Предварительная мера

В математике предварительная мера — это заданная функция , которая в некотором смысле является предшественником истинной меры в данном пространстве. Действительно, одна из фундаментальных теорем теории меры гласит, что предмера может быть расширена до меры.

Определение

showСемьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Open Topology							(even arbitrary $\cup$)			Never
Closed Topology						(even arbitrary $\cap$)				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a semiring is a π-system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A semialgebra is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

Позволять $R$ быть кольцом подмножеств (замкнутых относительно объединения и относительного дополнения ) фиксированного множества $X$ и пусть $\mu _{0}:R\to [0,\infty ]$ быть заданной функцией . $\mu _{0}$ называется предварительной мерой, если

$$\mu _{0}(\varnothing )=0$$

и для каждой счетной (или конечной) последовательности $A_{1},A_{2},\ldots \in R$ попарно непересекающихся множеств, объединение которых лежит в $R,$

$$\mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n}).$$

Второе свойство называется $\sigma$-аддитивность .

Таким образом, для того, чтобы предмера была мерой, не хватает того, что она не обязательно определена на сигма-алгебре (или сигма-кольце ).

Каратеодори

Основная статья: теорема Каратеодори о продолжении

Оказывается, что предварительные меры вполне естественным образом порождают внешние меры , которые определены для всех подмножеств пространства. $X.$ Точнее, если $\mu _{0}$ является предмерой, определенной на кольце подмножеств $R$ пространства $X,$ тогда функция set $\mu ^{*}$ определяется

$$\mu ^{*}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})\right|A_{i}\in R,S\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right\}$$

является внешней мерой $X$ и мера $\mu$ вызванный $\mu ^{*}$ на $\sigma$-алгебра $\Sigma$ , множеств, измеримых по Каратеодори удовлетворяет $\mu (A)=\mu _{0}(A)$ для $A\in R$ (в частности, $\Sigma$ включает в себя $R$). Нижняя грань пустого множества принимается равной $+\infty .$

(Обратите внимание, что существуют некоторые различия в терминологии, используемой в литературе. Например, Роджерс (1998) использует слово «мера» там, где в этой статье используется термин «внешняя мера». Внешние меры, как правило, не являются мерами, поскольку они могут не быть $\sigma$-добавка.)

См. также

• Теорема Хана-Колмогорова – Теорема, распространяющая предварительные меры на меры. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Ссылки

• Манро, Мэн (1953). Введение в измерение и интегрирование . Кембридж, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company Inc., с. 310. МР 0053186
• Роджерс, Калифорния (1998). Меры Хаусдорфа . Кембриджская математическая библиотека (Третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 195. ИСБН  0-521-62491-6 . МИСТЕР 1692618 (см. раздел 1.2.)
• Фолланд, Великобритания (1999). Реальный анализ . Чистая и прикладная математика (второе изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. 30–31 . ISBN  0-471-31716-0 .