Топологическое пространство

В математике топологическое пространство — это, грубо говоря, геометрическое пространство , в котором близость определена, но не обязательно может быть измерена числовым расстоянием . Более конкретно, топологическое пространство — это набор , элементы которого называются точками , а также дополнительная структура, называемая топологией , которую можно определить как набор окрестностей для каждой точки, которые удовлетворяют некоторым аксиомам , формализующим концепцию близости. Существует несколько эквивалентных определений топологии, наиболее часто используемым из которых является определение через открытые множества , которыми легче манипулировать, чем другими.

Топологическое пространство — наиболее общий тип математического пространства , позволяющий определять пределы , непрерывность и связность . Общие типы топологических пространств включают евклидовы пространства , метрические пространства и многообразия .

Хотя концепция топологических пространств очень общая, она является фундаментальной и используется практически во всех разделах современной математики. Изучение топологических пространств само по себе называется топологией множества точек или общей топологией .

История

Около 1735 года Леонард Эйлер открыл формулу $V-E+F=2$связывающий количество вершин (V), ребер (E) и граней (F) выпуклого многогранника и, следовательно, плоского графа . Изучение и обобщение этой формулы, в частности ( 1789–1857) и Л'Юилье (1750–1840), стимулировали изучение топологии Коши . В 1827 году Карл Фридрих Гаусс опубликовал «Общие исследования искривленных поверхностей» , где в разделе 3 искривленная поверхность определяется аналогично современному топологическому пониманию: «Говорят, что искривленная поверхность обладает непрерывной кривизной в одной из своих точек А, если направление всех прямых, проведенных от А к точкам поверхности, находящимся на бесконечно малом расстоянии от А, бесконечно мало отклоняется от одной и той же плоскости, проходящей через А».

Тем не менее, «до работ Римана в начале 1850-х годов поверхности всегда рассматривались с локальной точки зрения (как параметрические поверхности), а топологические вопросы никогда не рассматривались». Мёбиус гомеоморфными и Йордан , по-видимому, первыми осознали, что основная проблема топологии (компактных) поверхностей состоит в том, чтобы найти инварианты (предпочтительно числовые), позволяющие определить эквивалентность поверхностей, то есть решить, являются ли две поверхности или нет. ."

Предмет четко определен Феликсом Клейном в его « Эрлангенской программе » (1872 г.): геометрические инварианты произвольного непрерывного преобразования, разновидность геометрии. Термин «топология» был введен Иоганном Бенедиктом Листингом в 1847 году, хотя он использовал этот термин в переписке несколькими годами ранее вместо использовавшегося ранее «Анализ местоположения». Фундамент этой науки для пространства любого измерения заложил Анри Пуанкаре . Его первая статья на эту тему появилась в 1894 году . В 1930-х годах Джеймс Уодделл Александр II и Хасслер Уитни впервые высказали идею о том, что поверхность — это топологическое пространство, локально похожее на евклидову плоскость .

Топологические пространства были впервые определены Феликсом Хаусдорфом в 1914 году в его основополагающих «Принципах теории множеств». Метрические пространства были определены ранее в 1906 году Морисом Фреше , хотя именно Хаусдорф популяризировал термин «метрическое пространство» ( нем . metrischer Raum ).

Определения

Основная статья: Аксиоматические основы топологических пространств

Полезность понятия топологии проявляется в том факте, что существует несколько эквивалентных определений этой математической структуры . Таким образом, выбирают аксиоматизацию, подходящую для приложения. Наиболее часто используется метод в терминах открытых множеств , но, возможно, более интуитивным является метод в терминах окрестностей , поэтому он дается первым.

Определение через окрестности

Эта аксиоматизация принадлежит Феликсу Хаусдорфу . Позволять $X$быть (возможно, пустым) множеством. Элементы $X$обычно называются точками , хотя они могут быть любым математическим объектом. Позволять ${\mathcal {N}}$ быть функцией , присваивающей каждому $x$ (точка) в $X$ непустая коллекция ${\mathcal {N}}(x)$ подмножеств $X.$ Элементы ${\mathcal {N}}(x)$ будем окрестностями называть $x$ относительно ${\mathcal {N}}$ (или просто окрестности $x$). Функция ${\mathcal {N}}$ называется топологией окрестности , если аксиомы следующие удовлетворены; а потом $X$ с ${\mathcal {N}}$ называется топологическим пространством .

1. Если $N$ это район $x$ (т.е. $N\in {\mathcal {N}}(x)$), затем $x\in N.$ Другими словами, каждая точка множества $X$ принадлежит каждой из своих окрестностей по отношению к ${\mathcal {N}}$.
2. Если $N$ является подмножеством $X$ и включает в себя окрестности $x,$ затем $N$ это район $x.$ Т.е. каждое надмножество окрестности точки $x\in X$ снова район $x.$
3. Пересечение г. двух кварталов $x$ это район $x.$
4. Любой район $N$ из $x$ включает в себя район $M$ из $x$ такой, что $N$ является окрестностью каждой точки $M.$

Первые три аксиомы для окрестностей имеют ясный смысл. Четвертая аксиома имеет очень важное применение в структуре теории, поскольку связывает воедино окрестности различных точек $X.$

Стандартный пример такой системы окрестностей — для реальной линии $\mathbb {R} ,$ где подмножество $N$ из $\mathbb {R}$ определяется как окрестность действительного числа $x$ если он включает открытый интервал, содержащий $x.$

Учитывая такую ​​структуру, подмножество $U$ из $X$ определяется как открытый , если $U$ является окрестностью всех точек $U.$Тогда открытые множества удовлетворяют аксиомам, приведенным ниже в следующем определении топологического пространства. И наоборот, если даны открытые множества топологического пространства, окрестности, удовлетворяющие вышеуказанным аксиомам, можно восстановить, определив $N$ быть районом $x$ если $N$ включает в себя открытый набор $U$ такой, что $x\in U.$

Определение через открытые множества

Топологию множества X можно набор определить как $\tau$ подмножеств и X , называемых открытыми множествами удовлетворяющих следующим аксиомам:

1. Пустой набор и $X$ сам принадлежит $\tau .$
2. Любое произвольное (конечное или бесконечное) объединение членов $\tau$ принадлежит $\tau .$
3. Пересечение любого конечного числа членов $\tau$ принадлежит $\tau .$

Поскольку это определение топологии используется наиболее часто, множество $\tau$ открытых множеств обычно называют топологией на $X.$

Подмножество $C\subseteq X$ говорят, что закрыт он $(X,\tau )$ если это дополнение $X\setminus C$ представляет собой открытое множество.

Примеры топологий

Позволять $\tau$ обозначим кружками, вот четыре примера и два непримера топологий на множестве трех точек $\{1,2,3\}.$ Нижний левый пример не является топологией, поскольку объединение $\{2\}$ и $\{3\}$ [т.е. $\{2,3\}$] пропал, отсутствует; нижний правый пример не является топологией, поскольку пересечение $\{1,2\}$ и $\{2,3\}$ [т.е. $\{2\}$], пропал, отсутствует.

1. Данный $X=\{1,2,3,4\},$ тривиальная недискретная или топология на $X$ это семья $\tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}$ состоящее только из двух подмножеств $X$ требуемая аксиомами, образует топологию на $X.$
2. Данный $X=\{1,2,3,4\},$ семья
   $$\tau =\{\{\},\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}$$
   из шести подмножеств $X$ образует другую топологию $X.$
3. Данный $X=\{1,2,3,4\},$ дискретная топология на $X$ это мощности набор $X,$ что такое семья $\tau =\wp (X)$ состоящее из всех возможных подмножеств $X.$ В этом случае топологическое пространство $(X,\tau )$ называется дискретным пространством .
4. Данный $X=\mathbb {Z} ,$ набор целых чисел, семейство $\tau$ всех конечных подмножеств целых чисел плюс $\mathbb {Z}$ является сама по себе не топологией, потому что (например) объединение всех конечных множеств, не содержащих нуля, не является конечным и, следовательно, не является членом семейства конечных множеств. Объединение всех конечных множеств, не содержащих нулей, также не является всем $\mathbb {Z} ,$ и поэтому его не может быть в $\tau .$

Определение через закрытые множества

Используя законы де Моргана , приведенные выше аксиомы, определяющие открытые множества, становятся аксиомами, определяющими закрытые множества :

1. Пустой набор и $X$ закрыто.
2. Пересечение любого набора замкнутых множеств также замкнуто.
3. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств также замкнуто.

Используя эти аксиомы, другой способ определить топологическое пространство — это набор $X$ вместе с коллекцией $\tau$ закрытых подмножеств $X.$ Таким образом, множества в топологии $\tau$ являются закрытыми множествами и их дополнениями в $X$ являются открытыми множествами.

Другие определения

Существует много других эквивалентных способов определения топологического пространства: другими словами, концепции соседства или концепции открытых или закрытых множеств могут быть реконструированы из других отправных точек и удовлетворять правильным аксиомам.

Другой способ определить топологическое пространство — использовать аксиомы замыкания Куратовского замкнутые множества как неподвижные точки оператора , которые определяют на множестве степеней $X.$

Сеть — это обобщение понятия последовательности . Топология полностью определена, если для каждой сети из $X$ набор точек его накопления указывается .

Сравнение топологий

Основная статья: Сравнение топологий

Многие топологии могут быть определены на множестве для формирования топологического пространства. Когда каждое открытое множество топологии $\tau _{1}$ также открыт для топологии $\tau _{2},$ один говорит, что $\tau _{2}$ тоньше , чем $\tau _{1},$ и $\tau _{1}$ грубее , чем $\tau _{2}.$Доказательство, которое опирается только на существование определенных открытых множеств, также справедливо для любой более тонкой топологии, и аналогичным образом доказательство, которое опирается только на существование определенных множеств, не является открытым, применимо к любой более грубой топологии. Термины «больше» и «меньше» иногда используются вместо слов «тонче» и «грубее» соответственно. Термины сильнее и слабее также используются в литературе, но с небольшим согласием по их значению, поэтому при чтении всегда следует быть уверенным в авторской условности.

Коллекция всех топологий на заданном фиксированном множестве. $X$ образует полную решетку : если $F=\left\{\tau _{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ представляет собой совокупность топологий на $X,$ затем встреча ​ $F$ является пересечением $F,$ и объединение ​ $F$ является собранием всех топологий на $X$ которые содержат каждый член $F.$

Непрерывные функции

Основная статья: Непрерывная функция

Функция ​ $f:X\to Y$ между топологическими пространствами называется непрерывным , если для любого $x\in X$ и каждый район $N$ из $f(x)$ есть район $M$ из $x$ такой, что $f(M)\subseteq N.$Это легко соотносится с обычным определением в анализе. Эквивалентно, $f$ непрерывно, если прообраз каждого открытого множества открыт. Это попытка интуитивно понять, что в функции нет «скачков» или «разделений». Гомеоморфизм , — это биекция непрерывная и обратная которой также непрерывна. Два пространства называются гомеоморфными , если между ними существует гомеоморфизм. С точки зрения топологии гомеоморфные пространства по существу тождественны.

В теории категорий одной из фундаментальных категорий является Top , которая обозначает категорию топологических пространств которых , объекты являются топологическими пространствами и чьи морфизмы являются непрерывными функциями. Попытка классифицировать объекты этой категории ( с точностью до гомеоморфизма ) с помощью инвариантов мотивировала такие направления исследований, как теория гомотопий , теория гомологии и К-теория .

Примеры топологических пространств

Данный набор может иметь множество различных топологий. Если множеству задана другая топология, оно рассматривается как другое топологическое пространство. Любому множеству можно придать дискретную топологию , в которой каждое подмножество открыто. Единственными сходящимися последовательностями или сетями в этой топологии являются те, которые в конечном итоге становятся постоянными. Кроме того, любому множеству можно придать тривиальную топологию (также называемую недискретной топологией), в которой открыты только пустое множество и все пространство. Каждая последовательность и сеть в этой топологии сходятся к каждой точке пространства. Этот пример показывает, что в общих топологических пространствах пределы последовательностей не обязательно должны быть уникальными. Однако часто топологические пространства должны быть пространствами Хаусдорфа , где предельные точки единственны.

Метрические пространства

Основная статья: Метрическое пространство

Метрические пространства воплощают в себе метрику — точное понятие расстояния между точками.

Каждому метрическому пространству можно задать метрическую топологию, в которой основными открытыми множествами являются открытые шары, определяемые метрикой. Это стандартная топология любого нормированного векторного пространства . В конечномерном векторном пространстве эта топология одинакова для всех норм.

Существует множество способов определения топологии на $\mathbb {R} ,$набор действительных чисел . Стандартная топология на $\mathbb {R}$генерируется открытыми интервалами . Набор всех открытых интервалов образует основу или основу топологии, а это означает, что каждое открытое множество представляет собой объединение некоторого набора множеств из базы. В частности, это означает, что множество открыто, если вокруг каждой точки множества существует открытый интервал ненулевого радиуса. В более общем смысле, евклидовы пространства $\mathbb {R} ^{n}$можно задать топологию. В обычной топологии на $\mathbb {R} ^{n}$базовые открытые наборы — это открытые шары . Сходным образом, $\mathbb {C} ,$ набор комплексных чисел и $\mathbb {C} ^{n}$ имеют стандартную топологию, в которой основные открытые множества представляют собой открытые шары.

Другие помещения

Если $\Gamma$ это фильтр в наборе $X$ затем $\{\varnothing \}\cup \Gamma$ это топология на $X.$

Многие наборы линейных операторов в функциональном анализе наделены топологиями, которые определяются путем указания того, когда определенная последовательность функций сходится к нулевой функции.

Любое локальное поле имеет собственную топологию, и ее можно расширить до векторных пространств над этим полем.

Каждое многообразие имеет естественную топологию, поскольку оно локально евклидово. Точно так же каждый симплекс и каждый симплициальный комплекс наследуют естественную топологию от .

Топология Зарисского определяется алгебраически на спектре кольца или алгебраического многообразия . На $\mathbb {R} ^{n}$ или $\mathbb {C} ^{n},$ замкнутые множества топологии Зарисского являются множествами решений систем полиномиальных уравнений.

Линейный граф имеет естественную топологию, которая обобщает многие геометрические аспекты графов с вершинами и ребрами .

Пространство Серпинского — простейшее недискретное топологическое пространство. Он имеет важное отношение к теории вычислений и семантике.

существует множество топологий На любом заданном конечном множестве . Такие пространства называются конечными топологическими пространствами . Конечные пространства иногда используются для предоставления примеров или контрпримеров гипотезам о топологических пространствах в целом.

Любому множеству можно придать коконечную топологию, в которой открытыми множествами являются пустое множество и множества, дополнение которых конечно. Это наименьшая топология T ₁ на любом бесконечном множестве.

Любому множеству можно задать косчетную топологию , в которой множество определяется как открытое, если оно либо пусто, либо его дополнение счетно. Когда множество несчетно, эта топология во многих ситуациях служит контрпримером.

Реальной линии также может быть задана топология нижнего предела . Здесь базовыми открытыми множествами являются полуоткрытые интервалы. $[a,b).$ Эта топология на $\mathbb {R}$строго тоньше, чем евклидова топология, определенная выше; последовательность сходится к точке в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится сверху в евклидовой топологии. Этот пример показывает, что в наборе может быть определено множество различных топологий.

Если $\gamma$ - порядковый номер , то множество $\gamma =[0,\gamma )$ может быть наделен топологией порядка , порожденной интервалами $(\alpha ,\beta ),$ $[0,\beta ),$ и $(\alpha ,\gamma )$ где $\alpha$ и $\beta$ являются элементами $\gamma .$

Космическое пространство свободной группы $F_{n}$ состоит из так называемых «маркированных метрических графовых структур» тома 1 на $F_{n}.$

Топологические конструкции

Каждому подмножеству топологического пространства можно задать топологию подпространства , в которой открытые множества являются пересечениями открытых множеств большего пространства с подмножеством. Для любого индексированного семейства топологических пространств продукту может быть задана топология продукта , которая генерируется обратными образами открытых наборов факторов при проекционных отображениях. Например, в конечных произведениях основа топологии произведения состоит из всех произведений открытых множеств. Для бесконечных произведений существует дополнительное требование: в базовом открытом множестве все его проекции, кроме конечного числа, представляют собой все пространство.

Факторпространство если определяется следующим образом: $X$ является топологическим пространством и $Y$ является множеством, и если $f:X\to Y$ является сюръективной функцией , то фактортопология на $Y$ представляет собой совокупность подмножеств $Y$ которые имеют открытые прообразы под $f.$ Другими словами, фактортопология — это наилучшая топология на $Y$ для которого $f$является непрерывным. Типичным примером фактортопологии является ситуация, когда отношение эквивалентности определено в топологическом пространстве. $X.$ Карта $f$ тогда является естественной проекцией на множество классов эквивалентности .

Топология Виеториса на множестве всех непустых подмножеств топологического пространства $X,$ названный в честь Леопольда Виеториса , генерируется по следующему принципу: для каждого $n$-кортеж $U_{1},\ldots ,U_{n}$ открытых наборов в $X,$ строим базисный набор, состоящий из всех подмножеств объединения $U_{i}$ которые имеют непустые пересечения с каждым $U_{i}.$

Топология Фелла на множестве всех непустых замкнутых подмножеств локально компактного польского пространства $X$представляет собой вариант топологии Виеториса и назван в честь математика Джеймса Фелла. Он формируется по следующему принципу: для каждого $n$-кортеж $U_{1},\ldots ,U_{n}$ открытых наборов в $X$ и для каждого компакта $K,$ совокупность всех подмножеств $X$ которые не пересекаются с $K$ и имеют непустые пересечения с каждым $U_{i}$ является членом базиса.

Классификация топологических пространств

Основная статья: Топологическое свойство

Топологические пространства можно широко классифицировать, с точностью до гомеоморфизма, по их топологическим свойствам . Топологическое свойство — это свойство пространств, инвариантное относительно гомеоморфизмов. Чтобы доказать, что два пространства не гомеоморфны, достаточно найти топологическое свойство, которым они не обладают. Примеры таких свойств включают связность , компактность и различные аксиомы разделения . Для алгебраических инвариантов см. алгебраическую топологию .

Топологические пространства с алгебраической структурой

Для любых алгебраических объектов можно ввести дискретную топологию, при которой алгебраические операции являются непрерывными функциями. Для любой такой структуры, которая не является конечной, мы часто имеем естественную топологию, совместимую с алгебраическими операциями, в том смысле, что алгебраические операции по-прежнему непрерывны. Это приводит к таким понятиям, как топологические группы , топологические векторные пространства , топологические кольца и локальные поля .

Топологические пространства с порядковой структурой

• Спектр : Пространство является спектральным тогда и только тогда, когда оно является простым спектром кольца ( теорема Хохстера ).
• Предварительный порядок специализации : В пространстве предварительный порядок специализации (или канонический предварительный порядок ) определяется следующим образом: $x\leq y$ если и только если $\operatorname {cl} \{x\}\subseteq \operatorname {cl} \{y\},$ где $\operatorname {cl}$ обозначает оператор, удовлетворяющий аксиомам замыкания Куратовского .

См. также

• Полная алгебра Гейтинга . Система всех открытых множеств данного топологического пространства, упорядоченная по включению, является полной алгеброй Гейтинга.
• Компактное пространство - Тип математического пространства.
• Пространство сходимости - обобщение понятия сходимости, которое встречается в общей топологии.
• Внешнее пространство
• Пространство Хаусдорфа - Тип топологического пространства.
• Гильбертово пространство - тип топологического векторного пространства.
• Геминепрерывность
• Линейное подпространство . В математике векторное подпространство.
• Квазитопологическое пространство - множество X, снабженное функцией, которая сопоставляет каждому компакту Хаусдорфа K набор карт K → C, удовлетворяющих определенным естественным условиям. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Относительно компактное подпространство - подмножество топологического пространства, замыкание которого компактно. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Пространство (математика) - математический набор с некоторой дополнительной структурой.

Библиография

• Армстронг, Массачусетс (1983) [1979]. Базовая топология . Тексты бакалавриата по математике . Спрингер. ISBN  0-387-90839-0 .
• Бредон, Глен Э. , Топология и геометрия (тексты для выпускников по математике), Springer; 1-е издание (17 октября 1997 г.). ISBN   0-387-97926-3 .
• Бурбаки, Николя ; Элементы математики: общая топология , Аддисон-Уэсли (1966).
• Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды . Книжный всплеск. ISBN  1-4196-2722-8 . (3-е издание книг с разными названиями)
• Чех, Эдуард ; Наборы точек , Academic Press (1969).
• Фултон, Уильям , Алгебраическая топология , (Тексты для выпускников по математике), Спрингер; 1-е издание (5 сентября 1997 г.). ISBN   0-387-94327-7 .
• Галье, Жан; Сюй, Дайанна (2013). Руководство к теореме классификации компактных поверхностей . Спрингер.
• Гаусс, Карл Фридрих (1827). Общие исследования искривленных поверхностей .
• Липшуц, Сеймур; «Очерк общей топологии» Шаума , McGraw-Hill; 1-е издание (1 июня 1968 г.). ISBN   0-07-037988-2 .
• Манкрес, Джеймс ; Топология , Прентис Холл; 2-е издание (28 декабря 1999 г.). ISBN   0-13-181629-2 .
• Рунде, Волкер; Вкус топологии (Universitext) , Springer; 1-е издание (6 июля 2005 г.). ISBN   0-387-25790-X .
• Шуберт, Хорст (1968), Топология , Macdonald Technical & Scientific, ISBN  0-356-02077-0
• Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN   0-03-079485-4 .
• Вайдьянатхасвами, Р. (1960). Установить топологию . издательства Челси ISBN  0486404560 .
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Дуврские публикации. ISBN  0-486-43479-6 .

Внешние ссылки

• «Топологическое пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press , 2001 [1994]