Последовательное пространство

В топологии и смежных областях математики секвенциальное пространство — это топологическое пространство , топологию которого можно полностью охарактеризовать сходящимися/расходящимися последовательностями. Их можно рассматривать как пространства, удовлетворяющие очень слабой аксиоме счетности , и все пространства с первой счетностью (особенно метрические пространства ) являются секвенциальными.

В любом топологическом пространстве $(X,\tau ),$ если сходящаяся последовательность содержится в замкнутом множестве $C,$ то предел этой последовательности должен содержаться в $C$ также. Множества, обладающие этим свойством, называются последовательно замкнутыми . Секвенциальные пространства — это именно те топологические пространства, для которых секвенциально замкнутые множества фактически замкнуты. (Эти определения также можно перефразировать в терминах последовательно открытых множеств; см. ниже.) Иными словами, любую топологию можно описать в терминах сетей (также известных как последовательности Мура – ​​Смита), но эти последовательности могут быть «слишком длинными» ( индексирован слишком большим порядковым номером) для сжатия в последовательность. Секвенциальные пространства — это те топологические пространства, для которых для описания топологии достаточно сетей счетной длины (т. е. последовательностей).

Любая топология может быть уточнена (то есть сделана тоньше) до последовательной топологии, называемой последовательным кор-отражением . $X.$

Родственные понятия пространств Фреше–Урысона , T -секвенциальных пространств и $N$-секвенциальные пространства также определяются с точки зрения того, как топология пространства взаимодействует с последовательностями, но имеют слегка отличающиеся свойства.

Последовательные пространства и $N$-секвенциальные пространства были введены С. П. Франклином .

История

Хотя пространства, удовлетворяющие таким свойствам, неявно изучались в течение нескольких лет, первое формальное определение было дано С. П. Франклином в 1965 году. Франклин хотел определить «классы топологических пространств, которые могут быть полностью определены путем знания их сходящихся последовательностей», и начал с исследования пространств с первой счетностью , для которых уже было известно, что достаточно последовательностей. Затем Франклин пришел к современному определению, абстрагируя необходимые свойства пространств с первой счетностью.

Предварительные определения

См. также: Фильтры в топологии и сети (математика).

Позволять $X$ быть набором и пусть $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ быть последовательностью в $X$; то есть семейство элементов $X$, индексированный натуральными числами . В этой статье $x_{\bullet }\subseteq S$ означает, что каждый элемент последовательности $x_{\bullet }$ является элементом $S,$ и, если $f:X\to Y$ это карта, то $f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }.$ Для любого индекса $i,$ хвост $x_{\bullet }$ начиная с $i$ это последовательность $$x_{\geq i}=(x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ){\text{.}}$$ Последовательность $x_{\bullet }$ в конечном итоге находится в $S$ если какой-то хвост $x_{\bullet }$ удовлетворяет $x_{\geq i}\subseteq S.$

Позволять $\tau$ быть топологией на $X$ и $x_{\bullet }$ последовательность в нем. Последовательность $x_{\bullet }$ сходится к точке $x\in X,$ написано $x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x$ (если позволяет контекст, $x_{\bullet }\to x$), если для каждой окрестности $U\in \tau$ из $x,$ в конце концов $x_{\bullet }$ находится в $U.$ $x$ тогда называется предельной точкой $x_{\bullet }.$

Функция $f:X\to Y$ между топологическими пространствами секвенциально непрерывна, если $x_{\bullet }\to x$ подразумевает $f(x_{\bullet })\to f(x).$

Последовательное закрытие/внутреннее

Позволять $(X,\tau )$ быть топологическим пространством и пусть $S\subseteq X$ быть подмножеством. Топологическое замыкание (соответственно топологическая внутренняя часть ) $S$ в $(X,\tau )$ обозначается $\operatorname {cl} _{X}S$ (соответственно $\operatorname {int} _{X}S$).

Последовательное закрытие ​ $S$ в $(X,\tau )$ это набор $$\operatorname {scl} (S)=\left\{x\in X:{\text{there exists a sequence }}s_{\bullet }\subseteq S{\text{ such that }}s_{\bullet }\to x\right\}$$который определяет карту, оператор последовательного замыкания , на множестве степеней $X.$ При необходимости для ясности это множество можно записать еще $\operatorname {scl} _{X}(S)$ или $\operatorname {scl} _{(X,\tau )}(S).$ Всегда бывает так, что $\operatorname {scl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,$ но обратное может не сработать.

