s-конечная мера

В теории меры , разделе математики, изучающем обобщенные понятия объёмов, s-конечная мера является особым типом меры . s-конечная мера является более общей, чем конечная мера, но позволяет обобщить некоторые доказательства для конечных мер.

S-конечные меры не следует путать с σ-конечными (сигма-конечными) мерами .

Определение [ править ]

Позволять $(X,{\mathcal {A}})$ быть измеримым пространством и $\mu$ мера на этом измеримом пространстве. Мера $\mu$ называется s-конечной мерой, если ее можно записать в виде счетной суммы конечных мер $\nu _{n}$ ( $n\in \mathbb {N}$ ), ^[1]

\mu =\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}.

Пример [ править ]

Мера Лебега $\lambda$ является s-конечной мерой. Для этого установите

B_{n}=(-n,-n+1]\cup [n-1,n)

и определить меры $\nu _{n}$ к

\nu _{n}(A)=\lambda (A\cap B_{n})

для всех измеримых множеств $A$ . Эти меры конечны, поскольку $\nu _{n}(A)\leq \nu _{n}(B_{n})=2$ для всех измеримых множеств $A$ , и по построению удовлетворяют

\lambda =\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}.

Поэтому мера Лебега s-конечная.

Свойства [ править ]

Связь с σ конечными - мерами

Всякая σ-конечная мера является s-конечной, но не всякая s-конечная мера также является σ-конечной.

Чтобы показать, что каждая σ-конечная мера s-конечна, пусть $\mu$ быть σ-конечным. Тогда существуют измеримые непересекающиеся множества $B_{1},B_{2},\dots$ с $\mu (B_{n})<\infty$ и

\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}=X

Тогда меры

\nu _{n}(\cdot ):=\mu (\cdot \cap B_{n})

конечны, а их сумма равна $\mu$ . Этот подход аналогичен приведенному выше примеру.

Пример s-конечной меры, не являющейся σ-конечной, можно построить на множестве $X=\{a\}$ с σ-алгеброй ${\mathcal {A}}=\{\{a\},\emptyset \}$ . Для всех $n\in \mathbb {N}$ , позволять $\nu _{n}$ — считающая мера на этом измеримом пространстве и определим

\mu :=\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}.

Мера $\mu$ по построению s-конечна (поскольку считающая мера конечна на множестве из одного элемента). Но $\mu$ не является σ-конечным, поскольку

\mu (\{a\})=\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}(\{a\})=\sum _{n=1}^{\infty }1=\infty .

Так $\mu$ не может быть σ-конечным.

Эквивалентность вероятностным мерам

Для каждой s-конечной меры $\mu =\sum _{n=1}^{\infty }\nu _{n}$ , существует эквивалентная вероятностная мера $P$ , это означает, что $\mu \sim P$ . ^[1] Одна из возможных эквивалентных вероятностных мер определяется выражением

P=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}{\frac {\nu _{n}}{\nu _{n}(X)}}.

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Том. 77. Швейцария: Шпрингер. п. 21. дои : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3 .

Фолкнер, Нил (2009). «Отзывы». Американский математический ежемесячник . 116 (7): 657–664. дои : 10.4169/193009709X458654 . ISSN 0002-9890 .
Олав Калленберг (12 апреля 2017 г.). Случайные меры, теория и приложения . Спрингер. ISBN 978-3-319-41598-7 .
Гюнтер Ласт; Мэтью Пенроуз (26 октября 2017 г.). Лекции по Пуассоновскому процессу . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-08801-6 .
Р.К. Гетур (6 декабря 2012 г.). Чрезмерные меры . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-3470-8 .

[Kallenberg21-1] Jump up to: ^а ^б Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Том. 77. Швейцария: Шпрингер. п. 21. дои : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3 .

[1]