Математика

Математика — это область знаний , которая включает в себя темы чисел, формул и связанных с ними структур, форм и пространств, в которых они содержатся, а также величин и их изменений. Эти темы представлены в современной математике основными разделами теории чисел . ^[1] алгебра , ^[2] геометрия , ^[1] и анализ , ^[3]соответственно. Среди математиков нет общего согласия относительно общего определения их академической дисциплины .

Большая часть математической деятельности включает в себя открытие свойств абстрактных объектов и использование чистого разума для доказательства их . Эти объекты состоят либо из абстракций природы, либо — в современной математике — из сущностей, которым предписано обладать определёнными свойствами, называемыми аксиомами . Доказательство . состоит из последовательности применений правил дедукции к уже установленным результатам Эти результаты включают ранее доказанные теоремы , аксиомы и — в случае абстрагирования от природы — некоторые основные свойства, которые считаются истинными отправными точками рассматриваемой теории. ^[4]

Математика важна в естественных науках , технике , медицине , финансах , информатике и социальных науках . Хотя математика широко используется для моделирования явлений, фундаментальные истины математики не зависят от каких-либо научных экспериментов. Некоторые области математики, такие как статистика и теория игр , развиваются в тесной связи со своими приложениями и часто группируются в рамках прикладной математики . Другие области развиваются независимо от какого-либо приложения (и поэтому называются чистой математикой ), но часто позже находят практическое применение. ^[5]^[6]

Исторически концепция доказательства и связанная с ним математическая строгость впервые появились в греческой математике Евклида , особенно в «Началах» . ^[7] С самого начала математика в основном разделялась на геометрию и арифметику (манипуляции с натуральными числами и дробями ), вплоть до 16 и 17 веков, когда алгебра ^[а]и исчисление бесконечно малых были введены как новые области. С тех пор взаимодействие математических инноваций и научных открытий привело к соответствующему росту развития и того, и другого. ^[8] В конце XIX века фундаментальный кризис математики привел к систематизации аксиоматического метода . ^[9]что ознаменовало резкий рост числа математических направлений и областей их применения. Современная предметная классификация математики насчитывает более шестидесяти областей математики первого уровня.

Этимология

Слово математика происходит от древнегреческого máthēma ( μάθημα ), что означает «то, что изучается». ^[10]«то, что познаешь», отсюда также «изучение» и «наука». Это слово стало иметь более узкое и более техническое значение «математического исследования» даже в классические времена . ^[б] Его прилагательное — mathēmatikós ( μαθηματικός ), что означает «связанный с обучением» или «прилежный», что в дальнейшем также стало означать «математический». ^[14] В частности, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθαμητικὴ τέχνη ; латынь : ars mathematica ) означало «математическое искусство». ^[10]

Точно так же одна из двух основных школ пифагорейства была известна как математика (μαθηματικοί), что в то время означало «ученики», а не «математики» в современном смысле. Пифагорейцы, вероятно, были первыми, кто ограничил использование этого слова только изучением арифметики и геометрии. Ко времени Аристотеля (384–322 гг. до н. э.) это значение полностью утвердилось. ^[15]

На латыни и английском языке примерно до 1700 года термин « математика» чаще всего означал « астрологию » (или иногда « астрономию »), а не «математику»; значение постепенно изменилось на нынешнее примерно с 1500 по 1800 год. Это изменение привело к нескольким неправильным переводам: например, предупреждение Святого Августина о том, что христианам следует остерегаться mathematici , что означает «астрологи», иногда неправильно переводится как осуждение математиков. . ^[16]

Очевидная форма множественного числа в английском языке восходит к латинскому среднему множественному числу mathematica ( Cicero ), основанному на греческом множественном числе ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) и примерно означает «все математические вещи», хотя вполне вероятно, что английский язык заимствовал только прилагательное математика ( al) и образовал существительное математика заново, по образцу физики и метафизики , унаследованному от греческого. ^[17]В английском языке существительное математика имеет глагол в единственном числе. Его часто сокращают до математики. ^[18] или, в Северной Америке, математика . ^[19]

Области математики

До эпохи Возрождения математика была разделена на две основные области: арифметику, касающуюся манипуляций с числами, и геометрию , касающуюся изучения форм. ^[20] Некоторые виды лженауки , такие как нумерология и астрология, тогда еще не были четко отделены от математики. ^[21]

В эпоху Возрождения появились еще два направления. Математическая запись привела к алгебре и манипулирования ими , которая, грубо говоря, состоит из изучения формул . Исчисление , состоящее из двух подполей: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление , представляет собой изучение непрерывных функций , которые моделируют обычно нелинейные отношения между различными величинами, представленными переменными . Это деление на четыре основные области – арифметику, геометрию, алгебру, исчисление. ^[22]– просуществовало до конца XIX века. Такие области, как небесная механика и механика твердого тела , тогда изучались математиками, но сейчас считаются принадлежащими физике. ^[23] Предмет комбинаторики изучался на протяжении большей части письменной истории, но не стал отдельной отраслью математики до семнадцатого века. ^[24]

В конце XIX века фундаментальный кризис математики и связанная с ним систематизация аксиоматического метода привели к взрывному росту новых областей математики. ^[25]^[9] 2020 года Предметный классификатор математики содержит не менее шестидесяти трех областей первого уровня. ^[26]Некоторые из этих областей соответствуют старому разделу, как и в отношении теории чисел (современное название высшей арифметики ) и геометрии. Некоторые другие области первого уровня имеют в своих названиях слово «геометрия» или по другим причинам обычно считаются частью геометрии. Алгебра и исчисление не относятся к областям первого уровня, а соответственно разделены на несколько областей первого уровня. Другие области первого уровня возникли в 20 веке или ранее не считались математикой, например математическая логика и основы . ^[27]

Теория чисел

Теория чисел началась с манипуляций с числами , то есть натуральными числами . $(\mathbb {N} ),$ и позже расширен до целых чисел $(\mathbb {Z} )$ и рациональные числа $(\mathbb {Q} ).$ Теорию чисел когда-то называли арифметикой, но в настоящее время этот термин в основном используется для числовых вычислений . ^[28]Теория чисел восходит к древнему Вавилону и, вероятно, к Китаю . Двумя выдающимися ранними теоретиками чисел были Евклид из Древней Греции и Диофант Александрийский. ^[29]Современное исследование теории чисел в ее абстрактной форме во многом приписывается Пьеру де Ферма и Леонарду Эйлеру . Эта область достигла полного развития благодаря вкладу Адриана-Мари Лежандра и Карла Фридриха Гаусса . ^[30]

Многие легко сформулированные числовые задачи имеют решения, требующие сложных методов, часто на основе математических методов. Ярким примером является Великая теорема Ферма . Эта гипотеза была высказана в 1637 году Пьером де Ферма, но доказана она была только в 1994 году Эндрю Уайлсом , который использовал такие инструменты, как теория схем из алгебраической геометрии , теория категорий и гомологическая алгебра . ^[31]Другим примером является гипотеза Гольдбаха , которая утверждает, что каждое четное целое число больше 2 является суммой двух простых чисел . Высказанная в 1742 году Кристианом Гольдбахом , она остается недоказанной, несмотря на значительные усилия. ^[32]

Теория чисел включает в себя несколько подразделов, включая аналитическую теорию чисел , теорию алгебраических чисел , геометрию чисел (методически-ориентированную), диофантовы уравнения и теорию трансцендентности (проблемно-ориентированную). ^[27]

Геометрия

Геометрия – один из древнейших разделов математики. Все началось с эмпирических рецептов форм, таких как линии , углы и круги , которые были разработаны в основном для нужд геодезии и архитектуры , но с тех пор распространились на многие другие области. ^[33]

Фундаментальным нововведением было введение древними греками концепции доказательств , которая требует, чтобы каждое утверждение было доказано . Например, недостаточно проверить путем измерения , что, скажем, две длины равны; их равенство должно быть доказано посредством рассуждений на основе ранее принятых результатов ( теорем ) и нескольких основных утверждений. Основные утверждения не подлежат доказательству, поскольку они самоочевидны ( постулаты ), либо являются частью определения предмета исследования ( аксиомы ). Этот принцип, лежащий в основе всей математики, был впервые разработан для геометрии и систематизирован Евклидом около 300 г. до н.э. в его книге «Начала» . ^[34]^[35]

Результирующая евклидова геометрия — это изучение форм и их расположений , построенных из линий, плоскостей и кругов на евклидовой плоскости ( плоская геометрия ) и трёхмерном евклидовом пространстве . ^[с]^[33]

Евклидова геометрия развивалась без изменения методов и области применения до 17 века, когда Рене Декарт ввел то, что сейчас называется декартовыми координатами . Это представляло собой серьезное изменение парадигмы : вместо определения действительных чисел как длин отрезков линий (см. числовую линию ) это позволило представлять точки, используя их координаты , которые являются числами. Таким образом, алгебру (а позже и исчисление) можно использовать для решения геометрических задач. Геометрия была разделена на две новые подобласти: синтетическую геометрию , которая использует чисто геометрические методы, и аналитическую геометрию , которая использует координаты системно. ^[36]

Аналитическая геометрия позволяет изучать кривые, не связанные с кругами и линиями. Такие кривые можно определить как графики функций , изучение которых привело к дифференциальной геометрии . Их также можно определить как неявные уравнения , часто полиномиальные уравнения (которые породили алгебраическую геометрию ). Аналитическая геометрия также позволяет рассматривать евклидовы пространства более трех измерений. ^[33]

В 19 веке математики открыли неевклидовы геометрии , которые не следуют постулату параллельности . Ставя под сомнение истинность этого постулата, это открытие рассматривалось как присоединение к парадоксу Рассела в раскрытии фундаментального кризиса математики . Этот аспект кризиса был решен путем систематизации аксиоматического метода и признания того, что истинность выбранных аксиом не является математической проблемой. ^[37]^[9] В свою очередь, аксиоматический метод позволяет изучать различные геометрии, полученные либо путем изменения аксиом, либо путем рассмотрения свойств, не изменяющихся при конкретных преобразованиях пространства . ^[38]

Сегодняшние разделы геометрии включают: ^[27]

Проективная геометрия , введенная в 16 веке Жираром Дезаргом , расширяет евклидову геометрию, добавляя точки на бесконечности , в которых пересекаются параллельные прямые . Это упрощает многие аспекты классической геометрии, объединяя подходы к пересекающимся и параллельным линиям.
Аффинная геометрия , изучение свойств, относящихся к параллельности и независимых от понятия длины.
Дифференциальная геометрия , изучение кривых, поверхностей и их обобщений, которые определяются с помощью дифференцируемых функций .
Теория многообразия , изучение форм, которые не обязательно встроены в большее пространство.
Риманова геометрия , исследование свойств расстояний в искривленных пространствах.
Алгебраическая геометрия , изучение кривых, поверхностей и их обобщений, которые определяются с помощью полиномов .
Топология , изучение свойств, сохраняющихся при непрерывных деформациях .
- Алгебраическая топология , применение в топологии алгебраических методов, главным образом гомологической алгебры .
Дискретная геометрия , исследование конечных конфигураций в геометрии.
Выпуклая геометрия , изучение выпуклых множеств , важность которой обусловлена ее применением в оптимизации .
Сложная геометрия , геометрия, полученная заменой действительных чисел комплексными числами .

Алгебра

Алгебра – это искусство работы с уравнениями и формулами. Диофант (3 век) и аль-Хорезми (9 век) были двумя главными предшественниками алгебры. ^[40]^[41] Диофант решал некоторые уравнения, включающие неизвестные натуральные числа, выводя новые соотношения, пока не получил решение. ^[42] Аль-Хорезми представил систематические методы преобразования уравнений, такие как перемещение члена из одной части уравнения в другую. ^[43] Термин « алгебра» происходит от арабского слова «аль-джабр» , означающего «воссоединение сломанных частей», которое он использовал для обозначения одного из этих методов в названии своего основного трактата . ^[44]^[45]

Алгебра стала отдельной областью только после Франсуа Вьета (1540–1603), который ввел использование переменных для представления неизвестных или неуказанных чисел. ^[46] Переменные позволяют математикам описывать операции, которые необходимо проделать с числами, представленными с помощью математических формул . ^[47]

До 19 века алгебра состояла в основном из изучения линейных уравнений (ныне линейная алгебра ) и полиномиальных уравнений с одним неизвестным , которые назывались алгебраическими уравнениями (термин используется до сих пор, хотя он может быть неоднозначным). В 19 веке математики начали использовать переменные для представления вещей, отличных от чисел (таких как матрицы , модульные целые числа и геометрические преобразования ), над которыми часто справедливы обобщения арифметических операций. ^[48]К этому относится концепция алгебраической структуры , состоящей из набора , элементы которого не определены, операций, действующих над элементами набора, и правил, которым эти операции должны следовать. Таким образом, сфера алгебры расширилась и включила изучение алгебраических структур. Этот объект алгебры был назван современной алгеброй или абстрактной алгеброй , как установлено влиянием и работами Эмми Нётер . ^[49]

Некоторые типы алгебраических структур обладают полезными и часто фундаментальными свойствами во многих областях математики. Их изучение стало автономными частями алгебры и включает: ^[27]

теория групп ;
теория поля ;
векторные пространства , изучение которых по существу совпадает с изучением линейной алгебры ;
теория колец ;
коммутативная алгебра , которая изучает коммутативные кольца , включает изучение многочленов и является фундаментальной частью алгебраической геометрии ;
гомологическая алгебра ;
Алгебра Ли и групп Ли ; теория
Булева алгебра , которая широко используется для изучения логической структуры компьютеров .

Изучение типов алгебраических структур как математических объектов — цель универсальной алгебры и теории категорий . ^[50]Последнее применимо к любой математической структуре (не только алгебраической). Изначально она была введена вместе с гомологической алгеброй для обеспечения алгебраического исследования неалгебраических объектов, таких как топологические пространства ; эта конкретная область применения называется алгебраической топологией . ^[51]

Расчет и анализ

Исчисление, ранее называвшееся исчислением бесконечно малых, было введено независимо и одновременно математиками 17-го века Ньютоном и Лейбницем . ^[52]По сути, это изучение взаимосвязей переменных, которые зависят друг от друга. Исчисление было расширено в 18 веке Эйлером с введением понятия функции и многими другими результатами. ^[53] В настоящее время «исчисление» относится главным образом к элементарной части этой теории, а «анализ» обычно используется для более сложных частей. ^[54]

Анализ далее подразделяется на реальный анализ , где переменные представляют собой действительные числа , и комплексный анализ , где переменные представляют собой комплексные числа . Анализ включает в себя множество подобластей, общих для других областей математики, в том числе: ^[27]

Многомерное исчисление
Функциональный анализ , где переменные представляют собой изменяющиеся функции;
Интеграция , теория меры и теория потенциала - все они тесно связаны с теорией вероятностей в континууме ;
Обыкновенные дифференциальные уравнения ;
Уравнения в частных производных ;
Численный анализ , в основном посвящен вычислению на компьютерах решений обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных, возникающих во многих приложениях.

Дискретная математика

Дискретная математика, вообще говоря, представляет собой исследование отдельных исчисляемых математических объектов. Примером может служить набор всех целых чисел. ^[55] Поскольку объекты исследования здесь дискретны, методы исчисления и математического анализа напрямую не применяются. ^[д] Алгоритмы , особенно их реализация и вычислительная сложность , играют важную роль в дискретной математике. ^[56]

Теорема о четырех цветах и оптимальная упаковка сфер были двумя основными задачами дискретной математики, решенными во второй половине 20 века. ^[57] Проблема P и NP , которая остается открытой по сей день, также важна для дискретной математики, поскольку ее решение потенциально может повлиять на большое количество вычислительно сложных задач. ^[58]

Дискретная математика включает в себя: ^[27]

Комбинаторика — искусство перечисления математических объектов, удовлетворяющих некоторым заданным ограничениям. Первоначально эти объекты были элементами или подмножествами данного множества ; это было распространено на различные объекты, что устанавливает прочную связь между комбинаторикой и другими частями дискретной математики. Например, дискретная геометрия включает в себя счет конфигураций геометрических фигур.
Теория графов и гиперграфы
Теория кодирования , включая коды с исправлением ошибок и часть криптографии.
матроидов Теория
Дискретная геометрия
Дискретные распределения вероятностей
Теория игр (хотя непрерывные игры изучаются и , но наиболее распространенные игры, такие как шахматы и покер , являются дискретными)
Дискретная оптимизация , включая комбинаторную оптимизацию , целочисленное программирование , программирование в ограничениях.

Математическая логика и теория множеств

Два предмета — математическая логика и теория множеств — принадлежали математике с конца XIX века. ^[59]^[60] До этого периода множества не считались математическими объектами, а логика , хотя и использовалась для математических доказательств, принадлежала философии и специально не изучалась математиками. ^[61]

До бесконечных исследования Кантором множеств математики неохотно рассматривали фактически бесконечные коллекции и считали бесконечность результатом бесконечного перечисления . Работа Кантора оскорбила многих математиков не только тем, что она рассматривала фактически бесконечные множества. ^[62]но показав, что это подразумевает разные размеры бесконечности, согласно диагональному аргументу Кантора . Это привело к спорам по поводу теории множеств Кантора . ^[63] В тот же период различные области математики пришли к выводу, что прежние интуитивные определения основных математических объектов недостаточны для обеспечения математической строгости . ^[64]

Это стало фундаментальным кризисом математики. ^[65]В конечном итоге проблема была решена в основной математике путем систематизации аксиоматического метода внутри формализованной теории множеств . Грубо говоря, каждый математический объект определяется совокупностью всех подобных объектов и свойствами, которыми эти объекты должны обладать. ^[25] Например, в арифметике Пеано натуральные числа определяются словами «ноль — это число», «каждое число имеет уникального преемника», «каждое число, кроме нуля, имеет уникального предшественника» и некоторыми правилами рассуждения. ^[66] Эта математическая абстракция от реальности воплощена в современной философии формализма , основанной Дэвидом Гильбертом около 1910 года. ^[67]

«Природа» объектов, определенных таким образом, — это философская проблема, которую математики оставляют философам, даже если многие математики имеют мнения об этой природе и используют свое мнение — иногда называемое «интуицией» — для руководства своими исследованиями и доказательствами. Подход позволяет рассматривать «логики» (то есть наборы разрешенных правил вывода), теоремы, доказательства и т. д. как математические объекты и доказывать теоремы о них. Например, теоремы Гёделя о неполноте , грубо говоря, утверждают, что в каждой непротиворечивой формальной системе , содержащей натуральные числа, существуют теоремы, которые истинны (что доказуемо в более сильной системе), но не доказуемы внутри системы. ^[68] Этот подход к основам математики был оспорен в первой половине 20-го века математиками во главе с Брауэром , который продвигал интуиционистскую логику , в которой явно отсутствует закон исключенного третьего . ^[69]^[70]

Эти проблемы и дебаты привели к широкому расширению математической логики с такими подобластями, как теория моделей (моделирование некоторых логических теорий внутри других теорий), теория доказательств , теория типов , теория вычислимости и теория сложности вычислений . ^[27] Хотя эти аспекты математической логики были представлены до появления компьютеров , их использование в компиляторов разработке , сертификации программ , помощниках по доказательству и других аспектах информатики , в свою очередь, способствовало расширению этих логических теорий. ^[71]

Статистика и другие науки о принятии решений

Какой бы ни была форма случайного распределения населения (μ), выборочное среднее (x̄) стремится к распределению Гаусса , а его дисперсия (σ) определяется центральной предельной теоремой теории вероятностей. ^[72]

Область статистики — это математическое приложение, которое используется для сбора и обработки выборок данных с использованием процедур, основанных на математических методах, особенно теории вероятностей . Статистики генерируют данные с помощью случайной выборки или рандомизированных экспериментов . ^[73]

Статистическая теория изучает проблемы принятия решений , такие как минимизация риска ( ожидаемых потерь ) статистического действия, например, использование процедуры , например, для оценки параметров , проверки гипотез и выбора лучшего . В этих традиционных областях математической статистики задача статистического принятия решения формулируется путем минимизации целевой функции , такой как ожидаемые потери или затраты , при определенных ограничениях. Например, разработка опроса часто предполагает минимизацию затрат на оценку среднего значения совокупности с заданным уровнем достоверности. ^[74] Из-за использования оптимизации математическая теория статистики пересекается с другими науками о принятии решений , такими как исследование операций , теория управления и математическая экономика . ^[75]

Вычислительная математика

Вычислительная математика — это изучение математических задач , которые обычно слишком велики для человеческих вычислительных возможностей. ^[76]^[77] Численный анализ изучает методы решения задач анализа с использованием функционального анализа и теории приближений ; Численный анализ в широком смысле включает изучение аппроксимации и дискретизации с особым упором на ошибки округления . ^[78]Численный анализ и, в более широком смысле, научные вычисления также изучают неаналитические темы математической науки, особенно алгоритмических матриц и теорию графов . Другие области вычислительной математики включают компьютерную алгебру и символьные вычисления .

История

Древний

Помимо умения считать физические объекты, доисторические народы, возможно, также умели считать абстрактные величины, такие как время — дни, времена года или годы. ^[79]^[80] Доказательства существования более сложной математики появляются только примерно в 3000 году до нашей эры , когда вавилоняне и египтяне начали использовать арифметику, алгебру и геометрию для налогообложения и других финансовых расчетов, для строительства и астрономии. ^[81] Самые старые математические тексты из Месопотамии и Египта датируются 2000–1800 годами до нашей эры. ^[82]Во многих ранних текстах упоминаются тройки Пифагора , и, как следствие, теорема Пифагора кажется самой древней и широко распространенной математической концепцией после основ арифметики и геометрии. Именно в вавилонской математике элементарная арифметика ( сложение , вычитание , умножение и деление впервые появляются в археологических записях ). Вавилоняне также владели разрядной системой и использовали шестидесятеричную систему счисления, которая используется до сих пор для измерения углов и времени. ^[83]

В VI веке до нашей эры греческая математика начала превращаться в отдельную дисциплину, и некоторые древние греки, такие как пифагорейцы, по-видимому, считали ее самостоятельным предметом. ^[84] Около 300 г. до н.э. Евклид организовал математическое знание посредством постулатов и первых принципов, которые превратились в аксиоматический метод, используемый сегодня в математике и состоящий из определения, аксиомы, теоремы и доказательства. ^[85] Его книга «Элементы » считается самым успешным и влиятельным учебником всех времен. ^[86] Величайшим математиком древности часто считают Архимеда ( ок. 287 – ок. 212 до н. э. ) из Сиракуз . ^[87] Он разработал формулы для расчета площади поверхности и объема тел вращения и использовал метод истощения для расчета площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда , способом, не слишком отличающимся от современного исчисления. ^[88] Другими заметными достижениями греческой математики являются конические сечения ( Аполлоний Пергский , 3 век до н. э.), ^[89] тригонометрия ( Гиппарх Никейский , II век до н. э.), ^[90] и начало алгебры (Диофант, 3 век нашей эры). ^[91]

Цифры, использованные в рукописи Бахшали , датированной II веком до нашей эры и II веком нашей эры.

Индо -арабская система счисления и правила использования ее операций, используемые сегодня во всем мире, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы в западный мир через исламскую математику . ^[92] Другие известные достижения индийской математики включают современное определение и приближение синуса и косинуса , а также раннюю форму бесконечных рядов . ^[93]^[94]

Средневековье и позже

Во время Золотого века ислама , особенно в IX и X веках, в математике произошло много важных инноваций, основанных на греческой математике. Наиболее заметным достижением исламской математики было развитие алгебры . Другие достижения исламского периода включают достижения в сферической тригонометрии и добавление десятичной точки в арабскую систему счисления. ^[95] Многие известные математики этого периода были персами, например, Аль-Хорезми , Омар Хайям и Шараф ад-Дин аль-Туси . ^[96] Греческие и арабские математические тексты, в свою очередь, были переведены на латынь в средние века и стали доступны в Европе. ^[97]

В период раннего Нового времени математика начала развиваться ускоренными темпами в Западной Европе благодаря инновациям, которые произвели революцию в математике, таким как введение переменных и символьных обозначений Франсуа Вьета (1540–1603), введение логарифмов Джоном Напье в 1614 г., что значительно упростило численные расчеты, особенно для астрономии и морской навигации , введение координат Рене Декартом (1596–1650) для сведения геометрии к алгебре и развитие исчисления Исааком Ньютоном (1643–1727) и Готфридом Лейбницем ( 1646–1716). Леонард Эйлер (1707–1783), крупнейший математик XVIII века, объединил эти нововведения в единый корпус с использованием стандартизированной терминологии и завершил их открытием и доказательством множества теорем. ^[98]

Возможно, выдающимся математиком XIX века был немецкий математик Карл Гаусс , внесший многочисленные вклады в такие области, как алгебра, анализ, дифференциальная геометрия , теория матриц , теория чисел и статистика . ^[99] В начале 20-го века Курт Гёдель изменил математику, опубликовав свои теоремы о неполноте, которые частично показывают, что любая непротиворечивая аксиоматическая система — если она достаточно мощна для описания арифметики — будет содержать истинные утверждения, которые невозможно доказать. ^[68]

произошло плодотворное взаимодействие Математика с тех пор значительно расширилась, и между математикой и наукой на благо обеих сторон. Математические открытия продолжают делаться и по сей день. По словам Михаила Б. Севрюка в январском выпуске Бюллетеня Американского математического общества за 2006 год : «Количество статей и книг, включенных в базу данных Mathematical Reviews с 1940 года (первого года работы MR), сейчас превышает 1,9. миллионов, и ежегодно в базу данных добавляется более 75 тысяч элементов. Подавляющее большинство работ в этом океане содержат новые математические теоремы и их доказательства». ^[100]

Символические обозначения и терминология

Математические обозначения широко используются в науке и технике представления сложных понятий и свойств для краткого, однозначного и точного . Эта нотация состоит из символов , используемых для представления операций , неуказанных чисел, отношений и любых других математических объектов, а затем их сборки в выражения и формулы. ^[101]Точнее, числа и другие математические объекты представлены символами, называемыми переменными, которые обычно представляют собой латинские или греческие буквы и часто включают индексы . Операции и отношения обычно представляются определенными символами или глифами . ^[102] например $+$ ( плюс ), $\times$ ( умножение ), ${\textstyle \int }$ ( целое ), $=$ ( равно ) и $<$ ( меньше чем ). ^[103] Все эти символы обычно группируются по определенным правилам для формирования выражений и формул. ^[104] Обычно выражения и формулы появляются не по отдельности, а включаются в предложения текущего языка, где выражения играют роль именной группы , а формулы — роль предложения .

Математика разработала богатую терминологию, охватывающую широкий спектр областей, изучающих свойства различных абстрактных идеализированных объектов и способы их взаимодействия. Он основан на строгих определениях , которые обеспечивают стандартную основу для общения. Аксиома или постулат — это математическое утверждение, которое считается истинным без необходимости доказательства. Если математическое утверждение еще не доказано (или опровергнуто), оно называется гипотезой . Благодаря серии строгих аргументов с использованием дедуктивного рассуждения утверждение, истинность которого доказана , становится теоремой. Специальная теорема, которая в основном используется для доказательства другой теоремы, называется леммой . Доказанный пример, который является частью более общего открытия, называется следствием . ^[105]

Многочисленные технические термины, используемые в математике, представляют собой неологизмы , такие как полиномиал и гомеоморфизм . ^[106]Другие технические термины — это слова общего языка, которые используются в точном значении, которое может немного отличаться от их общего значения. Например, в математике « или » означает «один, другой или оба», тогда как в обычном языке оно либо двусмысленно, либо означает «один или другой, но не оба» (в математике последнее называется « исключительным »). или "). Наконец, многие математические термины являются обычными словами, которые используются с совершенно другим значением. ^[107]Это может привести к появлению предложений, которые являются правильными и истинными математическими утверждениями, но кажутся бессмысленными людям, не имеющим необходимого опыта. Например, «каждый свободный модуль плоский » и « поле всегда является кольцом ».

Связь с науками

Математика используется в большинстве наук для моделирования явлений, что затем позволяет делать прогнозы на основе экспериментальных законов. ^[108] Независимость математической истины от любых экспериментов подразумевает, что точность таких предсказаний зависит только от адекватности модели. ^[109] Неточные прогнозы вызваны не неверными математическими концепциями, а предполагают необходимость изменения используемой математической модели. ^[110] Например, прецессию перигелия Меркурия можно было объяснить только после появления Эйнштейна общей теории относительности , которая заменила закон гравитации Ньютона как лучшую математическую модель. ^[111]

До сих пор ведутся философские споры о том, является ли математика наукой. Однако на практике математиков обычно объединяют с учеными, а математика имеет много общего с физическими науками. Как и они, она фальсифицируема . В математике это означает, что если результат или теория неверны, это можно доказать, предоставив контрпример . Как и в науке, теории и результаты (теоремы) часто получаются в результате экспериментов . ^[112]В математике экспериментирование может состоять из вычислений на выбранных примерах или изучения фигур или других представлений математических объектов (часто представлений разума без физической поддержки). Например, когда его спросили, как он пришел к своим теоремам, Гаусс однажды ответил: «durch planmässiges Tattonieren» (путем систематических экспериментов). ^[113] Однако некоторые авторы подчеркивают, что математика отличается от современного понятия науки тем, что не опирается на эмпирические данные. ^[114]^[115]^[116]^[117]

Чистая и прикладная математика

Исаак Ньютон (слева) и Готфрид Вильгельм Лейбниц разработали исчисление бесконечно малых.

До 19 века развитие математики на Западе было мотивировано главным образом потребностями техники и науки, и не было четкого различия между чистой и прикладной математикой. ^[118]Например, натуральные числа и арифметика были введены для нужд счета, а геометрия была мотивирована геодезией, архитектурой и астрономией. Позже Исаак Ньютон ввел исчисление бесконечно малых для объяснения движения планет с помощью своего закона гравитации. Более того, большинство математиков были также учёными, и многие учёные также были математиками. ^[119] Однако заметное исключение произошло с традицией чистой математики в Древней Греции . ^[120] Например , проблема факторизации целых чисел , восходящая к Евклиду в 300 году до нашей эры, не имела практического применения до ее использования в криптосистеме RSA , которая сейчас широко используется для безопасности компьютерных сетей . ^[121]

В XIX веке такие математики, как Карл Вейерштрасс и Рихард Дедекинд, все больше сосредоточивали свои исследования на внутренних проблемах, то есть чистой математике . ^[118]^[122]Это привело к разделению математики на чистую математику и прикладную математику , причем последняя часто считается имеющей меньшую ценность среди математических пуристов. Однако границы между ними часто размыты. ^[123]

Последствия Второй мировой войны привели к всплеску развития прикладной математики в США и других странах. ^[124]^[125]Многие из теорий, разработанных для приложений, оказались интересными с точки зрения чистой математики, и было показано, что многие результаты чистой математики имеют приложения за пределами математики; в свою очередь, изучение этих приложений может дать новое понимание «чистой теории». ^[126]^[127]

Примером первого случая является теория распределений , введенная Лораном Шварцем для проверки вычислений, выполненных в квантовой механике , которая сразу же стала важным инструментом (чистого) математического анализа. ^[128] Примером второго случая является разрешимость теории действительных чисел первого порядка , проблемы чистой математики, справедливость которой была доказана Альфредом Тарским , с алгоритмом, который невозможно реализовать из-за слишком высокой вычислительной сложности. высокий. ^[129] Чтобы получить алгоритм, который можно реализовать и решать системы полиномиальных уравнений и неравенств, Джордж Коллинз ввел цилиндрическое алгебраическое разложение , которое стало фундаментальным инструментом в реальной алгебраической геометрии . ^[130]

В настоящее время различие между чистой и прикладной математикой является скорее вопросом личных исследовательских целей математиков, чем разделением математики на широкие области. ^[131]^[132] В Предметной классификации математики есть раздел «Общая прикладная математика», но не упоминается «чистая математика». ^[27] Однако эти термины до сих пор используются в названиях некоторых университетских кафедр, например, на математическом факультете университета Кембриджского .

Неоправданная эффективность

Необоснованная эффективность математики — это явление, которое было названо и впервые объяснено физиком Юджином Вигнером . ^[6]Дело в том, что многие математические теории (даже самые «чистые») имеют приложения за пределами своего первоначального объекта. Эти приложения могут совершенно выходить за пределы своей первоначальной области математики и могут касаться физических явлений, которые были совершенно неизвестны на момент появления математической теории. ^[133] Примеры неожиданных приложений математических теорий можно найти во многих областях математики.

Ярким примером является простая факторизация натуральных чисел, которая была открыта более чем за 2000 лет до ее повсеместного использования для безопасной интернет- связи посредством криптосистемы RSA . ^[134]Второй исторический пример — теория эллипсов . Они изучались древнегреческими математиками как конические сечения (т. е. пересечения конусов плоскостями). Почти 2000 лет спустя Иоганн Кеплер обнаружил, что траектории планет представляют собой эллипсы. ^[135]

В XIX веке внутреннее развитие геометрии (чистой математики) привело к определению и изучению неевклидовых геометрий, пространств размерности выше трёх и многообразий . В то время эти концепции казались совершенно оторванными от физической реальности, но в начале 20-го века Альберт Эйнштейн разработал теорию относительности , которая фундаментально использует эти концепции. В частности, пространство-время специальной теории относительности представляет собой неевклидово пространство четырехмерного измерения, а пространство-время общей теории относительности представляет собой (искривленное) многообразие четырехмерного измерения. ^[136]^[137]

Ярким аспектом взаимодействия математики и физики является то, что математика стимулирует исследования в области физики. Об этом свидетельствуют открытия позитрона и бариона . $\Omega ^{-}.$ В обоих случаях уравнения теорий имели необъяснимые решения, что привело к предположению о существовании неизвестной частицы и поиску этих частиц. В обоих случаях эти частицы были открыты несколько лет спустя в результате конкретных экспериментов. ^[138]^[139]^[140]

Конкретные науки

Физика

Математика и физика влияли друг на друга в своей современной истории. Современная физика широко использует математику. ^[141] а также считается мотивацией крупных математических разработок. ^[142]

Вычисление

Вычислительная техника тесно связана с математикой во многих отношениях. ^[143] Теоретическая информатика считается математической по своей природе. ^[144]В коммуникационных технологиях применяются разделы математики, которые могут быть очень старыми (например, арифметика), особенно в отношении безопасности передачи, в криптографии и теории кодирования . Дискретная математика полезна во многих областях информатики, таких как теория сложности , теория информации и теория графов . ^[145] В 1998 году гипотеза Кеплера об упаковке сфер также была частично доказана с помощью компьютера. ^[146]

Биология и химия

Биология широко использует вероятность в таких областях, как экология и нейробиология . ^[147] Большинство дискуссий о вероятности сосредоточено на концепции эволюционной приспособленности . ^[147] Экология широко использует моделирование для моделирования динамики популяций . ^[147]^[148] изучать экосистемы, такие как модель хищник-жертва, измерять распространение загрязнения, ^[149] или для оценки изменения климата. ^[150] Динамику популяции можно смоделировать с помощью связанных дифференциальных уравнений, таких как уравнения Лотки-Вольтерра . ^[151]

Статистическая проверка гипотез проводится на основе данных клинических испытаний , чтобы определить, работает ли новое лечение. ^[152] С начала 20-го века химия использовала компьютеры для моделирования молекул в трех измерениях. ^[153]

Науки о Земле

Структурная геология и климатология используют вероятностные модели для прогнозирования риска природных катастроф. ^[154] Точно так же метеорология , океанография и планетология также используют математику из-за интенсивного использования моделей. ^[155]^[156]^[157]

Социальные науки

Области математики, используемые в социальных науках, включают вероятность/статистику и дифференциальные уравнения. Они используются в лингвистике, экономике , социологии , ^[158] и психология . ^[159]

Кривые спроса и предложения , подобные этой, являются основой математической экономики.

Часто фундаментальным постулатом математической экономики является постулат о рациональном индивидуальном деятеле – Homo Economicus ( букв. « экономический человек » ). ^[160] В этой модели человек стремится максимизировать свои собственные интересы . ^[160] и всегда делает оптимальный выбор, используя достоверную информацию . ^[161]Такой атомистический взгляд на экономику позволяет ей относительно легко математизировать свое мышление, поскольку отдельные расчеты трансформируются в математические расчеты. Такое математическое моделирование позволяет исследовать экономические механизмы. Некоторые отвергают или критикуют концепцию Homo Economicus . Экономисты отмечают, что реальные люди обладают ограниченной информацией, делают неправильный выбор и заботятся о справедливости, альтруизме, а не только о личной выгоде. ^[162]

Без математического моделирования трудно выйти за рамки статистических наблюдений или непроверяемых предположений. Математическое моделирование позволяет экономистам создавать структурированные основы для проверки гипотез и анализа сложных взаимодействий. Модели обеспечивают ясность и точность, позволяя переводить теоретические концепции в количественные прогнозы, которые можно проверить на реальных данных. ^[163]

В начале 20-го века появилась возможность выражать исторические движения в формулах. В 1922 году Николай Кондратьев обнаружил ~50-летний цикл Кондратьева , который объясняет фазы экономического роста или кризиса. ^[164] К концу XIX века математики распространили свой анализ на геополитику . ^[165] Питер Турчин разрабатывал клиодинамику с 1990-х годов. ^[166]

Математизация социальных наук сопряжена с риском. В скандальной книге «Модная чушь» (1997) Сокал и Брикмонт осудили необоснованное или оскорбительное использование научной терминологии, особенно из математики и физики, в социальных науках. ^[167]При изучении сложных систем (эволюция безработицы, делового капитала, демографическая эволюция населения и т. д.) используются математические знания. Однако выбор критериев подсчета, особенно по безработице, или моделей может быть спорным. ^[168]^[169]

Связь с астрологией и эзотерикой

Некоторые известные математики также считаются известными астрологами; например, Птолемей , арабские астрономы, Региомант , Кардано , Кеплер или Джон Ди . В средние века астрология считалась наукой, включающей в себя математику. В своей энциклопедии Теодор Цвингер писал, что астрология — математическая наука, изучающая «активное движение тел при их воздействии на другие тела». Он оставил за математикой необходимость «с вероятностью рассчитать влияния [звезд]», чтобы предвидеть их «соединения и противостояния». ^[170] С 2023 года астрология больше не считается наукой. ^[171]

Философия

Реальность

Связь между математикой и материальной реальностью приводила к философским дебатам, по крайней мере, со времен Пифагора . Античный философ Платон утверждал, что абстракции, отражающие материальную реальность, сами по себе обладают реальностью, существующей вне пространства и времени. В результате философский взгляд на то, что математические объекты каким-то образом существуют сами по себе в абстракции, часто называют платонизмом . Независимо от возможных философских взглядов современных математиков в целом можно считать платонистами, поскольку они думают и говорят о своих объектах исследования как о реальных объектах. ^[172]

Арман Борель резюмировал этот взгляд на математическую реальность следующим образом и привел цитаты Г.Х. Харди , Шарля Эрмита , Анри Пуанкаре и Альберта Эйнштейна, подтверждающие его взгляды. ^[138]

Нечто становится объективным (в отличие от «субъективного»), как только мы убеждаемся, что оно существует в сознании других в той же форме, что и в нашем, и что мы можем думать об этом и обсуждать это вместе. ^[173]Поскольку язык математики настолько точен, он идеально подходит для определения понятий, по которым существует такой консенсус. По моему мнению, этого достаточно, чтобы дать нам ощущение объективного существования, реальности математики...

Тем не менее, платонизм и сопутствующие ему взгляды на абстракцию не объясняют необоснованную эффективность математики. ^[174]

Предлагаемые определения

Не существует общего согласия относительно определения математики или ее эпистемологического статуса , то есть ее места среди других видов человеческой деятельности. ^[175]^[176] Очень многие профессиональные математики не интересуются определением математики или считают ее неопределимой. ^[175] Нет даже единого мнения о том, является ли математика искусством или наукой. ^[176] Некоторые просто говорят: «Математика – это то, чем занимаются математики». ^[175]Это имеет смысл, поскольку среди них существует твердое согласие относительно того, что является математикой, а что нет. Большинство предлагаемых определений пытаются определить математику по ее объекту изучения. ^[177]

Аристотель определил математику как «науку о количестве», и это определение преобладало до 18 века. Однако Аристотель также отметил, что сосредоточение внимания только на количестве не может отличать математику от таких наук, как физика; по его мнению, абстракция и изучение количества как свойства, «отдельного в мышлении» от реальных примеров, отличают математику. ^[178] В 19 веке, когда математики начали заниматься такими темами, как бесконечные множества, которые не имеют четкого отношения к физической реальности, было дано множество новых определений. ^[179] При большом количестве новых областей математики, появившихся с начала XX века и продолжающих появляться, определение математики этим объектом изучения становится невыполнимой задачей.

Другой подход к определению математики — использовать ее методы. Итак, область исследования можно квалифицировать как математику, если можно доказать теоремы — утверждения, достоверность которых зависит от доказательства, то есть чисто логического вывода. ^[180] Другие придерживаются точки зрения, что математика — это исследование аксиоматической теории множеств, поскольку это исследование теперь является основополагающей дисциплиной для большей части современной математики. ^[181]

Строгость

Математические рассуждения требуют строгости . Это означает, что определения должны быть абсолютно однозначными, а доказательства должны быть сведены к последовательному применению правил вывода . ^[Это] без всякого использования эмпирических данных и интуиции . ^[ф]^[182]Строгое рассуждение не характерно только для математики, но в математике стандарты строгости намного выше, чем где-либо еще. Несмотря на математическую краткость , строгие доказательства могут потребовать сотен страниц, как, например, 255-страничная теорема Фейта-Томпсона . ^[г] Появление компьютерных доказательств позволило еще больше расширить объем доказательств. ^[час]^[183] Результатом этой тенденции является философия квазиэмпиристского доказательства , которое не может считаться непогрешимым, но с которым связана вероятность. ^[9]

Концепция строгости математики восходит к Древней Греции, где общество поощряло логические, дедуктивные рассуждения. Однако этот строгий подход, как правило, препятствует исследованию новых подходов, таких как иррациональные числа и концепции бесконечности. Метод демонстрации строгих доказательств был усовершенствован в шестнадцатом веке за счет использования символических обозначений. В 18 веке социальный переход привел к тому, что математики стали зарабатывать на жизнь преподаванием, что привело к более тщательному обдумыванию основных концепций математики. Это привело к более строгим подходам при переходе от геометрических методов к алгебраическим, а затем и арифметическим доказательствам. ^[9]

В конце XIX века оказалось, что определения основных понятий математики недостаточно точны, чтобы избежать парадоксов (неевклидовы геометрии и функция Вейерштрасса ) и противоречий (парадокс Рассела). Проблема была решена путем включения аксиом в аподиктические правила вывода математических теорий; повторное введение аксиоматического метода, впервые изобретенного древними греками. ^[9]В результате «строгость» больше не является актуальным понятием в математике, поскольку доказательство может быть либо правильным, либо ошибочным, а «строгое доказательство» — это просто плеоназм . Особая концепция строгости вступает в игру в социализированных аспектах доказательства, где оно может быть явно опровергнуто другими математиками. После того, как доказательство было принято в течение многих лет или даже десятилетий, его можно считать надежным. ^[184]

Тем не менее, концепция «строгости» может оставаться полезной для обучения новичков тому, что такое математическое доказательство. ^[185]

Обучение и практика

Образование

Математика обладает замечательной способностью преодолевать культурные границы и временные периоды. Как человеческая деятельность , практика математики имеет социальную сторону, которая включает в себя образование , карьеру , признание , популяризацию и так далее. В образовании математика является основной частью учебной программы и важным элементом академических дисциплин STEM . Выдающиеся карьеры для профессиональных математиков включают учителя или профессора математики, статистика , актуария , финансового аналитика , экономиста , бухгалтера , торговца сырьевыми товарами или компьютерного консультанта . ^[186]

Археологические данные показывают, что обучение математике происходило еще во втором тысячелетии до нашей эры в древней Вавилонии. ^[187] Сопоставимые доказательства были обнаружены в отношении обучения писцов математике на древнем Ближнем Востоке , а затем в греко-римском мире, начиная примерно с 300 г. до н.э. ^[188]Самый старый известный учебник математики — папирус Ринда , датированный ок . 1650 г. до н. э. , Египет. ^[189] Из-за нехватки книг математические учения в древней Индии передавались с использованием заученной устной традиции, начиная с ведического периода ( ок. 1500 – ок. 500 г. до н.э. ). ^[190] В императорском Китае во времена династии Тан (618–907 гг. Н. Э.) была принята учебная программа по математике для сдачи экзамена на государственную службу для поступления на государственную бюрократию. ^[191]

После Средневековья математическое образование в Европе предоставлялось религиозными школами как часть Квадривиума . Формальное обучение педагогике началось в школах иезуитов в 16 и 17 веках. Большая часть математической учебной программы оставалась на базовом и практическом уровне до девятнадцатого века, когда она начала процветать во Франции и Германии. Старейшим журналом, посвященным обучению математике, был L'Enseignement Mathématique , который начал публиковаться в 1899 году. ^[192] Западные достижения в области науки и техники привели к созданию централизованных систем образования во многих национальных государствах с математикой в качестве основного компонента — первоначально для ее военных приложений. ^[193] Хотя содержание курсов различается, в настоящее время почти во всех странах математика преподается студентам в течение значительного времени. ^[194]

В школьные годы математические способности и позитивные ожидания тесно связаны с карьерным интересом в этой области. Внешние факторы, такие как мотивация обратной связи со стороны учителей, родителей и групп сверстников, могут влиять на уровень интереса к математике. ^[195]У некоторых студентов, изучающих математику, могут возникнуть опасения или страх по поводу своей успеваемости по предмету. Это известно как математическая тревожность или математическая фобия и считается наиболее выраженным расстройством, влияющим на успеваемость. Математическая тревога может развиться из-за различных факторов, таких как отношение родителей и учителей, социальные стереотипы и личные качества. Помощь в противодействии тревоге может прийти за счет изменений в подходах к обучению, взаимодействия с родителями и учителями, а также путем индивидуального лечения. ^[196]

Психология (эстетика, творчество и интуиция)

Справедливость математической теоремы зависит только от строгости ее доказательства, которое теоретически может быть выполнено автоматически с помощью компьютерной программы . Это не означает, что в математической работе нет места творчеству. Напротив, многие важные математические результаты (теоремы) представляют собой решения проблем, которые не удалось решить другим математикам, и изобретение способа их решения может стать фундаментальным способом процесса решения. ^[197]^[198] Крайним примером является теорема Апери : Роджер Апери предоставил только идеи для доказательства, а формальное доказательство было дано лишь несколько месяцев спустя тремя другими математиками. ^[199]

Творчество и строгость — не единственные психологические стороны деятельности математиков. Некоторые математики могут рассматривать свою деятельность как игру, точнее, как решение головоломок . ^[200] Этому аспекту математической деятельности уделяется особое внимание в развлекательной математике .

Математики могут найти эстетическую в математике ценность. Как и красоту , ее трудно определить, она обычно связана с элегантностью , которая включает в себя такие качества, как простота , симметрия , завершенность и общность. Г.Х. Харди в «Апологии математика» выразил убеждение, что эстетических соображений самих по себе достаточно, чтобы оправдать изучение чистой математики. Он также определил другие критерии, такие как значимость, неожиданность и неизбежность, которые способствуют математической эстетике. ^[201] Пауль Эрдеш выразил это мнение более иронично, говоря о «Книге», предполагаемом божественном собрании самых прекрасных доказательств. Книга «Доказательства из книги» , вышедшая в 1998 году и вдохновленная Эрдёшем, представляет собой сборник особенно кратких и откровенных математических аргументов. Некоторые примеры особенно элегантных результатов включают доказательство Евклида о том, что существует бесконечно много простых чисел, и быстрое преобразование Фурье для гармонического анализа . ^[202]

Некоторые считают, что считать математику наукой – значит преуменьшать ее художественность и историю в семи традиционных гуманитарных науках . ^[203] Одним из способов проявления этой разницы во взглядах являются философские дебаты о том, создаются ли математические результаты (как в искусстве) или открываются (как в науке). ^[138] Популярность развлекательной математики — еще один признак того удовольствия, которое многие получают от решения математических вопросов.

Культурное влияние

Художественное выражение

Ноты, которые хорошо звучат вместе для западного уха, — это звуки, основные частоты вибрации которых находятся в простых соотношениях. Например, октава удваивает частоту, а чистая квинта умножает ее на ${\frac {3}{2}}$ . ^[204]^[205]

Люди, как и некоторые другие животные, считают симметричные узоры более красивыми. ^[206] Математически симметрии объекта образуют группу, известную как группа симметрии . ^[207] Например, группа, лежащая в основе зеркальной симметрии, представляет собой циклическую группу двух элементов: $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ . Тест Роршаха — это фигура, инвариантная благодаря этой симметрии: ^[208] как и тела бабочек и животных в целом (по крайней мере, на поверхности). ^[209] Волны на морской поверхности обладают трансляционной симметрией: перемещение точки зрения на расстояние между гребнями волн не меняет взгляд на море. ^[210] Фракталы обладают самоподобием . ^[211]^[212]

Популяризация

Популярная математика — это представление математики без технических терминов. ^[213] Изложение математики может быть трудным, поскольку широкая публика страдает от математической тревожности , а математические объекты очень абстрактны. ^[214] Однако популярные статьи по математике могут преодолеть эту проблему, используя приложения или культурные связи. ^[215] Несмотря на это, математика редко становится темой популяризации в печатных или телевизионных СМИ.

Награды и призовые проблемы

Лицевая сторона Медали Филдса с изображением греческого эрудита Архимеда.

Самая престижная награда в области математики — Медаль Филдса . ^[216]^[217] учрежден в 1936 году и присуждается каждые четыре года (за исключением периода Второй мировой войны ) максимум четырем лицам. ^[218]^[219] Она считается математическим эквивалентом Нобелевской премии . ^[219]

Другие престижные награды в области математики включают: ^[220]

Премия Абеля , учреждена в 2002 году. ^[221] и впервые награжден в 2003 году ^[222]
Медаль Черна за заслуги перед жизнью, учреждена в 2009 г. ^[223] и впервые награжден в 2010 году ^[224]
Премия AMS Лероя П. Стила , вручается с 1970 года. ^[225]
Премия Вольфа по математике , также за достижения в жизни, ^[226] учрежден в 1978 году ^[227]

Знаменитый список из 23 открытых задач , получивший название « Проблемы Гильберта », был составлен в 1900 году немецким математиком Давидом Гильбертом. ^[228] Этот список приобрел большую известность среди математиков. ^[229] и по крайней мере тринадцать проблем (в зависимости от того, как некоторые из них интерпретируются) были решены. ^[228]

Новый список из семи важных проблем, названный « Проблемы премии тысячелетия », был опубликован в 2000 году. Только одна из них, гипотеза Римана , дублирует одну из проблем Гильберта. Решение любой из этих проблем предполагает вознаграждение в 1 миллион долларов. ^[230] На сегодняшний день только одна из этих проблем — гипотеза Пуанкаре . решена ^[231]

v t e Major mathematics areas
History Timeline Future Lists Glossary
Foundations	Category theory Information theory Mathematical logic Philosophy of mathematics Set theory Type theory
Algebra	Abstract Commutative Elementary Group theory Linear Multilinear Universal Homological
Analysis	Calculus Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis Differential equations Functional analysis Harmonic analysis Measure theory
Discrete	Combinatorics Graph theory Order theory
Geometry	Algebraic Analytic Arithmetic Differential Discrete Euclidean Finite
Number theory	Arithmetic Algebraic number theory Analytic number theory Diophantine geometry
Topology	General Algebraic Differential Geometric Homotopy theory
Applied	Engineering mathematics Mathematical biology Mathematical chemistry Mathematical economics Mathematical finance Mathematical physics Mathematical psychology Mathematical sociology Mathematical statistics Probability Statistics Systems science Control theory Game theory Operations research
Computational	Computer science Theory of computation Computational complexity theory Numerical analysis Optimization Computer algebra
Related topics	Mathematicians lists Informal mathematics Films about mathematicians Recreational mathematics Mathematics and art Mathematics education
Mathematics portal Category Commons WikiProject

Authority control databases
National	Spain 2 France BnF data Germany Israel United States Japan Czech Republic Korea
Other	Encyclopedia of Modern Ukraine Historical Dictionary of Switzerland