Оценка (теория меры)

В теории меры или, по крайней мере, в подходе к ней через теорию предметной области , нормирование — это отображение класса открытых множеств топологического пространства в множество положительных действительных чисел , включая бесконечность , с определенными свойствами. Это понятие тесно связано с понятием меры и как таковое находит применение в теории меры, теории вероятностей и теоретической информатике .

Определение теории области/меры

Позволять $\scriptstyle (X,{\mathcal {T}})$ быть топологическим пространством: оценка - это любая функция множества

$$v:{\mathcal {T}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{+\infty \}$$

удовлетворяющий следующим трем свойствам

$${\begin{array}{lll}v(\varnothing )=0&&\scriptstyle {\text{Strictness property}}\\v(U)\leq v(V)&{\mbox{if}}~U\subseteq V\quad U,V\in {\mathcal {T}}&\scriptstyle {\text{Monotonicity property}}\\v(U\cup V)+v(U\cap V)=v(U)+v(V)&\forall U,V\in {\mathcal {T}}&\scriptstyle {\text{Modularity property}}\,\end{array}}$$

Определение сразу показывает связь между оценкой и мерой: свойства двух математических объектов часто очень похожи, если не идентичны, с той лишь разницей, что областью измерения меры является борелевская алгебра данного топологического пространства, а областью нормирования является класс открытых множеств. Более подробную информацию и ссылки можно найти в Alvarez-Manilla, Edalat & Saheb-Djahromi 2000 и Goubault-Larrecq 2005 .

Непрерывная оценка

Оценивание (как оно определено в теории предметной области/теории меры) называется непрерывным , если для каждого направленного семейства $\scriptstyle \{U_{i}\}_{i\in I}$ ( открытых множеств т.е. индексированное семейство открытых множеств, которое также является направленным в том смысле, что для каждой пары индексов $i$ и $j$ принадлежащий набору индексов $I$, существует индекс $k$ такой, что $\scriptstyle U_{i}\subseteq U_{k}$ и $\scriptstyle U_{j}\subseteq U_{k}$) имеет место следующее равенство :

$$v\left(\bigcup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}v(U_{i}).$$

Это свойство аналогично τ-аддитивности мер.

Простая оценка

Оценка (как она определена в теории предметной области/теории меры) называется простой , если она представляет собой конечную линейную комбинацию с неотрицательными коэффициентами , оценок Дирака то есть

$$v(U)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\delta _{x_{i}}(U)\quad \forall U\in {\mathcal {T}}$$

где $a_{i}$ всегда больше или как минимум равно нулю для всех индексов $i$. Простые оценки, очевидно, непрерывны в указанном выше смысле. Супремум индексов направленного семейства простых нормировок (т. е. индексированного семейства простых нормирований, которое также направлено в том смысле, что для каждой пары $i$ и $j$ принадлежащий набору индексов $I$, существует индекс $k$ такой, что $\scriptstyle v_{i}(U)\leq v_{k}(U)\!$ и $\scriptstyle v_{j}(U)\leq v_{k}(U)\!$) называется квазипростой оценкой

$${\bar {v}}(U)=\sup _{i\in I}v_{i}(U)\quad \forall U\in {\mathcal {T}}.\,$$

См. также

• Проблема расширения для данной оценки (в смысле теории областей/теории меры) состоит в том, чтобы найти, при каких условиях она может быть расширена до меры в собственном топологическом пространстве, которое может быть, а может и не быть тем же пространством, в котором она определено: статьи Alvarez-Manilla, Edalat & Saheb-Djahromi 2000 и Goubault-Larrecq 2005 в справочном разделе посвящены этой цели и содержат также некоторые исторические подробности.
• Понятия нормирования на выпуклых множествах и нормирования на многообразиях являются обобщением нормирования в смысле теории области /меры. Оценка на выпуклых множествах может принимать комплексные значения , а базовое топологическое пространство представляет собой набор непустых выпуклых компактных подмножеств конечномерного векторного пространства : оценка на многообразиях представляет собой комплекснозначную конечно-аддитивную меру, определенную на собственном подмножество класса подмногообразий всех компактных данных многообразий .

Примеры

Дирака

Позволять $\scriptstyle (X,{\mathcal {T}})$ — топологическое пространство, и пусть $x$ быть точкой $X$: карта

$$\delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}~x\notin U\\1&{\mbox{if}}~x\in U\end{cases}}\quad {\text{ for all }}U\in {\mathcal {T}}$$

— это оценка в теории предметной области/теории меры, в смысле, называемая Дирака оценкой . Эта концепция берет свое начало из теории распределения , поскольку она является очевидным переносом в теорию оценки распределения Дирака : как видно выше, оценки Дирака представляют собой « кирпичики » простые оценки , из которых состоят .

См. также

• Оценка (геометрия) – на страницах геометрии, отображающих описания викиданных в качестве запасного варианта.

Цитируемые работы

• Альварес-Манилья, Маурицио; Эдалат, Аббас; Сахеб-Джахроми, Нассер (2000), «Результат расширения для непрерывных оценок», Журнал Лондонского математического общества , 61 (2): 629–640, CiteSeerX   10.1.1.23.9676 , doi : 10.1112/S0024610700008681 .
• Губо-Ларрек, Жан (2005), «Расширения оценок», Математические структуры в информатике , 15 (2): 271–297, doi : 10.1017/S096012950400461X

Внешние ссылки

• Алескер, Семен, « различные препринты по оценке » , arXiv сервер препринтов , основной сайт Корнельского университета . Несколько статей, посвященных нормированию выпуклых множеств, нормированию многообразий и смежным темам.
• Страница nLab об оценках