Последовательный интерьер ​ $S$ в $(X,\tau )$ это набор $$\operatorname {sint} (S)=\{s\in S:{\text{whenever }}x_{\bullet }\subseteq X{\text{ and }}x_{\bullet }\to s,{\text{ then }}x_{\bullet }{\text{ is eventually in }}S\}$$(топологическое пространство при необходимости снова указывается с нижним индексом).

Последовательное замыкание и внутреннее пространство удовлетворяют многим замечательным свойствам топологического замыкания и внутреннего пространства: для всех подмножеств $R,S\subseteq X,$

• $\operatorname {scl} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {sint} _{X}(S)$ и $\operatorname {sint} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {scl} _{X}(S)$;

  showДоказательство

  Fix $x\in \operatorname {sint} (X\setminus S).$ If $x\in \operatorname {scl} (S),$ then there exists $s_{\bullet }\subseteq S$ with $s_{\bullet }\to x.$ But by the definition of sequential interior, eventually $s_{\bullet }$ is in $X\setminus S,$ contradicting $s_{\bullet }\subseteq S.$ Conversely, suppose $x\notin \operatorname {sint} (X\setminus S)$; then there exists a sequence $s_{\bullet }\subseteq X$ with $s_{\bullet }\to x$ that is not eventually in $X\setminus S.$ By passing to the subsequence of elements not in $X\setminus S,$ we may assume that $s_{\bullet }\subseteq S.$ But then $x\in \operatorname {scl} (S).$ ▮

• $\operatorname {scl} (\emptyset )=\emptyset$ и $\operatorname {sint} (\emptyset )=\emptyset$;
• ${\textstyle \operatorname {sint} (S)\subseteq S\subseteq \operatorname {scl} (S)}$;
• $\operatorname {scl} (R\cup S)=\operatorname {scl} (R)\cup \operatorname {scl} (S)$; и
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)\subseteq \operatorname {scl} (\operatorname {scl} (S)).}$

То есть последовательное замыкание является оператором предварительного замыкания . В отличие от топологического замыкания, последовательное замыкание не является идемпотентным : последнее включение может быть строгим. Таким образом, последовательное замыкание не является ( Куратовского ) оператором замыкания .

Последовательно закрытые и открытые множества

Набор $S$ последовательно закрывается, если $S=\operatorname {scl} (S)$; равнозначно, для всех $s_{\bullet }\subseteq S$ и $x\in X$ такой, что $s_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x,$ мы должны иметь $x\in S.$

Набор $S$ определяется как последовательно открытая, если ее дополнение секвенциально закрыто. К эквивалентным условиям относятся:

• $S=\operatorname {sint} (S)$ или
• Для всех $x_{\bullet }\subseteq X$ и $s\in S$ такой, что $x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}s,$ в конце концов $x_{\bullet }$ находится в $S$ (т.е. существует некоторое целое число $i$ такой, что хвост $x_{\geq i}\subseteq S$).

Набор $S$ является последовательной окрестностью точки $x\in X$ если он содержит $x$ в его последовательном интерьере; последовательные окрестности не обязательно должны быть секвенциально открытыми (см. § T- и N-секвенциальные пространства ниже).

Это возможно для подмножества $X$ быть последовательно открытым, но не открытым. Точно так же возможно существование секвенциально замкнутого подмножества, которое не является замкнутым.

Последовательные пространства и корефлексия

Как обсуждалось выше, последовательное замыкание, вообще говоря, не является идемпотентным и, следовательно, не является оператором замыкания топологии. Можно получить идемпотентное последовательное замыкание посредством трансфинитной итерации : для последующего порядкового номера $\alpha +1,$ определить (как обычно) $$(\operatorname {scl} )^{\alpha +1}(S)=\operatorname {scl} ((\operatorname {scl} )^{\alpha }(S))$$и для предельного ординала $\alpha ,$ определять $$(\operatorname {scl} )^{\alpha }(S)=\bigcup _{\beta <\alpha }{(\operatorname {scl} )^{\beta }(S)}{\text{.}}$$Этот процесс дает возрастающую порядковую последовательность наборов; оказывается, что эта последовательность всегда стабилизируется по индексу $\omega _{1}$ ( первый неисчисляемый порядковый номер ). И наоборот, последовательный порядок $X$ — минимальный порядковый номер, при котором при любом выборе $S,$ вышеуказанная последовательность стабилизируется.

Трансфинитное последовательное замыкание $S$ это терминал, установленный в указанной выше последовательности: $(\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}(S).$ Оператор $(\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}$ является идемпотентным и, следовательно, оператором замыкания . В частности, он определяет топологию последовательного короотражения. При последовательном корефлексии каждое последовательно замкнутое множество закрыто (и каждое последовательно открытое множество открыто).

Последовательные пространства

Топологическое пространство $(X,\tau )$ является последовательным, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

• $\tau$ является его собственным последовательным корефлексированием.
• Каждое последовательно открытое подмножество $X$ открыт.
• Каждое последовательно замкнутое подмножество $X$ закрыт.
• Для любого подмножества $S\subseteq X$ который не закрыт внутри $X,$ существует какой-то $x\in \operatorname {cl} (S)\setminus S$ и последовательность в $S$ который сходится к $x.$
• (Универсальное свойство) Для любого топологического пространства $Y,$ карта $f:X\to Y$ непрерывен тогда и только тогда , когда он секвенциально непрерывен (если $x_{\bullet }\to x$ затем $f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$).
• $X$ есть фактор первого счетного пространства.
• $X$ является фактором метрического пространства.

Взяв $Y=X$ и $f$ быть картой идентичности на $X$ по свойству универсальности следует, что класс секвенциальных пространств состоит именно из тех пространств, топологическая структура которых определяется сходящимися последовательностями. Если две топологии согласовывают сходящиеся последовательности, то они обязательно имеют одно и то же последовательное корефлексирование. Более того, функция из $Y$ является секвенциально непрерывным тогда и только тогда, когда он непрерывен на последовательном кор-отражении (то есть, когда он предварительно составлен с $f$).

T- и N -секвенциальные пространства

T — это топологическое пространство секвенциального порядка -секвенциальное пространство 1, которое эквивалентно любому из следующих условий:

• Последовательное закрытие (или внутреннее) каждого подмножества $X$ последовательно закрывается (соответственно открывается).
• $\operatorname {scl}$ или $\operatorname {sint}$ являются идемпотентными.
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)=\bigcap _{{\text{sequentially closed }}C\supseteq S}{C}}$ или ${\textstyle \operatorname {sint} (S)=\bigcup _{{\text{sequentially open }}U\subseteq S}{U}}$
• Любая последовательная окрестность $x\in X$ можно сжать до последовательно открытого множества, содержащего $x$; формально, последовательно открытые окрестности являются базисом окрестности для последовательных окрестностей.
• Для любого $x\in X$ и любая последовательная окрестность $N$ из $x,$ существует последовательная окрестность $M$ из $x$ такой, что для каждого $m\in M,$ набор $N$ является последовательной окрестностью $m.$

Быть T -секвенциальным пространством несравнимо с тем, чтобы быть секвенциальным пространством; существуют секвенциальные пространства, которые не являются T -секвенциальными, и наоборот. Однако топологическое пространство $(X,\tau )$ называется $N$-последовательный (или последовательный по соседству ), если он одновременно является последовательным и T -последовательным. Эквивалентное условие состоит в том, что каждая последовательная окрестность содержит открытую (классическую) окрестность.

Каждое счетное пространство (и, следовательно, каждое метризуемое пространство ) есть $N$-последовательный. Существуют топологические векторные пространства , которые являются секвенциальными, но не $N$-последовательный (и, следовательно, не T -последовательный).

Пространства Фреше–Урысона

Основная статья: пространство Фреше – Урысона

Топологическое пространство $(X,\tau )$ называется Фреше–Урысоном, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

• $X$ является наследственно последовательным; то есть каждое топологическое подпространство является секвенциальным.
• Для каждого подмножества $S\subseteq X,$ $\operatorname {scl} _{X}S=\operatorname {cl} _{X}S.$
• Для любого подмножества $S\subseteq X$ который не закрыт внутри $X$ и каждый $x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,$ существует последовательность в $S$ который сходится к $x.$

Пространства Фреше-Урысона также иногда называют «Фреше», но их не следует путать ни с пространствами Фреше в функциональном анализе , ни T ₁ с условием .

Примеры и достаточные условия

Каждый CW-комплекс является секвенциальным, поскольку его можно рассматривать как фактор метрического пространства.

Простой спектр коммутативного нётерова кольца с топологией Зариского секвенциален.

Возьми реальную линию $\mathbb {R}$ и определите набор $\mathbb {Z}$ целых чисел в точку. В качестве фактора метрического пространства результат является последовательным, но не является первым счетным.

Каждое первое счетное пространство является пространством Фреше–Урысона, а каждое пространство Фреше–Урысона секвенциально. Таким образом, каждое метризуемое или псевдометризуемое пространство — в частности, каждое пространство со счетом второй секунды , метрическое пространство или дискретное пространство — является секвенциальным.

Позволять ${\mathcal {F}}$ — набор отображений пространств Фреше–Урысона в $X.$ Тогда окончательная топология , которая ${\mathcal {F}}$ вызывает $X$ является последовательным.

Хаусдорфа Топологическое векторное пространство является секвенциальным тогда и только тогда, когда не существует строго более тонкой топологии с такими же сходящимися последовательностями.

Пространства, которые являются последовательными, но не Фреше-Урысона.

Пространство Шварца ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$и пространство $C^{\infty }(U)$ гладких функций , как обсуждалось в статье о распределениях , являются широко используемыми секвенциальными пространствами.

В более общем смысле, каждое бесконечномерное Монтеля DF-пространство является секвенциальным, но не Фреше-Урысона .

Пространство Аренса последовательное, но не Фреше-Урысона.

Непримеры (пробелы, которые не являются последовательными)

Простейшее несеквенциальное пространство — это косчетная топология на несчетном множестве. Каждая сходящаяся последовательность в таком пространстве в конечном итоге постоянна; следовательно, каждое множество последовательно открыто. Но счетная топология не дискретна . (Можно было бы назвать топологию «последовательно дискретной».)

Позволять $C_{c}^{k}(U)$ обозначаем пространство $k$-гладкие тестовые функции с канонической топологией и пусть ${\mathcal {D}}'(U)$ обозначают пространство распределений, сильное двойственное пространство $C_{c}^{\infty }(U)$; ни одно из них не является последовательным (и даже пространством Асколи ). С другой стороны, оба $C_{c}^{\infty }(U)$ и ${\mathcal {D}}'(U)$ являются Монтеля помещениями и в дуальном пространстве к любому пространству Монтеля последовательность непрерывных линейных функционалов сходится в сильной двойственной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в слабой* топологии (т. е. сходится поточечно).

Последствия

Всякое секвенциальное пространство обладает счетной теснотой и компактно порождено .

Если $f:X\to Y$ является непрерывной открытой сюръекцией между двумя секвенциальными хаусдорфовыми пространствами, то множество $\{y:{|f^{-1}(y)|=1}\}\subseteq Y$ точек с уникальным прообразом закрыто. (По непрерывности, таков же и его прообраз в $X,$ совокупность всех точек, на которых $f$ является инъективным.)

Если $f:X\to Y$ является сюръективным отображением (не обязательно непрерывным) на секвенциальное пространство Хаусдорфа. $Y$ и ${\mathcal {B}}$ основы топологии на $X,$ затем $f:X\to Y$ является открытым отображением тогда и только тогда, когда для каждого $x\in X,$ основной район $B\in {\mathcal {B}}$ из $x,$ и последовательность $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)$ в $Y,$ есть подпоследовательность $y_{\bullet }$ это в конце концов в $f(B).$

Категориальные свойства

Полная подкатегория Seq всех секвенциальных пространств замыкается при следующих операциях в категории Top топологических пространств:

• Коэффициенты
• Непрерывные закрытые или открытые изображения
• Суммы
• Индуктивные пределы
• Открытые и закрытые подпространства

Категория Seq не закрывается при следующих операциях в Top :

• Непрерывные изображения
• Подпространства
• Конечные произведения

Поскольку секвенциальные пространства замкнуты относительно топологических сумм и частных, они образуют коррефлективную подкатегорию категории топологических пространств . Фактически они представляют собой коррефлективную оболочку метризуемых пространств (т. е. наименьший класс топологических пространств, замкнутых относительно сумм и частных и содержащих метризуемые пространства).

Подкатегория Seq является декартовой закрытой категорией относительно своего собственного продукта (не продукта Top ). Экспоненциальные объекты имеют (сходящуюся последовательность)-открытую топологию.

П. И. Бут и А. Тиллотсон показали, что Seq — это наименьшая декартова замкнутая подкатегория Top, содержащая основные топологические пространства всех метрических пространств , CW-комплексов и дифференцируемых многообразий , и которая замкнута относительно копределов, частных и других «некоторых разумных тождеств ", который Норман Стинрод назвал "удобным".

Каждое секвенциальное пространство компактно порождено , и конечные произведения в Seq совпадают с произведениями для компактно порожденных пространств, поскольку произведения в категории компактно порожденных пространств сохраняют факторы метрических пространств.

См. также

• Аксиома счетности – свойство определенных математических объектов (обычно в категории), утверждающее существование счетного множества с определенными свойствами. Без такой аксиомы такое множество, вероятно, не существовало бы. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Свойство замкнутого графа – график карты, замкнутой в пространстве продукта.
• Первое счетное пространство - Топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетный базис окрестности.
• Пространство Фреше – Урысона - Свойство топологического пространства.
• Карта покрытия последовательности

Ссылки

• Arkhangel'skii, A.V. and Pontryagin, L.S., General Topology I , Springer-Verlag, New York (1990) ISBN   3-540-18178-4 .
• Архангельский А.В. (1966). «Отображения и пространства» (PDF) . Российские математические обзоры . 21 (4): 115–162. Бибкод : 1966РуМаС..21..115А . дои : 10.1070/RM1966v021n04ABEH004169 . ISSN   0036-0279 . S2CID   250900871 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Акиз, Хюрмет Фуля; Кочак, Локман (2019). «Секвенциально хаусдорфовы и полные секвенциально хаусдорфовы пространства» . Факультет коммуникаций Университета Анкары Серия A1Математика и статистика . 68 (2): 1724–1732. doi : 10.31801/cfsuasmas.424418 . ISSN   1303-5991 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Бун, Джеймс (1973). «Заметка о мезокомпактных и последовательно мезокомпактных пространствах» . Тихоокеанский математический журнал . 44 (1): 69–74. дои : 10.2140/pjm.1973.44.69 . ISSN   0030-8730 .
• Бут, Питер; Тиллотсон, Дж. (1980). «Моноидальные замкнутые, декартово замкнутые и удобные категории топологических пространств» . Тихоокеанский математический журнал . 88 (1): 35–53. дои : 10.2140/pjm.1980.88.35 . ISSN   0030-8730 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Энгелькинг Р., Общая топология , Хелдерманн, Берлин (1989). Переработанное и дополненное издание.
• Фогед, Л. (1985). «Характеристика замкнутых образов метрических пространств» . Труды Американского математического общества . 95 (3): 487–490. дои : 10.1090/S0002-9939-1985-0806093-3 . ISSN   0002-9939 .
• Франклин, С. (1965). «Пространства, в которых достаточно последовательностей» (PDF) . Фундамента Математика . 57 (1): 107–115. дои : 10.4064/fm-57-1-107-115 . ISSN   0016-2736 .
• Франклин, С. (1967). «Пространства, в которых достаточно последовательностей II» (PDF) . Фундамента Математика . 61 (1): 51–56. дои : 10.4064/fm-61-1-51-56 . ISSN   0016-2736 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Горэм, Энтони, « Последовательная сходимость в топологических пространствах », (2016)
• Грюнхейдж, Гэри; Майкл, Эрнест; Танака, Ёсио (1984). «Пространства, определяемые счетными накрытиями» . Тихоокеанский математический журнал . 113 (2): 303–332. дои : 10.2140/pjm.1984.113.303 . ISSN   0030-8730 .
• Майкл, Э.А. (1972). «Квест на пятерное частное». Общая топология и ее приложения . 2 (2): 91–138. дои : 10.1016/0016-660X(72)90040-2 . ISSN   0016-660X .
• Шоу, Лин; Чуан, Лю; Мумин, Дай (1997). «Образы на локально сепарабельных метрических пространствах». Акта Математика Синика . 13 (1): 1–8. дои : 10.1007/BF02560519 . ISSN   1439-8516 . S2CID   122383748 .
• Стинрод, штат Нью-Йорк (1967). «Удобная категория топологических пространств» . Мичиганский математический журнал . 14 (2): 133–152. дои : 10.1307/mmj/1028999711 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .