Упорядоченное топологическое векторное пространство

В математике, особенно в функциональном анализе и теории порядка , упорядоченное топологическое векторное пространство , также называемое упорядоченным TVS , представляет собой топологическое векторное пространство (TVS) X , имеющее частичный порядок ≤, что превращает его в упорядоченное векторное пространство , положительный конус которого $C:=\left\{x\in X:x\geq 0\right\}$ является замкнутым подмножеством X . Упорядоченные TVSes имеют важные приложения в спектральной теории .

Обычный конус

Основная статья: Нормальный конус (функциональный анализ)

Если C — конус в TVS X, то C — нормальный , если ${\mathcal {U}}=\left[{\mathcal {U}}\right]_{C}$, где ${\mathcal {U}}$ — фильтр окрестности в начале координат, $\left[{\mathcal {U}}\right]_{C}=\left\{\left[U\right]:U\in {\mathcal {U}}\right\}$, и $[U]_{C}:=\left(U+C\right)\cap \left(U-C\right)$ является C -насыщенной оболочкой подмножества U множества X .

Если C — конус в TVS X (над действительными или комплексными числами), то следующие условия эквивалентны:

1. С — обычный конус.
2. Для каждого фильтра ${\mathcal {F}}$ в X , если $\lim {\mathcal {F}}=0$ затем $\lim \left[{\mathcal {F}}\right]_{C}=0$.
3. Существует база соседства ${\mathcal {B}}$ в X такой, что $B\in {\mathcal {B}}$ подразумевает $\left[B\cap C\right]_{C}\subseteq B$.

и если X — векторное пространство над вещественными числами, то также:

1. Существует база окрестностей в начале координат, состоящая из выпуклых C сбалансированных -насыщенных множеств .
2. Существует порождающая семья ${\mathcal {P}}$ полунорм на X таких, что $p(x)\leq p(x+y)$ для всех $x,y\in C$ и $p\in {\mathcal {P}}$.

Если топология на X локально выпукла, то замыкание нормального конуса является нормальным конусом.

Свойства

Если C — нормальный конус в X , а B — ограниченное подмножество X , то $\left[B\right]_{C}$ ограничен; в частности, каждый интервал $[a,b]$ ограничен. Если X хаусдорфово, то каждый нормальный конус в X является собственным конусом.

Свойства

• Пусть X — конечномерное упорядоченное векторное пространство над вещественными числами. Тогда порядок X является архимедовым тогда и только тогда, когда положительный конус X замкнут для единственной топологии, при которой X является хаусдорфовой ТВС.
• Пусть X — упорядоченное векторное пространство над вещественными числами с положительным C. конусом Тогда следующие условия эквивалентны:

1. порядок X регулярен.
2. C секвенциально замкнут для некоторой хаусдорфовой локально выпуклой TVS топологии на X и $X^{+}$ различает точки в X
3. порядок X является архимедовым, а нормален для некоторой хаусдорфовой локально выпуклой TVS-топологии на X. C

См. также

• Обобщенная метрика – Метрическая геометрия
• Топология порядка (функциональный анализ) - Топология упорядоченного векторного пространства.
• Упорядоченное поле – алгебраический объект с упорядоченной структурой.
• Упорядоченная группа — группа с совместимым частичным порядком. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Заказное кольцо — кольцо с совместимым общим порядком. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.
• Частично упорядоченное пространство - Частично упорядоченное топологическое пространство.
• Пространство Рисса - Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки.
• Топологическая векторная решетка
• Векторная решетка — частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Ссылки

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .