Наивная теория множеств (книга)

См. также Наивную теорию множеств по математической теме.

Наивная теория множеств — это по математике учебник Пола Халмоша, в котором содержится введение в теорию множеств для студентов . ^[1] Первоначально опубликовано Ван Нострандом в 1960 году. ^[2] он был переиздан в Springer-Verlag серии «Тексты для студентов по математике» в 1974 году. ^[3]

Хотя в названии говорится, что она наивна, что обычно означает отсутствие аксиом , в книге представлены все аксиомы теории множеств ZFC (кроме аксиомы основания ) и даются правильные и строгие определения базовых объектов. ^[2]^[4] От «истинной» книги по аксиоматической теории множеств она отличается своим характером: в ней не обсуждаются аксиоматические мелочи, и почти ничего не говорится о сложных темах, таких как большие кардиналы . Вместо этого она пытается быть понятной тому, кто никогда раньше не задумывался о теории множеств.

Позже Халмос заявил, что это была самая быстрая книга, которую он написал, на нее ушло около шести месяцев, и что книга «написала сама себя». ^[5]

Отсутствие аксиомы основания [ править ]

Как отмечалось выше, в книге отсутствует аксиома основания (также известная как аксиома регулярности). Халмош постоянно дискутирует вокруг вопроса о том, может ли множество содержать само себя.

п. 1: «множество также может быть элементом некоторого другого множества» (выделено автором)
п. 3: "есть $A$ ∈ $A$ когда-нибудь правда? Это, конечно, не верно ни для одного разумного множества, которое кто-либо когда-либо видел».
п. 6: " $B$ ∈ $B$ ... маловероятно, но не очевидно невозможно»

Но Халмош позволяет нам доказать, что существуют определенные множества, которые не могут содержать сами себя.

п. 44: Халмош позволяет нам доказать, что $\omega$ ∉ $\omega$ . Ибо если $\omega$ ∈ $\omega$ , затем $\omega$ − { $\omega$ } все равно будет набором-преемником, потому что $\omega$ ≠ ∅ и $\omega$ не является преемником какого-либо натурального числа. Но $\omega$ не является подмножеством $\omega$ − { $\omega$ }, что противоречит определению $\omega$ как подмножество каждого последующего набора.
п. 47: Халмош доказывает лемму о том, что «ни одно натуральное число не является подмножеством какого-либо из своих элементов». Это позволяет нам доказать, что ни одно натуральное число не может содержать само себя. Ибо если $n$ ∈ $n$ , где $n$ является натуральным числом, то $n$ ⊂ $n$ ∈ $n$ , что противоречит лемме.
п. 75: « Порядковый номер определяется как хорошо упорядоченный набор $\alpha$ такой, что $s(\xi )=\xi$ для всех $\xi$ в $\alpha$ ; здесь $s(\xi )$ это, как и прежде, начальный сегмент $\{\eta$ ∈ $\alpha :$ $\eta$ < $\xi$ }." Упорядочение ям определяется следующим образом: если $\xi$ и $\eta$ являются элементами порядкового числа $\alpha$ , затем $\xi$ < $\eta$ означает $\xi$ ∈ $\eta$ (стр. 75-76). Выбрав символ < вместо ≤, Халмош подразумевает, что хороший порядок < является строгим (стр. 55-56). Это определение < делает невозможным иметь $\xi$ ∈ $\xi$ , где $\xi$ является элементом порядкового числа. Это потому что $\xi$ ∈ $\xi$ означает $\xi$ < $\xi$ , что подразумевает $\xi$ ≠ $\xi$ (поскольку < является строгим), что невозможно.
п. 75: приведенное выше определение порядкового числительного также делает невозможным наличие $\alpha$ ∈ $\alpha$ , где $\alpha$ является порядковым числом. Это потому что $\alpha$ ∈ $\alpha$ подразумевает $\alpha$ = с( $\alpha$ ). Это дает нам $\alpha$ ∈ $\alpha$ = с( $\alpha$ ) = $\{\eta$ ∈ $\alpha :$ $\eta$ < $\alpha$ }, что подразумевает $\alpha$ < $\alpha$ , что подразумевает $\alpha$ ≠ $\alpha$ (поскольку < является строгим), что невозможно.

Ошибки [ править ]

п. 4, строка 18: «Каин и Авель» должны быть «Сиф, Каин и Авель».
п. 30, строка 10: «x на y» должно быть «x на y».
п. 73, строка 19: «для каждого z в X» должно быть «для каждого a в X».
п. 75, строка 3: «тогда и только тогда, когда x ∈ F(n)» должно быть «тогда и только тогда, когда x = {b: S(n, b)}».
стр. 66, строка 16: «Рассмотрим, например, множество E всех тех пар (a,b), для которых (1,1) <= (a,b); множество E имеет (1,1) для его наименьший элемент.": утверждение неверно, поскольку (2,2) <= (1,1). Фактически (2x2+1)x2^1 = 10 <= (2x1+1)x2^2 = 12.

См. также [ править ]

Список важных публикаций по математике

Библиография [ править ]

Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано издательством Martino Fine Books, 2011 г. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке); Переиздание Дувра, 2017 г. ISBN 9780486814872

Ссылки [ править ]

^ Обзор наивной теории множеств Х. Миркила (апрель 1961 г.), American Mathematical Monthly 68 (4): 392, дои : 10.2307/2311615 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Обзор наивной теории множеств , Л. Ригер, MR 0114756 .
^ МР 0453532
^ Обзор наивной теории множеств , Альфонс Боргерс (июль 1969), Журнал символической логики 34 (2): 308, дои : 10.2307/2271138 .
^ Юинг, Джон Х.; Геринг, Фредерик В., ред. (1991), Пол Халмос: празднование 50-летия математики , Springer-Verlag , Интервью Халмоша с Дональдом Дж. Альберсом, с. 16, ISBN 0-387-97509-8 .

[1] Обзор наивной теории множеств Х. Миркила (апрель 1961 г.), American Mathematical Monthly 68 (4): 392, дои : 10.2307/2311615 .

[Rieger-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Обзор наивной теории множеств , Л. Ригер, MR 0114756 .

[3] МР 0453532

[4] Обзор наивной теории множеств , Альфонс Боргерс (июль 1969), Журнал символической логики 34 (2): 308, дои : 10.2307/2271138 .

[5] Юинг, Джон Х.; Геринг, Фредерик В., ред. (1991), Пол Халмос: празднование 50-летия математики , Springer-Verlag , Интервью Халмоша с Дональдом Дж. Альберсом, с. 16, ISBN 0-387-97509-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]