Перепончатое пространство

В математике , особенно в функциональном анализе , веб-пространство — это топологическое векторное пространство , созданное с целью обеспечить справедливость результатов теоремы об открытом отображении и теоремы о замкнутом графике для более широкого класса линейных карт, кодомены которых являются веб-пространствами. Пространство называется перепончатым, если существует совокупность множеств , называемая сетью , которая удовлетворяет определенным свойствам. Паутину впервые исследовал де Уайльд.

Интернет

Позволять $X$ — хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство . А web — это стратифицированная коллекция дисков, удовлетворяющая следующим требованиям по впитываемости и сходимости.

1. Слой 1 : Первый слой должен состоять из последовательности $D_{1},D_{2},D_{3},\ldots$ дисков ​ в $X$ такой, что их союз $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }D_{i}$ поглощает $X.$
2. Уровень 2 : для каждого диска $D_{i}$ в первом слое должна существовать последовательность $D_{i1},D_{i2},D_{i3},\ldots$ дисков в $X$ такой, что для каждого $D_{i}$: $$D_{ij}\subseteq \left({\tfrac {1}{2}}\right)D_{i}\quad {\text{ for every }}j$$ и $\cup _{j\in \mathbb {N} }D_{ij}$ поглощает $D_{i}.$ Наборы $\left(D_{ij}\right)_{i,j\in \mathbb {N} }$ сформирует второй слой.
3. Уровень 3 : на каждый диск $D_{ij}$ во втором слое присвойте другую последовательность $D_{ij1},D_{ij2},D_{ij3},\ldots$ дисков в $X$ удовлетворяющие аналогично определенным свойствам; явно это означает, что для каждого $D_{i,j}$: $$D_{ijk}\subseteq \left({\tfrac {1}{2}}\right)D_{ij}\quad {\text{ for every }}k$$ и $\cup _{k\in \mathbb {N} }D_{ijk}$ поглощает $D_{ij}.$ Наборы $\left(D_{ijk}\right)_{i,j,k\in \mathbb {N} }$ образуют третий слой.

Продолжайте этот процесс, чтобы определить слои. $4,5,\ldots .$ То есть используйте индукцию, чтобы определить слой $n+1$ с точки зрения страты $n.$

А цепочка — это последовательность дисков, причем первый диск выбирается из первого слоя, скажем $D_{i},$ а второй выбран из последовательности, которая была связана с $D_{i},$ и так далее. Мы также требуем, чтобы если последовательность векторов $(x_{n})$ выбирается из пряди (с $x_{1}$ принадлежащий первому диску в пряди, $x_{2}$ принадлежащий второму и т. д.), то ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ сходится.

Хаусдорфово , на котором можно определить ткань , локально выпуклое топологическое векторное пространство называется перепончатое пространство .

Примеры и достаточные условия

Теорема  (де Уайльд, 1978) - Топологическое векторное пространство. $X$ является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно является одновременно перепончатым пространством и пространством Бэра .

Все следующие пространства являются перепончатыми:

• Пространства Фреше .
• Проективные пределы и индуктивные пределы последовательностей перепончатых пространств.
• Секвенциально замкнутое векторное подпространство перепончатого пространства.
• Счетные произведения перепончатых пространств.
• Фактор Хаусдорфа перепончатого пространства.
• Образ перепончатого пространства при секвенциально непрерывном линейном отображении, если этот образ хаусдорфов .
• Борнологизация . перепончатого пространства
• Непрерывное двойственное пространство к метризуемому локально выпуклому пространству, наделенному сильной двойственной топологией, является перепончатым.
• Если $X$ — строгий индуктивный предел счетного семейства локально выпуклых метризуемых пространств, то непрерывное сопряженное пространство $X$ с сильной топологией является перепончатым.
  • Так, в частности, сильные двойственные локально выпуклые метризуемые пространства являются перепончатыми.
• Если $X$ является перепончатым пространством, то любая хаусдорфова локально выпуклая топология, более слабая, чем эта (перепончатая) топология, также является перепончатой.

Теоремы

Теорема о замкнутом графе - Позволять $A:X\to Y$ быть линейным отображением между ТВС, которое является секвенциально замкнутым (это означает, что его график представляет собой секвенциально замкнутое подмножество $X\times Y$). Если $Y$ представляет собой перепончатое пространство и $X$ является ультраборнологическим пространством (например, пространством Фреше или индуктивным пределом пространств Фреше), то $A$ является непрерывным.

Теорема о замкнутом графе . Любое замкнутое линейное отображение индуктивного предела Бэра локально выпуклых пространств в перепончатое локально выпуклое пространство непрерывно.

Теорема об открытом отображении . Любое непрерывное сюръективное линейное отображение перепончатого локально выпуклого пространства на индуктивный предел локально выпуклых пространств Бэра является открытым.

Теорема об открытом отображении — Любое непрерывное сюръективное линейное отображение перепончатого локально-выпуклого пространства на ультраборнологическое пространство открыто.

Теорема об открытом отображении — Если образ замкнутого линейного оператора $A:X\to Y$ из локально-выпуклого перепончатого пространства $X$ в хаусдорфово локально выпуклое пространство $Y$ скуден не в $Y$ затем $A:X\to Y$ является сюръективной открытой картой.

Если пространства не являются локально выпуклыми, то существует понятие сети, в котором требование быть диском заменяется требованием сбалансированности . Для такого понятия сети мы имеем следующие результаты:

Теорема о замкнутом графе . Любое замкнутое линейное отображение индуктивного предела топологических векторных пространств Бэра в перепончатое топологическое векторное пространство является непрерывным.

См. также

• Почти открытая линейная карта — карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Бочковое пространство - тип топологического векторного пространства.
• Закрытый график — график карты, закрытой в пространстве продукта. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Теорема о замкнутом графе (функциональный анализ) - Теоремы, связывающие непрерывность с замыканием графов.
• Закрытый линейный оператор
• Прерывистая линейная карта
• F-пространство - топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой.
• Пространство Фреше - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
• Теорема Какутани о неподвижной точке - Теорема о неподвижной точке для многозначных функций
• Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - условие открытости линейного оператора.
• Теорема Урсеску - обобщение замкнутого графа, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности

Ссылки

• Де Уайльд, Марк (1978). Теоремы о замкнутом графике и перепончатые пространства . Лондон: Питман.
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кригль, Андреас ; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Математические обзоры и монографии. Том. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-0780-4 . OCLC   37141279 .
• Кригль, Андреас; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа . Математические обзоры и монографии. Американское математическое общество . стр. 557–578. ISBN  9780821807804 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .