Пустой набор
В математике пустое множество — это уникальное множество , не содержащее элементов ; его размер или мощность (количество элементов в наборе) равны нулю . [1] Некоторые аксиоматические теории множеств гарантируют, что пустое множество существует, включая аксиому пустого множества , в то время как в других теориях его существование может быть выведено. Многие возможные свойства множеств бессмысленно верны для пустого множества.
Любое множество, кроме пустого, называется непустым.
В некоторых учебниках и популяризациях пустой набор называется «нулевым набором». [1] Однако нулевое множество — это отдельное понятие в контексте теории меры , в которой оно описывает множество нулевой меры (которое не обязательно пусто).
Обозначения [ править ]
Общие обозначения пустого набора включают «{ }», « ", и " ∅ ". Последние два символа были введены группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем ) в 1939 году, вдохновленные буквой Ø ( U+00D8 Ø ЛАТИНСКАЯ ЗАГЛАВНАЯ БУКВА O СО Штрихом ) в датском и норвежском алфавитах. [2] В прошлом «0» (цифра ноль ) иногда использовалась как символ пустого множества, но теперь это считается неправильным использованием обозначения. [3]
Символ ∅ доступен в Unicode . пункте U+2205 ∅ ПУСТОЙ НАБОР . [4] Его можно закодировать в HTML как ∅
и в качестве ∅
или как ∅
. Его можно закодировать в LaTeX как \varnothing
. Символ кодируется в LaTeX как \emptyset
.
При написании на таких языках, как датский и норвежский, где символ пустого набора можно спутать с буквой Ø (как при использовании этого символа в лингвистике), вместо него можно использовать символ Юникода U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰. [5]
Свойства [ править ]
В стандартной аксиоматической теории множеств , согласно принципу экстенсиональности , два множества равны, если они имеют одинаковые элементы (то есть ни в одном из них нет элемента, которого нет в другом). В результате может быть только один набор без элементов, поэтому используется термин «пустой набор», а не «пустой набор».
Единственное подмножество пустого множества — это само пустое множество; эквивалентно, набор мощности пустого набора - это набор, содержащий только пустой набор. Число элементов пустого множества (т. е. его мощность ) равно нулю. Пустой набор — единственный набор, обладающий любым из этих свойств.
Для любого набора А :
- Пустое множество подмножеством A является
- Объединение с A A пустым множеством есть
- Пересечение . A с пустым множеством является пустым множеством
- Декартово произведение A . и пустого множества — это пустое множество
Для любого свойства P :
- Для каждого элемента , свойство P имеет место ( пустая истина ).
- Нет никакого элемента свойство P. для которого выполнено
И наоборот, если для некоторого свойства P и некоторого множества V справедливы следующие два утверждения:
- Для каждого элемента V свойство P. имеет место
- Не существует элемента V свойство P. , для которого выполнено
затем
По определению подмножества пустое множество является подмножеством любого A. множества То есть каждый элемент x из принадлежит А. Действительно, если бы не было правдой, что каждый элемент находится в A , то будет хотя бы один элемент чего нет А. в Поскольку отсутствуют элементы вообще нет никакого элемента этого нет А. в Любое утверждение, начинающееся со слов «для каждого элемента «не делает никаких существенных утверждений; это пустая истина . Это часто перефразируют как «все верно для элементов пустого множества».
В обычном теоретико-множественном определении натуральных чисел ноль моделируется пустым множеством.
Операции над пустым множеством [ править ]
Говоря о сумме элементов конечного множества, неизбежно приходим к соглашению, что сумма элементов пустого множества ( пустая сумма ) равна нулю. Причина этого в том, что нуль является единичным элементом сложения. Аналогично, произведение элементов пустого множества ( пустое произведение ) следует считать равным единице , поскольку единица является единичным элементом для умножения. [6]
Расстройство — это перестановка множества без неподвижных точек . Пустое множество само по себе можно считать нарушением, поскольку оно имеет только одну перестановку ( ), и совершенно неверно, что не может быть найден ни один элемент (пустого множества), который сохранял бы свое исходное положение.
В других областях математики [ править ]
Расширенные действительные числа [ править ]
Поскольку пустое множество не имеет члена, когда оно рассматривается как подмножество любого упорядоченного набора , каждый член этого набора будет верхней и нижней границей пустого набора. Например, если рассматривать его как подмножество действительных чисел с его обычным порядком, представленным линией действительных чисел , каждое действительное число является одновременно верхней и нижней границей пустого набора. [7] Если рассматривать его как подмножество расширенных действительных чисел , образованных добавлением двух «числ» или «точек» к действительным числам (а именно, отрицательной бесконечности , обозначаемой которое определяется как меньше любого другого расширенного действительного числа, и положительная бесконечность , обозначаемая которое определено как большее, чем любое другое расширенное действительное число), мы имеем следующее:
То есть наименьшая верхняя граница (sup или supremum ) пустого набора — это отрицательная бесконечность, а наибольшая нижняя граница (inf или infimum ) — положительная бесконечность. По аналогии с вышеизложенным, в области расширенных действительных чисел отрицательная бесконечность является единицей для операторов максимума и верхней границы, а положительная бесконечность является единицей для операторов минимума и нижней границы.
Топология [ править ]
В любом топологическом пространстве X пустое множество открыто по определению, как и X . Поскольку дополнение к открытому множеству закрыто , а пустое множество и X являются дополнениями друг друга, пустое множество также закрыто, что делает его открыто-открытым множеством . Более того, пустое множество компактно в силу того, что каждое конечное множество компактно.
Замыкание . пустого множества пусто Это известно как «сохранение нулевых союзов ».
Теория категорий [ править ]
Если множество, то существует ровно одна функция от к пустая функция . В результате пустое множество является единственным исходным объектом категории множеств и функций.
Пустое множество можно превратить в топологическое пространство , называемое пустым пространством, только одним способом: определив пустое множество как открытое . Это пустое топологическое пространство является единственным исходным объектом в категории топологических пространств с непрерывными отображениями . Фактически, это строгий исходный объект : только пустое множество имеет функцию для пустого множества.
Теория множеств [ править ]
В конструкции фон Неймана ординалов 0 определяется как пустое множество, а последующий ординал определяется как . Таким образом, мы имеем , , , и так далее. Конструкция фон Неймана вместе с аксиомой бесконечности , гарантирующей существование хотя бы одного бесконечного множества, может быть использована для построения множества натуральных чисел: , такие, что аксиомы арифметики Пеано выполняются .
Существование под сомнением [ править ]
Исторические проблемы
В контексте наборов действительных чисел Кантор использовал обозначать " не содержит ни одной точки». Это обозначения использовались в определениях; например, Кантор определил два множества как непересекающиеся, если в их пересечении нет точек; однако остается спорным, рассматривал ли Кантор как существующее множество само по себе, или если Кантор просто использовал как предикат пустоты. Цермело принял себя как набор, но считал его «неподходящим набором». [8]
Аксиоматическая теория множеств [ править ]
В теории множеств Цермело существование пустого множества обеспечивается аксиомой пустого множества , а его единственность следует из аксиомы экстенсиональности . Однако аксиому пустого множества можно показать избыточной как минимум двумя способами:
- Стандартная логика первого порядка подразумевает, просто исходя из логических аксиом , что что-то существует, и, говоря языком теории множеств, эта вещь должна быть множеством. Теперь существование пустого множества легко следует из аксиомы разделения .
- Даже используя свободную логику (которая логически не подразумевает, что что-то существует), уже существует аксиома, подразумевающая существование хотя бы одного множества, а именно аксиома бесконечности .
Философские проблемы [ править ]
Хотя пустое множество является стандартной и широко распространенной математической концепцией, оно остается онтологической диковинкой, смысл и полезность которой обсуждаются философами и логиками.
Пустое множество — это не то же самое, что ничто ; скорее, это набор, внутри которого нет ничего, а набор — это всегда что-то . Эту проблему можно решить, рассматривая набор как сумку — пустая сумка, несомненно, все еще существует. Дарлинг (2004) объясняет, что пустое множество — это не ничто, а скорее «набор всех треугольников с четырьмя сторонами, набор всех чисел, которые больше девяти, но меньше восьми, и набор всех дебютных ходов в шахматах , которые привлечь короля ». [9]
Популярный силлогизм
- Нет ничего лучше, чем вечное счастье; бутерброд с ветчиной лучше, чем ничего; поэтому бутерброд с ветчиной лучше, чем вечное счастье
часто используется для демонстрации философской связи между концепцией ничего и пустым множеством. Дарлинг пишет, что контраст можно увидеть, переписав утверждения «Нет ничего лучше, чем вечное счастье» и «Сэндвич с ветчиной лучше, чем ничего» в математическом тоне. По словам Дарлинга, первое эквивалентно: «Набор всех вещей, которые лучше, чем вечное счастье, равен ", а последний - "Набор {сэндвич с ветчиной} лучше, чем набор ". Первый сравнивает элементы множеств, а второй сравнивает сами множества. [9]
Джонатан Лоу утверждает, что, хотя пустое множество
- несомненно, была важной вехой в истории математики… мы не должны предполагать, что ее полезность в вычислениях зависит от того, действительно ли она обозначает какой-то объект.
также имеет место следующее:
- «Все, что нам когда-либо сообщали о пустом множестве, это то, что оно (1) является множеством, (2) не имеет членов и (3) является уникальным среди множеств, поскольку не имеет членов. Однако есть очень много вещей, которые не имеют членов в теоретико-множественном смысле, а именно, все не-множества. Совершенно ясно, почему эти вещи не имеют членов, поскольку они не являются множествами. Неясно, как может существовать единственное среди множеств. множество , не имеющее членов. Мы не можем вызвать к существованию такую сущность простым условием». [10]
Джордж Булос утверждал, что многое из того, что до сих пор было получено с помощью теории множеств, может быть так же легко получено путем количественной оценки множественного числа индивидов, без овеществления множеств как единичных сущностей, имеющих другие сущности в качестве членов. [11]
См. также [ править ]
- 0 — количество
- Обитаемое множество - свойство множеств, используемых в конструктивной математике.
- Ничего – Полное отсутствие чего-либо; противоположность всему
- Набор мощности - математический набор, содержащий все подмножества данного набора.
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Вайсштейн, Эрик В. «Пустой набор» . mathworld.wolfram.com . Проверено 11 августа 2020 г.
- ^ «Самые ранние использования символов теории множеств и логики» .
- ^ Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 300. ИСБН 007054235X .
- ^ «Стандарт Юникод 5.2» (PDF) .
- ^ например, Нина Грённум (2005, 2013) Фонетика и фонология: общий и датский. Академическое издательство, Копенгаген.
- ^ Дэвид М. Блум (1979). Линейная алгебра и геометрия . стр. 45 . ISBN 0521293243 .
- ^ Брукнер, А.Н., Брукнер, Дж.Б., и Томсон, Б.С. (2008). Элементарный реальный анализ , 2-е издание, с. 9.
- ^ А. Канамори, « Пустое множество, синглтон и упорядоченная пара », стр.275. Бюллетень символической логики, том. 9, нет. 3, (2003). По состоянию на 21 августа 2023 г.
- ^ Перейти обратно: а б Диджей Дарлинг (2004). Универсальная книга по математике . Джон Уайли и сыновья . п. 106. ИСБН 0-471-27047-4 .
- ^ Э. Дж. Лоу (2005). Локк . Рутледж . п. 87.
- ^ Джордж Булос (1984), «Быть — значит быть значением переменной», The Journal of Philosophy 91: 430–49. Переиздано в 1998 году, «Логика, логика и логика» ( Ричард Джеффри и Берджесс Дж., ред.) Harvard University Press , 54–72.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано издательством Martino Fine Books, 2011 г. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).
- Джех, Томас (2002). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. 3-го тысячелетия). Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 .
- Грэм, Малькольм (1975). Современная элементарная математика (2-е изд.). Харкорт Брейс Йованович . ISBN 0155610392 .