Обратное неравенство Мильмана – Брунна – Минковского

В математике , в частности, в асимптотической выпуклой геометрии , обратное неравенство Милмана Брунна – Минковского является результатом Виталия Мильмана. которое обеспечивает обратное неравенство знаменитому неравенству Брунна–Минковского для выпуклых тел в n - мерном евклидовом пространстве R ^н . А именно, он ограничивает объем суммы Минковского двух тел сверху через объемы тел.

Введение

Пусть K и L — выпуклые тела в R ^н . Неравенство Брунна – Минковского утверждает, что

$\mathrm {vol} (K+L)^{1/n}\geq \mathrm {vol} (K)^{1/n}+\mathrm {vol} (L)^{1/n}~,$

где vol обозначает n -мерную меру Лебега , а + в левой части обозначает сложение Минковского.

В общем случае обратная оценка невозможна, поскольку можно найти выпуклые тела K и L единичного объема так, что объем их суммы Минковского будет сколь угодно большим. Теорема Мильмана утверждает, что можно заменить одно из тел его образом при правильно выбранном линейном отображении , сохраняющем объем , так, чтобы левая часть неравенства Брунна – Минковского была ограничена постоянным кратным правой части.

Результат представляет собой одну из основных структурных теорем локальной теории банаховых пространств .

Формулировка неравенства

Существует константа C , не зависящая от n , такая, что для любых двух центрально-симметричных выпуклых тел K и L в R ^н существуют сохраняющие объем линейные отображения φ и ψ из R ^н себе такой, что для любых действительных чисел s , t > 0

$\mathrm {vol} (s\,\varphi K+t\,\psi L)^{1/n}\leq C\left(s\,\mathrm {vol} (\varphi K)^{1/n}+t\,\mathrm {vol} (\psi L)^{1/n}\right)~.$

Одна из карт может быть выбрана в качестве идентичности.

Ссылки

• Мильман, Виталий Д. (1986). «Обратная форма неравенства Брунна-Минковского с приложениями к локальной теории нормированных пространств». Доклады Академии наук, серия I. 302 (1): 25–28. МР   0827101 .

• Писье, Жиль (1989). Объем выпуклых тел и геометрия банахова пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 94. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36465-5 . МР   1036275 .