Фильтр (математика)

В математике фильтр ( или фильтр порядка — это специальное подмножество poset частично упорядоченного набора ), описывающее «большие» или «возможные» элементы. Фильтры появляются в теории порядка и решётки , а также в топологии , откуда они происходят. Понятие, двойственное фильтру, является идеалом порядка .

К особым случаям фильтров относятся ультрафильтры , которые представляют собой фильтры, которые нельзя увеличить, и описывают неконструктивные методы математической логики .

Фильтры на множествах были введены Анри Картаном в 1937 году. Николя Бурбаки в своей книге «Общая топология » популяризировал фильтры как альтернативу , предложенному Э. Х. Муром и Германом Л. Смитом в 1922 году понятию сети ; Фильтры порядка обобщают это понятие от частного случая множества включенного степенного до произвольных частично упорядоченных множеств . Тем не менее, теория степенных фильтров сама по себе сохраняет интерес, отчасти из-за существенных приложений в топологии .

Мотивация

Исправьте частично упорядоченный набор (poset) $P$ . Интуитивно понятно, что фильтр $F$ — это подмножество $P$ , членами которого являются элементы, достаточно большие, чтобы удовлетворять некоторому критерию. ^[1] Например, если $x \in P$ , то набор элементов выше $x$ представляет собой фильтр, называемый основным фильтром в точке $x$ . (Если $x$ и $y$ являются несравнимыми элементами $P$ , то ни главный фильтр в $x$ и $y$ не содержится в другом.)

Аналогично, фильтр на множестве $S$ содержит те подмножества, которые достаточно велики, чтобы содержать некоторую заданную вещь . Например, если $S$ — действительная линия и $x \in S$ , то семейство множеств, включающее $x$ внутри , является фильтром, называемым фильтром окрестности в точке $x$ . Вещь , но какой-либо другой конкретной точки в данном случае чуть больше $x$ линии она все равно не содержит.

Приведенные выше соображения мотивируют требование закрытия вверх в приведенном ниже определении : «достаточно большие» объекты всегда можно увеличить.

Чтобы понять два других условия, поменяйте роли и вместо этого рассматривайте $F$ как «схему поиска» для поиска $x$ . В этой интерпретации человек ищет в некотором пространстве $X$ и ожидает, $что F$ будет описывать те подмножества $X$ , которые содержат цель. Цель должна где-то находиться; таким образом, пустое множество $\emptyset$ никогда не может находиться в $F$ . А если два подмножества оба содержат цель, то следует «приблизиться» к их общей области.

Ультрафильтр описывает «идеальную схему поиска», где каждый компонент схемы предоставляет новую информацию («поиск здесь» или «поиск в другом месте»). Компактность — это свойство, согласно которому «каждый поиск плодотворен», или, говоря иначе, «любая схема локации заканчивается результатом поиска».

Обычно фильтр используется для определения свойств, которым удовлетворяют «общие» элементы некоторого топологического пространства. ^[2] Это приложение обобщает «схему определения местоположения» для поиска точек, которые может быть трудно записать явно.

Определение

Подмножество $F$ частично упорядоченного множества $(P, \leq)$ является фильтром или двойственным идеалом, если выполняются следующие условия:

Нетривиальность: Множество $F$ непусто .
Направлено вниз: Для каждых $x, y \in F$ существует $такой z \in F$ , что $z ⩽ x$ и $z ⩽ y$ .
Закрытие вверх: Для каждых $x \in F$ и $p \in P$ условие $x \leq p$ за собой $p \in F.$ влечет

Если, кроме того, $F \neq P$ , то $F$ называется собственным фильтром . Авторы теории множеств и математической логики часто требуют, чтобы все фильтры были правильными; эта статья будет избегать этого соглашения. ^[3] Ультрафильтр – это фильтр, который не содержится ни в одном другом подходящем фильтре.

Базы фильтров

Подмножество $S$ из $F$ является базой или базисом для $F,$ если верхний набор , порожденный $S$ (т. е. наименьший замкнутый вверх набор, содержащий $S$ ), полностью состоит из $F$ . Каждый фильтр является основой сам по себе.

Более того, если $B \subseteq P$ непусто и направлено вниз, то $B$ порождает верхнее множество $F,$ являющееся фильтром (для которого $B$ является базой). Такие наборы называются префильтрами также вышеупомянутой базой/базисом фильтра , и $F$ говорят, генерируется или охватывается B. $что$ , а Предварительный фильтр является правильным тогда и только тогда, когда он генерирует правильный фильтр.

Учитывая $p \in P$ , набор ${x : p \leq x}$ является наименьшим фильтром, содержащим $p$ , и иногда пишется $↑ p$ . Такой фильтр называется основным фильтром ; $является$ Говорят, что главным элементом F $p$ или $F.$ порождает

Предположим, что $B$ и $C$ — два префильтра на $P$ , и для каждого $c \in C$ существует $b \in B$ такой, что $b ⩽ c$ . Тогда мы говорим, $B$ что тоньше (или уточняет ) $C$ ; аналогично $C$ грубее ( огрубляет ) $B.$ или Доработка - это предзаказ на комплект префильтров. Фактически, если $C$ также уточняет $B$ , то $B$ и $C$ называются эквивалентными , поскольку они генерируют один и тот же фильтр. Таким образом, переход от предварительного фильтра к фильтру является примером перехода от предварительного упорядочения к соответствующему частичному упорядочению.

Особые случаи

Исторически сложилось так, что фильтры обобщались на теоретико-порядковые решетки перед произвольными частичными порядками. В случае решеток направление вниз можно записать как замыкание при конечных : для всех $x, y \in F$ имеем $x \land y \in F.$ пересечениях ^[4]

Линейные фильтры

Линейный (ультра)фильтр — это (ультра)фильтр на решетке векторных подпространств данного векторного пространства , упорядоченных по включению. Явно, линейный фильтр в векторном пространстве $X$ — это семейство $B$ векторных подпространств $X$ такое, что если $A, B \in B$ и $C$ векторное подпространство $X$ , содержащее $A$ , то $A \cap B \in B$ и $C \in B.$ — ^[5]

Линейный фильтр является правильным, если он не содержит ${0}$ . ^[5]

Фильтры в комплекте; подбазы

Семьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$ v т и
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
$π$ -system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Open Topology							(even arbitrary $\cup$ )			Never
Closed Topology						(even arbitrary $\cap$ )				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a *semiring* is a $π$ -system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A *semialgebra* is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

Учитывая набор $S$ , набор степеней $P (S)$ путем частично упорядочивается включения множества ; фильтры на этом частичном наборе часто называют просто «фильтрами на $S$ », злоупотребляя терминологией . Для таких упорядоченных наборов направление вниз и закрытие вверх сводятся к: ^[3]

Замыкание при конечных пересечениях: Если $A, B \in F$ то и $A \cap B \in F.$ ,
изотония: ^[6] Если $A \in F$ и $A \subseteq B \subseteq S$ , $B \in F.$ то

Правильный  ^[7]/невырожденный ^[8] фильтром является тот, который не содержит $\emptyset$ , и эти три условия (включая невырожденность) являются Анри Картаном . оригинальным определением фильтра, данным ^[9]^[10] Обычно ( хотя и не универсально ) требуется, чтобы фильтры на множествах были правильными (какой бы ни была позиция в отношении фильтров ЧМ-множеств); мы снова будем избегать этой конвенции.

Префильтры на множестве являются правильными тогда и только тогда, когда они также не содержат $\emptyset$ .

Для каждого подмножества $T$ из $P (S)$ существует наименьший фильтр $F$ содержащий $T.$ , Как и в случае с префильтрами, $T$ генерирует или охватывает $F$ ; базой для $F$ является множество $U$ всех конечных пересечений $T$ . Множество $T$ называется подбазой фильтра , когда $F$ (и, следовательно, $U$ ) является собственным.

Правильные фильтры на множествах обладают свойством конечного пересечения .

Если $S = \emptyset$ , то $S$ допускает только несобственный фильтр ${\emptyset}$ .

Бесплатные фильтры

Фильтр называется свободным, если пересечение его членов пусто. Правильный основной фильтр не является бесплатным.

Поскольку пересечение любого конечного числа членов фильтра также является членом, ни один правильный фильтр на конечном множестве не является свободным и действительно является основным фильтром, порожденным общим пересечением всех его членов. Но неглавный фильтр на бесконечном множестве не обязательно свободен: фильтр свободен тогда и только тогда, когда он включает фильтр Фреше (см. § Примеры ).

Примеры

На изображении вверху этой статьи представлен простой пример фильтров в конечном частично упорядоченном множестве $P ({1, 2, 3, 4})$ .

Частично упорядочить $ℝ \to ℝ$ пространство вещественных функций на $ℝ$ путем поточечного сравнения. Тогда набор функций, «больших на бесконечности», $\left\{f:\lim _{x\to \pm \infty }{f(x)}=\infty \right\}{\text{,}}$ — фильтр на $ℝ \to ℝ$ . Эту конструкцию можно значительно обобщить, компактифицировав область и дополнив ко-область: если $X$ — множество с выделенным подмножеством $S$ , а $Y$ — частичное множество с выделенным элементом $m$ , то ${f : f | S \geq m}$ — фильтр в $X \to Y$ .

Множество ${{k : k \geq N} : N \in ℕ}$ является фильтром в $P (ℕ)$ . В более общем смысле, если $D$ — любое направленное множество , то $\{\{k:k\geq N\}:N\in D\}$ — это фильтр в $P (D)$ , называемый хвостовым фильтром. Аналогично любая сеть ${x α} αεΑ$ порождает фильтр событий ${{x β : α \leq β} : α \in Α}$ . Хвостовой фильтр — это фильтр событий для $x α = α$ .

Фильтр Фреше на бесконечном множестве $X$ — это $\{A:X\setminus A{\text{ finite}}\}{\text{.}}$ Если $(X, µ)$ пространство с мерой , то набор ${A : µ(X ∖ A) = 0}$ является фильтром. Если $µ(X) = \infty$ , то ${A : µ(X ∖ A) < \infty}$ также является фильтром; фильтр Фреше - это случай, когда $µ$ является счетной мерой .

Учитывая порядковый номер $a$ , подмножество $a$ называется клубом, если оно замкнуто в топологии порядка a $,$ но имеет теоретический сетевой предел $a$ . Трефы $формы$ образуют фильтр: клубный фильтр , $♣(a)$ .

Предыдущая конструкция обобщается следующим образом: любой клуб $C$ также является набором плотных подмножеств (в топологии ) $a$ , и $♣(a)$ соответствует каждому элементу $C.$ порядковой Заменяя $C$ произвольным набором $C$ , плотных множеств «обычно» существует фильтр, соответствующий каждому элементу $C$ , называемый общим фильтром . Для счетного $C̃$ лемма Расёвы –Сикорского означает, что такой фильтр должен существовать; для «малых» несчетных $C̃$ существование такого фильтра можно доказать с помощью аксиомы Мартина .

Обозначим через $P$ множество частичных порядков ограниченной мощности по модулю изоморфизма . Частично заказать $P$ по:

A \leq B

если существует строго возрастающее

f : A \to B.

,

Тогда подмножество неатомарных частичных порядков образует фильтр. Аналогично, если $I$ — множество инъективных модулей над некоторым данным коммутативным кольцом ограниченной мощности по модулю изоморфизма, то частичный порядок на $I$ — это:

A \leq B

если существует инъективное линейное отображение

f : A \to B.

, ^[11]

Для любого бесконечного кардинала $κ$ модули из $I$ , которые не могут быть порождены менее чем $κ$ элементами, образуют фильтр.

Любая структура на множестве $X$ является фильтром на $X \times X.$ равномерная

Отношение к идеалам

Понятие , двойственное фильтру, то есть понятие, полученное путем перестановки всех $\leq$ и замены $\land$ на $\lor$ , является идеалом порядка. Благодаря этой двойственности любой вопрос о фильтрах может быть механически переведен в вопрос об идеалах и наоборот; в частности, простой или максимальный фильтр — это фильтр, соответствующий идеал которого является (соответственно) простым или максимальным.

Фильтр является ультрафильтром тогда и только тогда, когда соответствующий идеал минимален.

В теории моделей

Для каждого фильтра $F$ на множестве $S$ функция множества, определяемая формулой $m(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}A\in F\\0&{\text{if }}S\smallsetminus A\in F\\{\text{is undefined}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ является конечно-аддитивной — « мерой », если этот термин понимать довольно свободно. Более того, построенные таким образом меры определены всюду, если $F$ — ультрафильтр . Поэтому заявление $\left\{\,x\in S:\varphi (x)\,\right\}\in F$ можно считать чем-то аналогичным утверждению, что $φ$ выполняется «почти всюду». Такая интерпретация членства в фильтре используется (для мотивации, а не фактических доказательств ) в теории ультрапроизведений в теории моделей , разделе математической логики .

В топологии

В общей топологии и анализе фильтры используются для определения сходимости аналогично роли последовательностей в метрическом пространстве . Они объединяют концепцию предела во многих произвольных топологических пространствах .

Чтобы понять необходимость фильтров, начните с эквивалентной концепции net . Последовательность набор обычно индексируется натуральными числами $ℕ$ , которые представляют собой полностью упорядоченный . Сети обобщают понятие последовательности, заменяя $ℕ$ произвольным направленным множеством . В некоторых категориях топологических пространств, таких как пространства с первой счетностью , последовательности характеризуют большинство топологических свойств, но в целом это не так. Однако сети, как и фильтры, всегда характеризуют эти топологические свойства.

Фильтры не включают в себя какое-либо множество, внешнее по отношению к топологическому пространству $X$ , тогда как последовательности и сети полагаются на другие направленные множества. По этой причине совокупность всех фильтров на $X$ всегда является набором , тогда как совокупность всех $X$ -значных сетей представляет собой собственный класс .

Соседские базы

Любая точка $x$ в топологическом пространстве $X$ определяет фильтр окрестности или систему $N x$ : а именно, семейство всех множеств, $x$ внутри содержащих . Множество $N$ окрестностей точки $x$ является базой окрестностей точки $x,$ если $N$ порождает $N x$ . Эквивалентно, $S \subseteq X$ является окрестностью точки $x$ тогда и только тогда, когда существует $N \in N$ такой, что $N \subseteq S$ .

Конвергентные фильтры и точки кластеризации

Предварительный фильтр $B$ сходится к точке $x$ , записанной $B \to x$ , тогда и только тогда, когда $B$ порождает фильтр $F$ , который содержит фильтр окрестности $N x$ - явно, для каждой окрестности $U$ точки $x$ существует некоторый $V \in B$ такой, что $V \subseteq У.$ Менее явно, $B \to x$ тогда и только тогда, когда $B$ уточняет $N x$ , и любая база окрестностей в $x$ может заменить $N x$ в этом условии. Очевидно, что каждая база окрестности в точке $x$ сходится к $x$ .

Фильтр $F$ (который порождает сам себя) сходится к $x,$ если $N x \subseteq F$ . Вышеупомянутое также можно перевернуть, чтобы охарактеризовать фильтр соседства $N x$ : $N x$ является фильтром самой тонкой очистки, более грубым, чем каждый фильтр, сходящийся к $x$ .

Если $B \to x$ , то $x$ называется пределом (точкой $B.$ ) предварительный фильтр $B$ Говорят, что $кластеризуется в точке x$ (или имеет $x$ в качестве точки кластера ) тогда и только тогда, когда каждый элемент $B$ имеет непустое пересечение с каждой окрестностью $x$ . Каждая предельная точка является точкой кластера, но обратное, как правило, неверно. Однако каждая точка кластера ультрафильтра является предельной точкой.

См. также

Фильтрация (математика)
Фильтрация (теория вероятностей) - Модель информации, доступной в данной точке случайного процесса.
Фильтрация (абстрактная алгебра)
Общий фильтр - в теории множеств, учитывая набор плотных открытых подмножеств частичного множества, фильтр, который удовлетворяет всем наборам в этой коллекции.
Идеал (теория множеств) - непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.

