База (топология)

В математике базой ) или базисом ; мн.: базы топологии τ является топологического пространства ( X , τ) семейство ( ${\mathcal {B}}$ открытых подмножеств X таких открытое множество топологии равно объединению некоторого подсемейства , что каждое ${\mathcal {B}}$. Например, набор всех открытых интервалов в строке действительных чисел $\mathbb {R}$ является основой евклидовой топологии на $\mathbb {R}$ потому что каждый открытый интервал является открытым множеством, а также каждое открытое подмножество $\mathbb {R}$ можно записать как объединение некоторого семейства открытых интервалов.

Базы встречаются повсеместно во всей топологии. Множества в основе топологии, называемые базовыми открытыми множествами , часто легче описать и использовать, чем произвольные открытые множества. Многие важные топологические определения, такие как непрерывность и сходимость, можно проверить, используя только базовые открытые множества вместо произвольных открытых множеств. Некоторые топологии имеют базу открытых множеств с конкретными полезными свойствами, которые могут облегчить проверку таких топологических определений.

Не все семейства подмножеств множества $X$ сформировать основу для топологии на $X$. При некоторых условиях, подробно описанных ниже, семейство подмножеств будет формировать основу для (уникальной) топологии на $X$, полученное взятием всех возможных объединений подсемейств. Такие семейства множеств очень часто используются для определения топологий. Более слабое понятие, связанное с базами, — это понятие подбазы топологии. Базы топологий также тесно связаны с базами соседства .

Определение и основные свойства

Учитывая топологическое пространство $(X,\tau )$, база (или основа ) для топологии $\tau$ (также называемая базой для $X$ если топология понятна) — это семья ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ открытых множеств, так что каждое открытое множество топологии можно представить как объединение некоторого подсемейства ${\mathcal {B}}$. Элементы ${\mathcal {B}}$ называются базовыми открытыми множествами .То же самое, семья ${\mathcal {B}}$ подмножеств $X$ является основой топологии $\tau$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ и для каждого открытого набора $U$ в $X$ и точка $x\in U$ есть базовый открытый набор $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $x\in B\subseteq U$.

Например, совокупность всех открытых интервалов вещественной линии образует основу стандартной топологии действительных чисел. В более общем смысле, в метрическом пространстве $M$ сбор всех открытых шаров по точкам $M$ образует основу топологии.

В общем, топологическое пространство $(X,\tau )$ может иметь много оснований. Вся топология $\tau$ всегда является базой для себя (т. е. $\tau$ является основой для $\tau$). Для реальной линии совокупность всех открытых интервалов является основой топологии. То же самое можно сказать и о сборе всех открытых интервалов с рациональными конечными точками или о сборе всех открытых интервалов с иррациональными конечными точками. Обратите внимание, что два разных основания не обязательно должны иметь какое-либо общее базовое открытое множество. Одно из топологических свойств пространства $X$ — минимальная мощность базы для ее топологии, весом называемая $X$ и обозначил $w(X)$. Судя по приведенным выше примерам, реальная линия имеет счетный вес.

Если ${\mathcal {B}}$ является основой топологии $\tau$ пространства $X$, он удовлетворяет следующим свойствам:

(B1) Элементы ${\mathcal {B}}$ крышка $X$, то есть каждая точка $x\in X$ принадлежит какому-то элементу ${\mathcal {B}}$.

(B2) Для каждого $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}$ и каждая точка $x\in B_{1}\cap B_{2}$, существует некоторый $B_{3}\in {\mathcal {B}}$ такой, что $x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}$.

Свойство (Б1) соответствует тому, что $X$ является открытым множеством; свойство (B2) соответствует тому, что $B_{1}\cap B_{2}$ представляет собой открытое множество.

И наоборот, предположим $X$ это просто набор без какой-либо топологии и ${\mathcal {B}}$ представляет собой семейство подмножеств $X$ удовлетворяющие свойствам (B1) и (B2). Затем ${\mathcal {B}}$ является основой топологии, которую он генерирует. Точнее, пусть $\tau$ быть семейством всех подмножеств $X$ которые представляют собой союзы подсемейств ${\mathcal {B}}.$ Затем $\tau$ это топология на $X$ и ${\mathcal {B}}$ является основой для $\tau$. (Эскиз: $\tau$ определяет топологию, поскольку она устойчива относительно произвольных объединений по построению, устойчива относительно конечных пересечений согласно (B2), она содержит $X$ по (B1) и содержит пустое множество как объединение пустого подсемейства ${\mathcal {B}}$. Семья ${\mathcal {B}}$ тогда это база для $\tau$ по построению.) Такие семейства множеств — очень распространенный способ определения топологии.

