Жемчужина Эйлера

Жемчужина Эйлера: Формула многогранника и рождение топологии - книга о формуле $V-E+F=2$ об эйлеровой характеристике выпуклых многогранников и ее связи с историей топологии . Она была написана Дэвидом Ричесоном и опубликована в 2008 году издательством Princeton University Press , а в 2012 году — в мягкой обложке. В 2010 году она выиграла книжную премию Эйлера Математической ассоциации Америки . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Темы

Книга организована исторически, и рецензент Роберт Брэдли делит темы книги на три части. ^{[ 3 ]} В первой части обсуждается более ранняя история многогранников, включая работы Пифагора , Фалеса , Евклида и Иоганна Кеплера , а также открытие Рене Декартом многогранной версии теоремы Гаусса-Бонне (позже выяснилось, что она эквивалентна формуле Эйлера). . В нем рассматривается жизнь Эйлера , его открытие в начале 1750-х годов того, что эйлерова характеристика $V-E+F$ (количество вершин минус количество ребер плюс количество граней) равно 2 для всех выпуклых многогранников и его ошибочных попыток доказательства и завершается первым строгим доказательством этого тождества в 1794 году Адрианом -Мари Лежандром. , ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} основан на теореме Жирара, связывающей угловой избыток треугольников в сферической тригонометрии с их площадью. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Хотя многогранники являются геометрическими объектами, «Жемчужина Эйлера» утверждает, что Эйлер открыл свою формулу, будучи первым, кто рассматривал их топологически (как абстрактные закономерности падения вершин, граней и ребер), а не через их геометрические расстояния и углы. ^{[ 8 ]} (Однако этот аргумент подрывается обсуждением в книге аналогичных идей в более ранних работах Кеплера и Декарта.) ^{[ 7 ]} Рождение топологии условно отмечено более ранним вкладом Эйлера, его работой 1736 года о семи мостах Кенигсберга , а средняя часть книги соединяет эти две работы через теорию графов . ^{[ 3 ]} Он доказывает формулу Эйлера в топологической, а не геометрической форме для плоских графов и обсуждает ее использование в доказательстве того, что эти графы имеют вершины низкой степени , что является ключевым компонентом в доказательстве теоремы о четырех цветах . Он даже устанавливает связь с комбинаторной теорией игр через графические игры « Спраутс» и «Брюссельская капуста» и их анализ с использованием формулы Эйлера. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

В третьей части книги Брэдли переходит от топологии плоскости и сферы к произвольным топологическим поверхностям. ^{[ 3 ]} Для любой поверхности эйлеровы характеристики всех подразделений поверхности равны, но они зависят от поверхности, а не всегда равны 2. Здесь в книге описаны работы Бернхарда Римана , Макса Дена и Пола Хегора по классификации многообразий. , в которой было показано, что двумерные компактные топологические поверхности могут быть полностью описаны их эйлеровыми характеристиками и их ориентируемостью . Другие темы, обсуждаемые в этой части, включают теорию узлов и эйлерову характеристику поверхностей Зейферта , теорему Пуанкаре–Хопфа , теорему Брауэра о неподвижной точке , числа Бетти и Григорием Перельманом доказательство гипотезы Пуанкаре . ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}

В приложении приведены инструкции по созданию моделей из бумаги и мыльных пузырей некоторых примеров из книги. ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}

Аудитория и прием

«Жемчужина Эйлера» предназначена для широкой аудитории, интересующейся математическими темами, и содержит биографические очерки и портреты обсуждаемых в ней математиков, множество диаграмм и наглядных рассуждений вместо строгих доказательств и лишь несколько простых уравнений. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 2 ]} Без упражнений это не учебник. ^{[ 9 ]} Однако последующие части книги могут оказаться трудными для любителей и требуют, по крайней мере, понимания математического анализа и дифференциальной геометрии на уровне бакалавриата . ^{[ 4 ]}^{[ 10 ]} Рецензент Дастин Л. Джонс предполагает, что учителя найдут примеры, интуитивно понятные объяснения и исторический справочный материал полезными в классе. ^{[ 11 ]}

Хотя рецензент Джереми Л. Мартин жалуется, что «обобщения книги о математической истории и эстетике немного упрощены или даже однобоки», указывает на значительную математическую ошибку в смешении полярной дуальности в книге с дуальностью Пуанкаре и рассматривает позицию книги Считая доказательство с помощью компьютера «излишним пренебрежением», он, тем не менее, приходит к выводу, что математическое содержание книги «перевешивает эти случайные недостатки». ^{[ 7 ]} Дастин Джонс оценивает книгу как «уникальное сочетание истории и математики… увлекательное и увлекательное». ^{[ 11 ]} а рецензент Брюс Рот называет его «хорошо написанным и полным интересных идей». ^{[ 6 ]} Рецензент Джанин Даемс пишет: «Было приятно читать эту книгу, и я рекомендую ее всем, кто не боится математических аргументов». ^{[ 8 ]}

См. также

Список книг о многогранниках

Ссылки

^ Книжная премия Эйлера , Математическая ассоциация Америки , получено 25 февраля 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Цесельский, Кшиштоф, «Обзор жемчужины Эйлера », Математические обзоры , MR 2963735
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Брэдли, Роберт (8 января 2009 г.), «Обзор жемчужины Эйлера » , Times Higher Education
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Балтил, Адхемар (январь 2020 г.), «Обзор жемчужины Эйлера » , EMS Reviews , Европейское математическое общество , заархивировано из оригинала 25 февраля 2020 г. , получено 26 февраля 2020 г.
^ Вагнер, Клиффорд (февраль 2010 г.), «Обзор жемчужины Эйлера », Конвергенция , Математическая ассоциация Америки , doi : 10.4169/loci003291
^ Jump up to: ^а ^б Рот, Брюс (март 2010 г.), «Обзор жемчужины Эйлера », The Mathematical Gazette , 94 (529): 176–177, doi : 10.1017/S0025557200007397 , JSTOR 27821912
^ Jump up to: ^а ^б ^с Мартин, Джереми (декабрь 2010 г.), «Обзор жемчужины Эйлера » (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 57 (11): 1448–1450.
^ Jump up to: ^а ^б Даемс, Джанин (декабрь 2009 г.), «Обзор жемчужины Эйлера », The Mathematical Intelligencer , 32 (3): 56–57, doi : 10.1007/s00283-009-9116-0
^ Сатцер, Уильям Дж. (октябрь 2008 г.), «Обзор жемчужины Эйлера » , MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
^ Karpenkov, Oleg, zbMATH , Zbl 1153.55001 {{citation}}: CS1 maint: периодическое издание без названия ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б Джонс, Дастин Л. (август 2009 г.), «Обзор жемчужины Эйлера », Учитель математики , 103 (1), Национальный совет учителей математики : 87, JSTOR 20876528

[euler-1] Книжная премия Эйлера , Математическая ассоциация Америки , получено 25 февраля 2020 г.

[ciesielski-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Цесельский, Кшиштоф, «Обзор жемчужины Эйлера », Математические обзоры , MR 2963735

[bradley-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Брэдли, Роберт (8 января 2009 г.), «Обзор жемчужины Эйлера » , Times Higher Education

[bultheel-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Балтил, Адхемар (январь 2020 г.), «Обзор жемчужины Эйлера » , EMS Reviews , Европейское математическое общество , заархивировано из оригинала 25 февраля 2020 г. , получено 26 февраля 2020 г.

[wagner-5] Вагнер, Клиффорд (февраль 2010 г.), «Обзор жемчужины Эйлера », Конвергенция , Математическая ассоциация Америки , doi : 10.4169/loci003291

[roth-6] Jump up to: ^а ^б Рот, Брюс (март 2010 г.), «Обзор жемчужины Эйлера », The Mathematical Gazette , 94 (529): 176–177, doi : 10.1017/S0025557200007397 , JSTOR 27821912

[martin-7] Jump up to: ^а ^б ^с Мартин, Джереми (декабрь 2010 г.), «Обзор жемчужины Эйлера » (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 57 (11): 1448–1450.

[daems-8] Jump up to: ^а ^б Даемс, Джанин (декабрь 2009 г.), «Обзор жемчужины Эйлера », The Mathematical Intelligencer , 32 (3): 56–57, doi : 10.1007/s00283-009-9116-0

[satzer-9] Сатцер, Уильям Дж. (октябрь 2008 г.), «Обзор жемчужины Эйлера » , MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки

[karpenkov-10] Karpenkov, Oleg, zbMATH , Zbl 1153.55001 {{citation}}: CS1 maint: периодическое издание без названия ( ссылка )

[jones-11] Jump up to: ^а ^б Джонс, Дастин Л. (август 2009 г.), «Обзор жемчужины Эйлера », Учитель математики , 103 (1), Национальный совет учителей математики : 87, JSTOR 20876528

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]