Примечания

^ Коутрас и др. 2021 .
^ Игараси, Аюми; Цвикер, Уильям С. (16 февраля 2021 г.). «Справедливое разделение графов и запутанных тортов». arXiv : 2102.08560 [ math.CO ].
^ Перейти обратно: ^а ^б Дугунджи 1966 , стр. 211–213.
^ Дэйви, бакалавр; Пристли, ХА (1990). Введение в решетки и порядок . Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета. п. 184.
^ Перейти обратно: ^а ^б Бергман и Грушовский 1998 .
^ Dolecki & Mynard 2016 , стр. 27–29.
^ Голдблатт, Р. Лекции по гиперреальности: введение в нестандартный анализ . п. 32.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 2–7.
^ Картман 1937a .
^ Картман 1937b .
^ Бамби, RT (1 декабря 1965 г.). «Модули, изоморфные подмодулям друг друга» . Архив математики . 16 (1): 184–185. дои : 10.1007/BF01220018 . ISSN 1420-8938 .

Ссылки

Николя , топология Общая Бурбаки , ISBN 0-387-19374-X (гл. 1–4): содержит хороший справочник по фильтрам общей топологии (глава I) и фильтрам Коши в однородных пространствах (глава II).
Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
Беррис, Стэнли; Санкаппанавар, Ханамантагуда П. (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-9880552-0-9 . Архивировано из оригинала 1 апреля 2022 года.
Картан, Анри (1937a). «Теория фильтров» . Еженедельные отчеты сессий Академии наук . 205 : 595–598.
Картан, Анри (1937b). «Фильтры и ультрафильтры» . Еженедельные отчеты сессий Академии наук . 205 : 777–779.
Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4 . OCLC 945169917 .
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7 . OCLC 395340485 .
Кутрас, Костас Д.; Мойзес, Христос; Номикос, Христос; Цапроунис, Константинос; Зикос, Йоргос (20 октября 2021 г.). «О слабых фильтрах и ультрафильтрах: теория множеств из (и для) представления знаний». Логический журнал IGPL . дои : 10.1093/jigpal/jzab030 .
Макивер Р., Дэвид (1 июля 2004 г.). «Фильтры в анализе и топологии» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 9 октября 2007 г. (Содержит вводный обзор фильтров в топологии и метрических пространствах.)
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .

Дальнейшее чтение

Бергман, Джордж М .; Грушовский, Эхуд (1998). «Линейные ультрафильтры». Связь в алгебре . 26 (12): 4079–4113. CiteSeerX 10.1.1.54.9927 . дои : 10.1080/00927879808826396 .

[FOOTNOTEKoutrasMoyzesNomikosTsaprounis2021-1] Коутрас и др. 2021 .

[2] Игараси, Аюми; Цвикер, Уильям С. (16 февраля 2021 г.). «Справедливое разделение графов и запутанных тортов». arXiv : 2102.08560 [ math.CO ].

[FOOTNOTEDugundji1966211–213-3] Перейти обратно: ^а ^б Дугунджи 1966 , стр. 211–213.

[4] Дэйви, бакалавр; Пристли, ХА (1990). Введение в решетки и порядок . Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета. п. 184.

[FOOTNOTEBergmanHrushovski1998-5] Перейти обратно: ^а ^б Бергман и Грушовский 1998 .

[FOOTNOTEDoleckiMynard201627–29-6] Dolecki & Mynard 2016 , стр. 27–29.

[7] Голдблатт, Р. Лекции по гиперреальности: введение в нестандартный анализ . п. 32.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20112–7-8] Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 2–7.

[FOOTNOTECartan1937a-9] Картман 1937a .

[FOOTNOTECartan1937b-10] Картман 1937b .

[11] Бамби, RT (1 декабря 1965 г.). «Модули, изоморфные подмодулям друг друга» . Архив математики . 16 (1): 184–185. дои : 10.1007/BF01220018 . ISSN 1420-8938 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v т и Теория порядка
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Positive cone of an ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone of an ordered vector space Riesz space Partially ordered group Positive cone of a partially ordered group Upper set Young's lattice