В общем, если $X$ представляет собой набор и ${\mathcal {B}}$ представляет собой произвольную совокупность подмножеств $X$, существует (уникальная) наименьшая топология $\tau$ на $X$ содержащий ${\mathcal {B}}$. (Эта топология является пересечением всех топологий на $X$ содержащий ${\mathcal {B}}$.) Топология $\tau$ называется топологией, порожденной ${\mathcal {B}}$, и ${\mathcal {B}}$ называется подбазой для $\tau$. Топология $\tau$ также можно охарактеризовать как множество всех произвольных объединений конечных пересечений элементов ${\mathcal {B}}$. (См. статью о подбазе .) Теперь, если ${\mathcal {B}}$ также удовлетворяет свойствам (B1) и (B2), топология, порожденная ${\mathcal {B}}$ можно описать более простым способом без необходимости использования пересечений: $\tau$ представляет собой совокупность всех объединений элементов ${\mathcal {B}}$ (и ${\mathcal {B}}$ является основой для $\tau$ в таком случае).

Часто существует простой способ проверить условие (B2). Если пересечение любых двух элементов ${\mathcal {B}}$ сам по себе является элементом ${\mathcal {B}}$ или пусто, то условие (Б2) автоматически выполняется (путем принятия $B_{3}=B_{1}\cap B_{2}$). Например, евклидова топология на плоскости допускает в качестве основы множество всех открытых прямоугольников с горизонтальными и вертикальными сторонами, причем непустое пересечение двух таких основных открытых множеств также является базовым открытым множеством. Но другой основой той же топологии является совокупность всех открытых дисков; и здесь необходимо полное (В2) условие.

Примером совокупности открытых множеств, не являющейся базой, является множество $S$ всех полубесконечных интервалов форм $(-\infty ,a)$ и $(a,\infty )$ с $a\in \mathbb {R}$. Топология, созданная $S$ содержит все открытые интервалы $(a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )$, следовательно $S$ генерирует стандартную топологию на реальной линии. Но $S$ является лишь подбазой топологии, а не базой: конечный открытый интервал $(a,b)$ не содержит никаких элементов $S$ (эквивалентно, свойство (B2) не выполняется).

Примеры

Множество Γ всех открытых интервалов в $\mathbb {R}$ составляет основу евклидовой топологии на $\mathbb {R}$.

Непустое семейство подмножеств множества X более множеств, называемое π -системой на X , обязательно является базой топологии на X тогда и только тогда, когда оно накрывает X. , замкнутое относительно конечных пересечений двух или По определению, каждая σ-алгебра , каждый фильтр (и, в частности, каждый фильтр окрестности ) и каждая топология являются накрывающей π -системой, а значит, и базой топологии. В самом деле, если Γ — фильтр на X , то { ∅ } ∪ Γ — топология на X и Γ — ее базис. База топологии не обязательно должна быть замкнутой относительно конечных пересечений, и многие из них этого не делают. Но тем не менее многие топологии определяются базисами, также замкнутыми относительно конечных пересечений. Например, каждое из следующих семейств подмножества $\mathbb {R}$ замкнуто относительно конечных пересечений, поэтому каждый из них образует основу некоторой топологии на $\mathbb {R}$:

• Множество Γ всех ограниченных открытых интервалов в $\mathbb {R}$ генерирует обычную евклидову топологию на $\mathbb {R}$.
• Множество Σ всех ограниченных замкнутых интервалов в $\mathbb {R}$ генерирует дискретную топологию на $\mathbb {R}$ и поэтому евклидова топология является подмножеством этой топологии. И это несмотря на то, что Γ не является подмножеством Σ . Следовательно, топология, порожденная Γ , которая является евклидовой топологией на $\mathbb {R}$, является более грубой, чем топология, порожденная Σ . На самом деле оно строго грубее, поскольку Σ содержит непустые компакты, которые никогда не открыты в евклидовой топологии.
• Множество Γ _{$\mathbb {Q}$} всех интервалов в Γ , что оба конца интервала являются рациональными числами, порождает ту же топологию, что и Γ . Это остается верным, если каждый экземпляр символа Γ заменяется на Σ .
• Σ _∞ знак равно { [ р , ∞) : р ∈ $\mathbb {R}$ } генерирует топологию, которая строго более грубая, чем топология, созданная Σ . Ни один элемент из Σ _∞ не является открытым в евклидовой топологии на $\mathbb {R}$.
• Γ _∞ знак равно { ( р , ∞) : р ∈ $\mathbb {R}$ } генерирует топологию, которая является строго более грубой, чем евклидова топология и топология, порожденная Σ _∞ . Множества Σ _∞ и Γ _∞ не пересекаются, но тем не менее Γ _∞ является подмножеством топологии, порожденной Σ _∞ .

