербериан, Стерлинг К. (1965). Измерение и интегрирование . Макмиллан.
• Bogachev, Vladimir I. (2006), Measure theory , Berlin: Springer, ISBN  978-3540345138
• Бурбаки, Николя (2004), Интеграция I , Springer Verlag , ISBN  3-540-41129-1 Глава III.
• Дадли, Ричард М. (2002). Реальный анализ и вероятность . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521007542 .
• Эдгар, Джеральд А. (1998). Интегральные, вероятностные и фрактальные меры . Спрингер. ISBN  978-1-4419-3112-2 .
• Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (второе изд.). Уайли. ISBN  0-471-31716-0 .
• Федерер, Герберт. Геометрическая теория измерений. Основные принципы математических наук, том 153 Springer-Verlag New York Inc., Нью-Йорк, 1969 xiv+676 стр.
• Фремлин, Д.Х. (2016). Теория меры, Том 2: Широкие основы (изд. В твердом переплете). Торрес Фремлин. Вторая печать.
• Хьюитт, Эдвард; Стромберг, Карл (1965). Реальный и абстрактный анализ: современная трактовка теории функций действительной переменной . Спрингер. ISBN  0-387-90138-8 .
• Джех, Томас (2003), Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное , Springer Verlag , ISBN  3-540-44085-2
• Р. Дункан Люс и Луи Наренс (1987). «измерение, теория», The New Palgrave: A Dictionary of Economics , т. 3, стр. 428–32.
• Лютер, Норман Ю. (1967). «Декомпозиция мер» . Канадский математический журнал . 20 : 953–959. дои : 10.4153/CJM-1968-092-0 . S2CID   124262782 .
• Мухерджа, А; Потховен, К. (1985). Реальный и функциональный анализ, Часть А: Реальный анализ (второе изд.). Пленум Пресс.
  • Первое издание было опубликовано вместе с Частью B: Функциональный анализ в виде одного тома: Мухерджа, А; Потховен, К. (1978). Реальный и функциональный анализ (Первое изд.). Пленум Пресс. дои : 10.1007/978-1-4684-2331-0 . ISBN  978-1-4684-2333-4 .
• М. Е. Манро, 1953. Введение в измерение и интегрирование . Эддисон Уэсли.
• Нильсен, Оле А (1997). Введение в интегрирование и теорию меры . Уайли. ISBN  0-471-59518-7 .
• КПС Бхаскара Рао и М. Бхаскара Рао (1983), Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер , Лондон: Academic Press, стр. 107–111. х + 315, ISBN  0-12-095780-9
• Ройден, ХЛ ; Фицпатрик, премьер-министр (2010). Реальный анализ (Четвертое изд.). Прентис Холл. п. 342, Упражнение 17.8. Первая печать. Имеется более позднее (2017 г.) второе издание. Хотя обычно разница между первым и последующими изданиями незначительна, в этом случае второе издание не только удаляет со страницы 53 упражнения 36, 40, 41 и 42 главы 2, но также предлагает (немного, но все же существенно) другое издание. презентация части (ii) упражнения 17.8. (Изложение части (ii) упражнения 17.8 (о Лютере) во втором издании разложение) согласуется с обычными представлениями, тогда как презентация первого издания дает свежий взгляд.)
• Шилов Г.Е. и Гуревич Б.Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход , Ричард А. Сильверман, пер. Дуврские публикации. ISBN   0-486-63519-8 . Подчеркивает интеграл Даниэля .
• Тешль, Джеральд , Темы реального и функционального анализа , (конспекты лекций)
• Тао, Теренс (2011). Введение в теорию меры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  9780821869192 .
• Уивер, Ник (2013). Теория меры и функциональный анализ . Всемирная научная . ISBN  9789814508568 .

Внешние ссылки

• «Мера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Учебное пособие: Теория меры для чайников