Объекты, определенные в терминах баз

• на Топология порядка полностью упорядоченном множестве допускает в качестве основы набор множеств, подобных открытым интервалам.
• В метрическом пространстве совокупность всех открытых шаров образует основу топологии.
• Дискретная топология совокупность всех одиночных элементов . имеет в качестве основы
• Второе счетное пространство — это пространство, имеющее счетную базу.

Топология Зарисского на спектре кольца имеет базу, состоящую из открытых множеств, обладающих конкретными полезными свойствами. Для обычной базы этой топологии каждое конечное пересечение базисных открытых множеств является базисным открытым множеством.

• Топология Зарисского ​ $\mathbb {C} ^{n}$ - это топология, в которой алгебраические множества являются замкнутыми. Он имеет основу, образованную множеством дополнений алгебраических гиперповерхностей .
• Топология Зариского спектра кольца (множества простых идеалов ) имеет такую ​​базу, что каждый элемент состоит из всех простых идеалов, не содержащих данного элемента кольца.

Теоремы

• Топология $\tau _{2}$ тоньше , чем топология $\tau _{1}$ тогда и только тогда, когда для каждого $x\in X$ и каждый базовый открытый набор $B$ из $\tau _{1}$ содержащий $x$, существует базовый открытый набор $\tau _{2}$ содержащий $x$ и содержится в $B$.
• Если ${\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}$ являются основой топологий $\tau _{1},\ldots ,\tau _{n}$ затем сбор всех продуктов набора $B_{1}\times \cdots \times B_{n}$ с каждым $B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}$ является основой топологии продукта $\tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.$ В случае бесконечного произведения это по-прежнему применимо, за исключением того, что все базовые элементы, кроме конечного числа, должны представлять собой все пространство.
• Позволять ${\mathcal {B}}$ быть основой для $X$ и пусть $Y$ быть подпространством ​ $X$. Тогда, если мы пересечем каждый элемент ${\mathcal {B}}$ с $Y$, полученный набор множеств является базой для подпространства $Y$.
• Если функция $f:X\to Y$ отображает каждый базовый открытый набор $X$ в открытый набор $Y$, это открытая карта . Аналогично, если каждый прообраз базового открытого множества $Y$ открыт в $X$, затем $f$ является непрерывным .
• ${\mathcal {B}}$ является основой топологического пространства $X$ тогда и только тогда, когда подмножество элементов ${\mathcal {B}}$ которые содержат $x$ сформировать местную базу в $x$, для любой точки $x\in X$.

База для закрытых наборов

Замкнутые множества одинаково хорошо подходят для описания топологии пространства. Следовательно, существует двойственное понятие базы замкнутых множеств топологического пространства. Учитывая топологическое пространство $X,$ семья ​ ${\mathcal {C}}$ замкнутых множеств образует базу для замкнутых множеств тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого множества $A$ и каждая точка $x$ не в $A$ существует элемент ${\mathcal {C}}$ содержащий $A$ но не содержащий $x.$Семья ${\mathcal {C}}$ является основой для закрытых множеств $X$ тогда и только тогда, когда двойственно оно $X,$ это семья $\{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}$ дополнений ​ членов ${\mathcal {C}}$, является основой для открытых множеств $X.$

Позволять ${\mathcal {C}}$ быть основой для закрытых множеств $X.$ Затем

1. $\bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing$
2. Для каждого $C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}$ союз $C_{1}\cup C_{2}$ является пересечением некоторого подсемейства ${\mathcal {C}}$ (то есть для любого $x\in X$ не в $C_{1}{\text{ or }}C_{2}$ есть некоторые $C_{3}\in {\mathcal {C}}$ содержащий $C_{1}\cup C_{2}$ и не содержащий $x$).

Любая коллекция подмножеств множества $X$ удовлетворяющее этим свойствам, образует основу замкнутых множеств топологии на $X.$ Замкнутые множества этой топологии представляют собой в точности пересечения членов ${\mathcal {C}}.$

В некоторых случаях удобнее использовать базу закрытых множеств, а не открытых. Например, пространство вполне регулярно тогда и только тогда, когда нулевые множества образуют базу для замкнутых множеств. Учитывая любое топологическое пространство $X,$ нулевые множества образуют основу замкнутых множеств некоторой топологии на $X.$ Эта топология будет лучшей полностью регулярной топологией на $X$ грубее исходного. Аналогичным образом топология Зарисского на A ^н определяется путем взятия нулевых наборов полиномиальных функций в качестве основы для замкнутых множеств.

Вес и характер

Мы будем работать с понятиями, установленными в ( Engelking 1989 , стр. 12, стр. 127-128).

Зафиксируйте X топологическое пространство. Здесь сеть — это семья ${\mathcal {N}}$ множеств, для которых для всех точек x и открытых окрестностей U , содержащих x , существует B в ${\mathcal {N}}$ для чего $x\in B\subseteq U.$ Обратите внимание, что в отличие от базиса множества в сети не обязательно должны быть открытыми.

Определим вес ) как минимальную мощность w ( X базиса; мы определяем сети вес nw ( X ) как минимальную мощность сети; характер точки , $\chi (x,X),$ как минимальная мощность базиса окрестности для x в X ; и характер X ​ быть

$$\chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.$$

Смысл вычисления характера и веса состоит в том, чтобы определить, какие типы баз и локальных баз могут существовать. Имеем следующие факты:

• пш ( Икс ) ≤ ш ( Икс ).
• если X дискретно, то w ( X ) знак равно nw ( X ) = | Х |.
• если X хаусдорфово, то nw ( X ) конечно тогда и только тогда, когда X конечно дискретно.
• если B является базисом X , то существует базис $B'\subseteq B$ размера $|B'|\leq w(X).$
• если N — базис окрестности для x в X , то существует базис окрестности $N'\subseteq N$ размера $|N'|\leq \chi (x,X).$
• если $f:X\to Y$ — непрерывная сюръекция, то nw ( Y ) ≤ w ( X ). (Просто рассмотрим Y -сеть $f'''B\triangleq \{f''U:U\in B\}$ для каждого базиса B из X. )
• если $(X,\tau )$ является Хаусдорфовой, то существует более слабая топология Хаусдорфа $(X,\tau ')$ так что $w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).$ Таким образом , тем более , что если X также компактно, то такие топологии совпадают, и, следовательно, в сочетании с первым фактом мы имеем nw ( X ) = w ( X ).
• если $f:X\to Y$ непрерывное сюръективное отображение компактного метризуемого пространства в хаусдорфово пространство, то Y компактно метризуемо.

Последний факт следует из того, что f ( X ) компактна по Хаусдорфу и, следовательно, $nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}$ (поскольку компакты метризуемые пространства обязательно второй счетны); а также тот факт, что хаусдорфовы компакты метризуемы ровно в том случае, если они счетны во второй раз. (Приложением этого, например, является то, что каждый путь в хаусдорфовом пространстве компактно метризуем.)

Возрастающие цепочки открытых множеств

Используя приведенные выше обозначения, предположим, что w ( X ) ⩽ κ некоторый бесконечный кардинал. Тогда не существует строго возрастающей последовательности открытых множеств (эквивалентно строго убывающей последовательности замкнутых множеств) длины ≥ κ ⁺ .

Чтобы увидеть это (без аксиомы выбора), исправьте

$$\left\{U_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa },$$

как основа открытых множеств. И предположим , что напротив , что

$$\left\{V_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa ^{+}}$$

представляли собой строго возрастающую последовательность открытых множеств. Это означает

$$\forall \alpha <\kappa ^{+}:\qquad V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\neq \varnothing .$$

Для

$$x\in V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi },$$

мы можем использовать базис, чтобы найти некоторый U _γ с x из U _γ ⊆ V _α . Таким образом, мы можем четко определить отображение f : κ ⁺ → κ , отображающее каждое α в наименьшее γ , для которого U _γ ⊆ V _α и соответствует

$$V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }.$$

Это отображение инъективно, иначе было бы α < β с f ( α ) = f ( β ) = γ , что далее означало бы U _γ ⊆ V _α, но также соответствует

$$V_{\beta }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\subseteq V_{\beta }\setminus V_{\alpha },$$

что является противоречием. Но это доказывает, что κ ⁺ ≤ κ , противоречие.

См. также

• Теорема Есенина-Вольпина.
• Аксиома склеивания
• Система соседства

Библиография

• Адамс, Колин ; Францоза, Роберт (2009). Введение в топологию: чистую и прикладную . Нью-Дели: Pearson Education. ISBN  978-81-317-2692-1 . OCLC   789880519 .
• Архангельский А.В.; Пономарев, В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. Том. 13. Перевод с русского В.К.Джайна. Дордрехт: Издательство Д. Рейделя. Збл   0568.54001 .
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN  3-88538-006-4 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .