Теорема Брауэра о неподвижной точке

Теорема Брауэра о неподвижной точке — это теорема о неподвижной точке в топологии , названная в честь Л.Я. (Бертуса) Брауэра . Он утверждает, что для любой непрерывной функции $f$ отображающий непустой выпуклый компакт в себя, существует точка $x_{0}$ такой, что $f(x_{0})=x_{0}$. Простейшие формы теоремы Брауэра относятся к непрерывным функциям. $f$ с закрытого интервала $I$ в действительных числах себе или с закрытого диска $D$самому себе. Более общая форма, чем последняя, ​​для непрерывных функций из непустого выпуклого компактного подмножества. $K$ евклидова пространства к себе.

Среди сотен о неподвижной точке теорем Метод Брауэра особенно известен, отчасти благодаря его использованию во многих областях математики. В своей исходной области этот результат является одной из ключевых теорем, характеризующих топологию евклидовых пространств, наряду с теоремой Жордана о кривой , теоремой о волосатом шаре , инвариантности размерности и теоремой Борсука–Улама . Это дает ей место среди фундаментальных теорем топологии. Теорема также используется для доказательства глубоких результатов о дифференциальных уравнениях и рассматривается в большинстве вводных курсов по дифференциальной геометрии . Оно появляется в маловероятных областях, таких как теория игр . В экономике теорема Брауэра о неподвижной точке и ее расширение, теорема Какутани о неподвижной точке , играют центральную роль в доказательстве существования общего равновесия в рыночной экономике, разработанном в 1950-х годах лауреатами Нобелевской премии по экономике Кеннетом Эрроу и Жераром Дебре .

Теорема была впервые изучена в связи с работами над дифференциальными уравнениями французских математиков Анри Пуанкаре и Шарля Эмиля Пикара . Доказательство таких результатов, как теорема Пуанкаре – Бендиксона, требует использования топологических методов. Эта работа в конце XIX века открыла несколько последовательных версий теоремы. Случай дифференцируемых отображений n -мерного замкнутого шара был впервые доказан в 1910 году Жаком Адамаром. и общий случай непрерывных отображений Брауэра в 1911 году.

Заявление

Теорема имеет несколько формулировок в зависимости от контекста, в котором она используется, и степени ее обобщения. Самый простой вариант иногда приводится следующим образом:

В плоскости

Каждая непрерывная функция от замкнутого круга до самой себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Это можно обобщить на произвольную конечную размерность:

В евклидовом пространстве

Каждая непрерывная функция из замкнутого шара евклидова пространства в себя имеет неподвижную точку.

Несколько более общая версия выглядит следующим образом:

Выпуклый компактный набор

Каждая непрерывная функция из непустого выпуклого компакта K имеет евклидова пространства в само K неподвижную точку.

Еще более общая форма более известна под другим названием:

Теорема о неподвижной точке вздрагивания

Каждая непрерывная функция из непустого выпуклого компакта K банахова пространства в само K имеет неподвижную точку.

предварительных

Теорема справедлива только для функций, являющихся эндоморфизмами (функций, имеющих то же множество, что и область определения и ко-область), а также для непустых множеств, которые компактны (т. е., в частности, ограничены и замкнуты) и выпуклы (или гомеоморфны выпуклым). Следующие примеры показывают, почему предварительные условия важны.

Функция f как эндоморфизм

Рассмотрим функцию

$f(x)=x+1$

с доменом [-1,1]. Диапазон функции — [0,2]. Таким образом, f не является эндоморфизмом.

Ограниченность

Рассмотрим функцию

$f(x)=x+1,$

которая является непрерывной функцией от $\mathbb {R}$самому себе. Поскольку он сдвигает каждую точку вправо, он не может иметь фиксированной точки. Космос $\mathbb {R}$ выпукло и замкнуто, но не ограничено.

Закрытость

Рассмотрим функцию

$f(x)={\frac {x+1}{2}},$

которая является непрерывной функцией из открытого интервала (−1,1) в себя. Поскольку x = 1 не является частью интервала, не существует фиксированной точки f(x) = x. Пространство (−1,1) выпукло и ограничено, но не замкнуто. С другой стороны, функция f имеет неподвижную точку на отрезке [−1,1], а именно f (1) = 1.

Выпуклость

Выпуклость не является строго необходимой для теоремы Брауэра о неподвижной точке. Поскольку задействованные свойства (непрерывность, неподвижная точка) инвариантны относительно гомеоморфизмов , теорема Брауэра о неподвижной точке эквивалентна формам, в которых область определения должна быть замкнутым единичным шаром. $D^{n}$. По той же причине оно справедливо для любого множества, гомеоморфного замкнутому шару (а значит, также замкнутого , ограниченного, связного , без дырок и т. д.).

Следующий пример показывает, что теорема Брауэра о неподвижной точке не работает для областей с дырками. Рассмотрим функцию $f(x)=-x$, которая является непрерывной функцией от единичного круга до самого себя. Поскольку -x≠x справедливо для любой точки единичной окружности, f не имеет неподвижной точки. Аналогичный пример работает для n -мерной сферы (или любой симметричной области, не содержащей начало координат). Единичный круг замкнут и ограничен, но в нем есть дырка (поэтому он не выпуклый). Функция f имеет фиксированную точку для единичного круга, поскольку она переводит начало координат в себя.

Формальное обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке для областей «без дырок» можно вывести из теоремы Лефшеца о неподвижной точке .

Примечания

Непрерывная функция в этой теореме не обязана быть биективной или сюръективной .

Иллюстрации

У этой теоремы есть несколько иллюстраций из «реального мира». Вот некоторые примеры.

1. Возьмите два листа миллиметровки одинакового размера с нанесенными на них системами координат, положите один плашмя на стол, скомкайте (не разрывая и не разрывая) другой и положите его любым способом поверх первого так, чтобы скомканный бумага не выходит за пределы плоского листа. Тогда будет по крайней мере одна точка смятого листа, лежащая непосредственно над соответствующей точкой (т.е. точкой с теми же координатами) плоского листа. Это следствие случая n = 2 теоремы Брауэра, примененной к непрерывному отображению, которое присваивает координатам каждой точки смятого листа координаты точки плоского листа, находящейся непосредственно под ним.
2. Возьмите обычную карту страны и предположим, что эта карта лежит на столе внутри этой страны. На карте всегда будет точка «Вы здесь», обозначающая ту же самую точку в стране.
3. В трех измерениях следствием теоремы Брауэра о фиксированной точке является то, что независимо от того, сколько вы размешиваете в стакане вкусный коктейль (или думаете о молочном коктейле), когда жидкость остановится, какая-то точка жидкости закончится. вверх точно в том же месте стакана, что и до того, как вы предприняли какое-либо действие, предполагая, что конечное положение каждой точки является непрерывной функцией ее исходного положения, что жидкость после перемешивания содержится в пространстве, первоначально занимаемом ею, и что стекло (и форма перемешиваемой поверхности) сохраняют выпуклый объем. Заказ коктейля встряхиванием, а не перемешиванием нарушает условие выпуклости («встряхивание» определяется как динамическая серия невыпуклых инерционных состояний удерживания в свободном свободном пространстве под крышкой). В этом случае теорема не будет применяться, и, таким образом, все точки расположения жидкости потенциально будут смещены из исходного состояния.

Интуитивный подход

приписываемые

Предполагается, что эта теорема возникла в результате наблюдения Брауэра за чашкой изысканного кофе. Если помешать, чтобы растворить кусок сахара, окажется, что всегда есть точка, неподвижная. Он пришел к выводу, что в любой момент на поверхности есть точка, которая не движется. Неподвижная точка – это не обязательно точка, которая кажется неподвижной, поскольку центр турбулентности немного перемещается. Результат не является интуитивным, поскольку исходная фиксированная точка может стать подвижной при появлении другой фиксированной точки.

Говорят, что Брауэр добавил: «Я могу сформулировать этот великолепный результат по-другому: я беру горизонтальный лист и другой такой же лист, который сминаю, расплющиваю и кладу на другой. Тогда точка скомканного листа оказывается в том же месте, что и на другом листе». Брауэр «расправляет» свой лист, как утюгом, не убирая складок и складок. В отличие от примера с кофейной чашкой, пример мятой бумаги также демонстрирует, что может существовать более одной фиксированной точки. Это отличает результат Брауэра от других теорем о неподвижной точке, таких как Стефана Банаха теоремы , которые гарантируют единственность.

Одномерный случай

В одном измерении результат интуитивно понятен и его легко доказать. Непрерывная функция f определена на замкнутом интервале [ a , b ] и принимает значения в том же интервале. Сказать, что эта функция имеет фиксированную точку, равносильно утверждению, что ее график (темно-зеленый на рисунке справа) пересекает график функции, определенной на том же интервале [ a , b ], который отображает x в x (светло-зеленый).

Интуитивно понятно, что любая непрерывная линия от левого края квадрата к правому краю обязательно должна пересекать зеленую диагональ. Чтобы доказать это, рассмотрим функцию g , которая отображает x в f ( x ) − x . Это ≥ 0 на a и ≤ 0 на b . По теореме о промежуточном значении g имеет нуль в [ a , b ]; этот ноль является фиксированной точкой.

Говорят, что Брауэр выразил это следующим образом: «Вместо того, чтобы рассматривать поверхность, мы докажем теорему о куске струны. Начнем со струны в развернутом состоянии, а затем свернем ее. Давайте распрямим свернутую струну. И снова точка струны не изменила своего положения относительно исходного положения на развернутой струне».

История

Теорема Брауэра о неподвижной точке была одним из ранних достижений алгебраической топологии и является основой более общих теорем о неподвижной точке , которые важны в функциональном анализе . Случай n = 3 впервые был доказан Пирсом Болем в 1904 году (опубликовано в Journal für die reine und angewandte Mathematik ). Позднее это было доказано Л. Ж. Брауэром в 1909 году. Жак Адамар доказал общий случай в 1910 году: и Брауэр в том же году нашел другое доказательство. Поскольку все эти ранние доказательства были неконструктивными косвенными доказательствами , они противоречили интуиционистским идеалам Брауэра. Хотя существование неподвижной точки не является конструктивным в смысле конструктивизма в математике , теперь известны методы аппроксимации неподвижных точек, гарантированные теоремой Брауэра.

До открытия

Для течений в неограниченной области или в области с «дыркой» теорема неприменима.

Теорема применима к любой области в форме диска, где она гарантирует существование неподвижной точки.

В конце XIX века старая проблема Вопрос стабильности Солнечной системы снова оказался в центре внимания математического сообщества. Ее решение потребовало новых методов. Как заметил Анри Пуанкаре , работавший над задачей трёх тел , нет никакой надежды найти точное решение: «Нет ничего более подходящего, чтобы дать нам представление о сложности задачи трёх тел, и вообще всех задач динамики, где нет равномерного интеграла и ряды Болина расходятся». Он также отметил, что поиск приближенного решения не более эффективен: «чем больше мы стремимся получить точные приближения, тем больше результат будет расходиться в сторону возрастающей неточности».

Он изучал вопрос, аналогичный вопросу о движении поверхности в чашке кофе. Что вообще можно сказать о траекториях на поверхности, оживляемой постоянным потоком ? Пуанкаре обнаружил, что ответ можно найти в том, что мы теперь называем топологическими свойствами области, содержащей траекторию. Если эта область компактна , т.е. одновременно замкнута и ограничена , то траектория либо становится стационарной, либо приближается к предельному циклу . Пуанкаре пошел еще дальше; если площадь такого же типа, как диск, как в случае с чашкой кофе, обязательно должна быть фиксированная точка. Эта неподвижная точка инвариантна относительно всех функций, которые связывают каждой точке исходной поверхности ее положение после короткого интервала времени t . Если область представляет собой круглую полосу или она не замкнута, тогда это не обязательно так.

Чтобы лучше понять дифференциальные уравнения, родился новый раздел математики. Пуанкаре назвал это анализом места . Французская универсальная энциклопедия определяет ее как ветвь, которая «рассматривает свойства объекта, которые остаются неизменными, если он деформируется каким-либо непрерывным образом, без разрывов». В 1886 году Пуанкаре доказал результат, эквивалентный теореме Брауэра о неподвижной точке: хотя связь с предметом этой статьи еще не была очевидна. Чуть позже он разработал один из фундаментальных инструментов для лучшего понимания ситуации анализа, известный теперь как фундаментальная группа или иногда группа Пуанкаре. Этот метод можно использовать для очень компактного доказательства обсуждаемой теоремы.

Метод Пуанкаре был аналогичен методу Эмиля Пикара , современного математика, обобщившего теорему Коши-Липшица . Подход Пикара основан на результате, который позже будет формализован другой теоремой о неподвижной точке , названной в честь Банаха . Вместо топологических свойств области эта теорема использует тот факт, что рассматриваемая функция является сжатием .

Первые доказательства

Жак Адамар помог Брауэру формализовать свои идеи.

На заре XX века интерес к анализу ситуации не остался незамеченным. Однако необходимость теоремы, эквивалентной обсуждаемой в этой статье, еще не была очевидной. Пирс Боль , латышский математик, применил топологические методы для изучения дифференциальных уравнений. В 1904 году он доказал трёхмерный случай нашей теоремы: но его публикация не была замечена.

Наконец, именно Брауэр дал этой теореме первый благородный патент. Его цели отличались от целей Пуанкаре. Этот математик был вдохновлен основами математики, особенно математической логикой и топологией . Его первоначальный интерес заключался в попытке решить пятую проблему Гильберта . В 1909 году во время путешествия в Париж он встретил Анри Пуанкаре , Жака Адамара и Эмиля Бореля . Последовавшие за этим дискуссии убедили Брауэра в важности лучшего понимания евклидовых пространств и положили начало плодотворному обмену письмами с Адамаром. Следующие четыре года он сосредоточился на доказательстве некоторых великих теорем по этому вопросу. В 1912 году он доказал теорему о волосатом шаре для двумерной сферы, а также тот факт, что каждое непрерывное отображение двумерного шара в себя имеет неподвижную точку. Эти два результата сами по себе не были чем-то новым. Как заметил Адамар, Пуанкаре показал теорему, эквивалентную теореме о волосатом шаре. Революционным аспектом подхода Брауэра было систематическое использование недавно разработанных инструментов, таких как гомотопия , лежащая в основе концепции группы Пуанкаре. В следующем году Адамар обобщил обсуждаемую теорему на произвольную конечную размерность, но использовал другие методы. Ганс Фройденталь так комментирует соответствующие роли: «По сравнению с революционными методами Брауэра методы Адамара были очень традиционными, но участие Адамара в рождении идей Брауэра больше напоминает участие акушерки, чем простого зрителя».

Подход Брауэра принес свои плоды, и в 1910 году он также нашел доказательство, справедливое для любого конечного измерения: а также другие ключевые теоремы, такие как инвариантность размерности. В контексте этой работы Брауэр также обобщил теорему Жордана о кривой на произвольную размерность и установил свойства, связанные со степенью непрерывного отображения . Этот раздел математики, первоначально задуманный Пуанкаре и развитый Брауэром, изменил свое название. В 1930-х годах местом анализа стала алгебраическая топология .

Прием

Джон Нэш использовал теорему теории игр , чтобы доказать существование равновесного профиля стратегии.

Теорема доказала свою ценность во многих отношениях. В течение 20-го века были разработаны многочисленные теоремы о неподвижной точке и даже раздел математики, называемый теорией неподвижной точки . Теорема Брауэра, вероятно, самая важная. Это также одна из основополагающих теорем топологии топологических многообразий и часто используется для доказательства других важных результатов, таких как теорема Жордана о кривой .

Помимо теорем о неподвижной точке для более или менее сжимающих функций, существует множество других, которые прямо или косвенно возникли из обсуждаемого результата. Непрерывное отображение замкнутого шара евклидова пространства на его границу не может быть тождественным на границе. Аналогично, теорема Борсука – Улама гласит, что непрерывное отображение n -мерной сферы в R ^н имеет пару противоположных точек, сопоставленных с одной и той же точкой. В конечномерном случае теорема Лефшеца о неподвижной точке с 1926 года предоставила метод подсчета неподвижных точек. В 1930 году теорема Брауэра о неподвижной точке была обобщена на банаховые пространства . Это обобщение известно как теорема Шаудера о неподвижной точке — результат, обобщенный в дальнейшем С. Какутани на многозначные функции . Теорему и ее варианты можно встретить и вне топологии. Его можно использовать для доказательства теоремы Хартмана-Гробмана , которая описывает качественное поведение некоторых дифференциальных уравнений вблизи определенных состояний равновесия. Аналогичным образом теорема Брауэра используется для доказательства Центральной предельной теоремы . Теорему можно также найти в доказательствах существования решений некоторых уравнений в частных производных .

Затронуты и другие области. В теории игр использовал эту теорему , Джон Нэш чтобы доказать, что в игре «Гекс» существует выигрышная стратегия для белых. В экономике П. Бич объясняет, что некоторые обобщения теоремы показывают, что ее использование полезно для некоторых классических задач теории игр и в целом для равновесий ( закон Хотеллинга ), финансового равновесия и неполных рынков.

Известность Брауэра обусловлена ​​не только его топологическими работами. Доказательства его великих топологических теорем неконструктивны . и неудовлетворенность Брауэра этим отчасти побудила его сформулировать идею конструктивности . Он стал создателем и ревностным защитником способа формализации математики, известного как интуиционизм , который в то время выступал против теории множеств . Брауэр отрекся от своего первоначального доказательства теоремы о неподвижной точке.

Схема доказательства

Доказательство с использованием степени

Первоначальное доказательство Брауэра 1911 года основывалось на понятии степени непрерывного отображения , вытекающем из идей дифференциальной топологии . Несколько современных описаний доказательства можно найти в литературе, в частности, Милнор (1965) .

Позволять $K={\overline {B(0)}}$ обозначим замкнутый единичный шар в $\mathbb {R} ^{n}$сосредоточено в начале координат. Предположим для простоты, что $f:K\to K$непрерывно дифференцируема. Обычное значение ​ $f$ это точка $p\in B(0)$ такой, якобиан что $f$ неособа в каждой точке прообраза $p$. В частности, по теореме об обратной функции каждая точка прообраза $f$ заключается в $B(0)$ (интерьер $K$). Степень $f$ по обычной цене $p\in B(0)$ определяется как сумма знаков определителя Якобиана $f$ над прообразами $p$ под $f$:

$\operatorname {deg} _{p}(f)=\sum _{x\in f^{-1}(p)}\operatorname {sign} \,\det(df_{x}).$

Грубо говоря, степень — это количество «листов» прообраза f, лежащих на небольшом открытом множестве вокруг p , причем листы считаются противоположно, если они противоположно ориентированы. Таким образом, это обобщение числа витков на более высокие измерения.

Степень удовлетворяет свойству гомотопической инвариантности : пусть $f$ и $g$ — две непрерывно дифференцируемые функции, и $H_{t}(x)=tf+(1-t)g$ для $0\leq t\leq 1$. Предположим, что точка $p$ является регулярным значением $H_{t}$для всех т . Затем $\deg _{p}f=\deg _{p}g$.

Если нет фиксированной точки границы $K$, то функция

$g(x)={\frac {x-f(x)}{\sup _{y\in K}\left|y-f(y)\right|}}$

четко определен, и

$H(t,x)={\frac {x-tf(x)}{\sup _{y\in K}\left|y-tf(y)\right|}}$

определяет гомотопию тождественной функции к ней. Функция идентичности имеет степень один в каждой точке. В частности, тождественная функция имеет степень один в начале координат, поэтому $g$также имеет степень один в начале координат. Как следствие, прообраз $g^{-1}(0)$не пуст. Элементы $g^{-1}(0)$ являются в точности неподвижными точками исходной функции f .

Это требует некоторой работы, чтобы сделать его полностью общим. Определение степени необходимо распространить на сингулярные значения f , а затем на непрерывные функции. Более современное появление теории гомологии упрощает построение степени и поэтому стало стандартным доказательством в литературе.

Доказательство с использованием теоремы

Теорема о волосатом шаре утверждает, что на единичной сфере S в нечетномерном евклидовом пространстве не существует никуда не исчезающего непрерывного касательного векторного поля w на S . (Условие касания означает, что w ( x ) ⋅ x = 0 для каждого единичного вектора x .) Иногда теорему выражают утверждением, что «на земном шаре всегда есть место, где нет ветра». Элементарное доказательство теоремы о волосатом шаре можно найти у Милнора (1978) .

Действительно, предположим сначала, что w дифференцируемо непрерывно . Путем масштабирования можно предположить, что — непрерывно дифференцируемый единичный касательный вектор на S. w Ее можно радиально расширить до небольшой сферической A из S. оболочки Для достаточно малого t рутинное вычисление показывает, что отображение f _t ( x ) = x + t w ( x ) является сжимающим отображением на A и что объем его образа является полиномом от t . С другой стороны, будучи сжимающим отображением, f _t должно ограничиваться гомеоморфизмом S на (1 + t ² ) ^½ S и A на (1 + t ² ) ^½ А. ​ Это дает противоречие, поскольку, если размерность n евклидова пространства нечетна, (1 + t ² ) ^{н /2} не является полиномом.

Если w - только единичный касательный вектор к S , по аппроксимационной теореме Вейерштрасса он может быть равномерно аппроксимирован полиномиальным отображением u A непрерывный в евклидово пространство. Ортогональная проекция на касательное пространство определяется выражением v ( x ) знак равно u ( x ) - u ( x ) ⋅ x . Таким образом, v полиномиально и нигде не обращается в нуль на A ; по построению v /|| в || является гладким единичным касательным векторным полем на S. Противоречие.

Непрерывная версия теоремы о волосатом шаре теперь может быть использована для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке. Сначала предположим, что n четно. Если бы существовало непрерывное самоотображение f без неподвижных точек замкнутого единичного шара B n -мерного евклидова пространства V , положим

${\mathbf {w} }({\mathbf {x} })=(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {f} }({\mathbf {x} }))\,{\mathbf {x} }-(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {x} })\,{\mathbf {f} }({\mathbf {x} }).$

Поскольку f не имеет неподвижных точек, отсюда следует, что для внутри B x вектор отличен w ( x ) от нуля; и для x в S скалярное произведение
Икс ⋅ ш ( Икс ) знак равно 1 – Икс ⋅ ж ( Икс ) строго положительно. Из исходного n -мерного евклидова пространства V построить новое вспомогательное
( n + 1 )-мерное пространство W = V x R с координатами y = ( x , t ). Набор

${\mathbf {X} }({\mathbf {x} },t)=(-t\,{\mathbf {w} }({\mathbf {x} }),{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })).$

По построению X — непрерывное векторное поле на единичной сфере W , удовлетворяющее условию касания y ⋅ X ( y ) = 0. Более того, X ( y ) нигде не обращается в нуль (поскольку, если x имеет норму 1, то x ⋅ w ( x ) не равно нулю; а если x имеет норму строго меньше 1, то t и w ( x ) оба отличны от нуля). Это противоречие доказывает теорему о неподвижной точке, когда n четно. Для n нечетных можно применить теорему о неподвижной точке к замкнутому единичному шару B в n + 1 измерениях и отображению F ( x , y ) = ( f ( x ),0). Преимущество этого доказательства в том, что оно использует только элементарные методы; более общие результаты, такие как теорема Борсука-Улама, требуют инструментов алгебраической топологии .

Доказательство с использованием

В доказательстве используется наблюдение о том, граница -диска n что D ^н это S ^{п -1} , ( n − 1) -сфера .

Иллюстрация втягивания F

Предположим, от противного, что непрерывная функция f : D ^н → Д ^н имеет не фиксированной точки. Это означает, что для каждой точки x в D ^н , точки x и f ( x ) различны. Поскольку они различны, для каждой точки x в D ^н , мы можем построить единственный луч от f ( x ) до x и следовать по нему до тех пор, пока он не пересечет границу S ^{п -1} (см. иллюстрацию). Называя эту точку пересечения F ( x ), мы определяем функцию F : D ^н → С ^{п -1} отправка каждой точки диска в соответствующую точку пересечения на границе. В частном случае, когда сам x находится на границе, точка пересечения F ( x ) должна быть x .

Следовательно, F — это особый тип непрерывной функции, известный как ретракция : каждая точка кодомена ( в данном случае S ^{п -1} ) является неподвижной точкой F .

Интуитивно кажется маловероятным, что мог произойти ретракция D. ^н на S ^{п -1} , а в случае n = 1 невозможность более принципиальна, поскольку S ⁰ (т.е. концы отрезка D ¹ ) даже не подключен. Случай n = 2 менее очевиден, но его можно доказать, используя основные аргументы, включающие фундаментальные группы соответствующих пространств: ретракция индуцирует сюръективный групповой гомоморфизм из фундаментальной группы D ² к тому из С ¹ , но последняя группа изоморфна Z , а первая группа тривиальна, поэтому это невозможно. Случай n = 2 также может быть доказан от противного на основе теоремы о ненулевых векторных полях .

Однако при n > 2 доказать невозможность ретракции сложнее. Один из способов — использовать группы гомологии : гомологии H _{n −1} ( D ^н ) тривиально, а H _{n −1} ( S ^{п -1} ) является бесконечной циклической . Это показывает, что ретракция невозможна, потому что ретракция снова индуцирует гомоморфизм инъективной группы из последней группы в первую.

Невозможность ретракции можно показать также с помощью когомологий де Рама открытых подмножеств евклидова пространства E ^н . При n ≥ 2 когомологии де Рама U = E ^н – (0) одномерен в степени 0 и n - 1 и обращается в нуль в противном случае. Если бы ретракция существовала, то U должен был бы быть сжимаемым, а его когомологии де Рама в степени n — 1 должны были бы исчезнуть, противоречие.

Доказательство с

Как и в доказательстве теоремы Брауэра о неподвижной точке для непрерывных отображений с использованием гомологии, оно сводится к доказательству отсутствия непрерывного ретракции F из шара B на его границу ∂ B . В этом случае можно предположить, что F является гладким, поскольку его можно аппроксимировать с помощью аппроксимационной теоремы Вейерштрасса или путем свертки с неотрицательными гладкими функциями выпуклости достаточно малой и целой опоры (т.е. смягчающими ). Если ω — форма объема на границе то по теореме Стокса ,

$0<\int _{\partial B}\omega =\int _{\partial B}F^{*}(\omega )=\int _{B}dF^{*}(\omega )=\int _{B}F^{*}(d\omega )=\int _{B}F^{*}(0)=0,$

дающий противоречие.

В более общем смысле это показывает, что не существует гладкой ретракции из любого непустого гладкого ориентированного компактного многообразия M на его границу. Доказательство с использованием теоремы Стокса тесно связано с доказательством с использованием гомологии, поскольку форма ω порождает группу когомологий де Рама H ^{п -1} (∂ M изоморфна группе гомологий H _{n -1} (∂ M ) ), которая по теореме де Рама .

Комбинаторное доказательство

BFPT можно доказать с помощью леммы Спернера . Приведем теперь схему доказательства для частного случая, когда f — функция стандартного n - симплекса : $\Delta ^{n},$ себе, где

$\Delta ^{n}=\left\{P\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1{\text{ and }}P_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.$

Для каждой точки $P\in \Delta ^{n},$ также $f(P)\in \Delta ^{n}.$ Следовательно, сумма их координат равна:

$\sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1=\sum _{i=0}^{n}{f(P)_{i}}$

Следовательно, по принципу «ячейки» для каждого $P\in \Delta ^{n},$ должен быть индекс $j\in \{0,\ldots ,n\}$ такой, что $j$координата $P$ больше или равно значению $j$координата его изображения под f :

$P_{j}\geq f(P)_{j}.$

Более того, если $P$ лежит на k -мерной подграни $\Delta ^{n},$ то по тому же аргументу индекс $j$ может быть выбран из k + 1 координат, которые не равны нулю на этой подграни.

Теперь мы воспользуемся этим фактом для построения раскраски Спернера. Для каждой триангуляции $\Delta ^{n},$ цвет каждой вершины $P$ это индекс $j$ такой, что $f(P)_{j}\leq P_{j}.$

По построению это раскраска Спернера. Следовательно, по лемме Спернера существует n -мерный симплекс, вершины которого раскрашены всем набором из n + 1 доступных цветов.

Поскольку f непрерывен, этот симплекс можно сделать сколь угодно малым, выбрав сколь угодно точную триангуляцию. Следовательно, должна быть точка $P$ которое удовлетворяет условию разметки по всем координатам: $f(P)_{j}\leq P_{j}$ для всех $j.$

Поскольку сумма координат $P$ и $f(P)$должны быть равны, все эти неравенства на самом деле должны быть равенствами. Но это означает, что:

$f(P)=P.$

То есть, $P$ является фиксированной точкой $f.$

Доказательство Хирша

Существует также быстрое доказательство Морриса Хирша , основанное на невозможности дифференцируемой ретракции. Косвенное доказательство начинается с замечания о том, что отображение f можно аппроксимировать гладким отображением, сохраняющим свойство не фиксировать точку; это можно сделать с помощью аппроксимационной теоремы Вейерштрасса или путем свертки с гладкими функциями выпуклости . Затем определяется ретракция, как указано выше, которая теперь должна быть дифференцируемой. Такая ретракция должна иметь несингулярное значение по теореме Сарда , которая также несингулярна для ограничения на границу (что и есть тождество). Таким образом, прообразом будет 1-многообразие с краем. Граница должна была бы содержать как минимум две конечные точки, обе из которых должны были бы лежать на границе исходного шара, что невозможно при ретракции.

Р. Брюс Келлог, Тянь-Йен Ли и Джеймс А. Йорк превратили доказательство Хирша в вычислимое доказательство, заметив, что ретракт фактически определен везде, кроме фиксированных точек. Почти для любой точки q на границе (при условии, что это не фиксированная точка) существует одно многообразие с границей, упомянутой выше, и единственная возможность состоит в том, что оно ведет от q к фиксированной точке. до фиксированной точки — простая численная задача, Проследить такой путь от q поэтому метод по существу вычислим. дал концептуально аналогичную версию гомотопического доказательства, основанную на следовании по пути, которая распространяется на широкий спектр связанных проблем.

Доказательство с использованием ориентированной области

Вариант предыдущего доказательства не использует теорему Сарда и заключается в следующем. Если $r\colon B\to \partial B$ — плавный ретракция, рассматривается плавная деформация $g^{t}(x):=tr(x)+(1-t)x,$ и плавная функция

$\varphi (t):=\int _{B}\det Dg^{t}(x)\,dx.$

Дифференцируя под знаком интеграла, нетрудно проверить, что φ ′ ( t ) = 0 для всех t , поэтому φ — постоянная функция, что противоречит, поскольку φ (0) — n -мерный объём шара, в то время как φ (1) равна нулю. Геометрическая идея состоит в том, что φ ( t ) — это ориентированная площадь g ^т ( B ) (т. е. мера Лебега образа шара через g ^т , с учетом кратности и ориентации) и должна оставаться постоянной (как это очень ясно в одномерном случае). С другой стороны, когда параметр t переходит от 0 к 1, отображение g ^т непрерывно преобразуется от тождественного отображения шара к ретракции r , что является противоречием, поскольку ориентированная область тождества совпадает с объемом шара, а ориентированная площадь r обязательно равна 0, так как ее изображение является границей мяча, набор нулевой меры.

Доказательство с помощью игры Hex

Совсем другое доказательство, данное Дэвидом Гейлом, основано на игре Hex . Основная теорема, касающаяся Hex, впервые доказанная Джоном Нэшем, заключается в том, что ни одна игра в Hex не может закончиться вничью; у первого игрока всегда есть выигрышная стратегия (хотя эта теорема неконструктивна, а явные стратегии не полностью разработаны для досок размером 10 x 10 или больше). Это оказывается эквивалентным теореме Брауэра о неподвижной точке для размерности 2. Рассматривая n -мерные версии Hex, можно в общем доказать, что теорема Брауэра эквивалентна теореме об определенности для Hex.

Доказательство с использованием теоремы Лефшеца о

Теорема Лефшеца о неподвижной точке гласит, что если непрерывное отображение f конечного симплициального комплекса B в себя имеет только изолированные неподвижные точки, то количество неподвижных точек, подсчитанных с кратностями (которые могут быть отрицательными), равно числу Лефшеца

$\displaystyle \sum _{n}(-1)^{n}\operatorname {Tr} (f|H_{n}(B))$

и, в частности, если число Лефшеца не равно нулю, то f должна иметь неподвижную точку. Если B — шар (или, в более общем смысле, сжимаемый), то число Лефшеца равно единице, поскольку единственной ненулевой группой симплициальных гомологий является: $H_{0}(B)$ и f действует как тождество в этой группе, поэтому f имеет фиксированную точку.

Доказательство в слабой логической системе

В обратной математике теорема Брауэра может быть доказана в системе WKL ₀ и, наоборот, в базовой системе RCA _0. Теорема Брауэра для квадрата подразумевает слабую лемму Кенига , поэтому это дает точное описание силы теоремы Брауэра.

Обобщения

Теорема Брауэра о неподвижной точке образует отправную точку ряда более общих теорем о неподвижной точке .

Прямое обобщение на бесконечные измерения, т.е. использование единичного шара произвольного гильбертова пространства вместо евклидова пространства, неверно. Основная проблема здесь в том, что единичные шары бесконечномерных гильбертовых пространств некомпактны . Например, в гильбертовом пространстве ℓ ² вещественных (или комплексных) последовательностей, суммируемых с квадратом, рассмотрим отображение f : ℓ ² → ℓ ² который отправляет последовательность ( x _n ) из замкнутого единичного шара ℓ ² к последовательности ( y _n ), определенной формулой

$y_{0}={\sqrt {1-\|x\|_{2}^{2}}}\quad {\text{ and}}\quad y_{n}=x_{n-1}{\text{ for }}n\geq 1.$

Нетрудно проверить, что это отображение непрерывно, имеет образ в единичной сфере ℓ ² , но не имеет фиксированной точки.

Таким образом, все обобщения теоремы Брауэра о неподвижной точке на бесконечномерные пространства включают в себя какое-то предположение компактности, а также часто предположение о выпуклости . См. Теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах для обсуждения этих теорем.

Существует также конечномерное обобщение на более широкий класс пространств: если $X$ является произведением конечного числа цепных континуумов, то каждая непрерывная функция $f:X\rightarrow X$ имеет фиксированную точку, где цепной континуум — это (обычно, но в данном случае не обязательно метрика ) компактное хаусдорфово пространство которого , каждое открытое покрытие имеет конечное открытое уточнение. $\{U_{1},\ldots ,U_{m}\}$, такой, что $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$ если и только если $|i-j|\leq 1$. Примеры цепных континуумов включают компактные связные линейно упорядоченные пространства и, в частности, замкнутые интервалы действительных чисел.

Теорема Какутани о неподвижной точке обобщает теорему Брауэра о неподвижной точке в другом направлении: она остается в R ^н , но рассматривает полунепрерывные сверху многозначные функции (функции, которые присваивают каждой точке множества подмножество множества). Это также требует компактности и выпуклости множества.

Теорема Лефшеца о неподвижной точке применяется к (почти) произвольным компактным топологическим пространствам и дает условие в терминах сингулярной гомологии , которое гарантирует существование неподвижных точек; это условие тривиально выполняется для любого отображения в случае D ^н .

результаты

Существует несколько теорем о неподвижной точке, которые представлены в трех эквивалентных вариантах: варианте алгебраической топологии , комбинаторном варианте и варианте покрытия множеств. Каждый вариант можно доказать отдельно, используя совершенно разные аргументы, но каждый вариант можно свести и к другим вариантам в своем ряду. Кроме того, каждый результат верхнюю строку можно вывести из нижней в том же столбце.

Алгебраическая топология	Комбинаторика	Комплект покрытия
Теорема Брауэра о неподвижной точке	тема Спернера	Лемма Кнастера – Куратовского – Мазуркевича.
Теорема Борсука – Улама	Лемма Такера	Теорема Люстерника – Шнирельмана

См. также

• Банахова теорема о неподвижной точке
• Вычисление с фиксированной точкой
• Бесконечные композиции аналитических функций
• равновесие по Нэшу
• Теорема Пуанкаре – Миранды - эквивалент теоремы Брауэра о неподвижной точке.
• Топологическая комбинаторика

Ссылки

• Бутби, Уильям М. (1971). «О двух классических теоремах алгебраической топологии». амер. Математика. Ежемесячно . 78 (3): 237–249. дои : 10.2307/2317520 . JSTOR   2317520 . МР   0283792 .
• Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию . Чистая и прикладная математика. Том. 120 (Второе изд.). Академическая пресса. ISBN  0-12-116052-1 . МР   0861409 .
• Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 139. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-97926-3 . МР   1224675 .
• Чоу, Шуй Ни; Маллет-Парет, Джон; Йорк, Джеймс А. (1978). «Нахождение нулей отображений: гомотопические методы, конструктивные с вероятностью единица» . Математика вычислений . 32 (143): 887–899. дои : 10.1090/S0025-5718-1978-0492046-9 . МР   0492046 .
• Дьедонне, Жан (1982). «8. Теоремы Брауэра». Элементы анализа . Научные тетради (на французском языке). Полет. IX. Париж: Готье-Виллар. стр. 44–47. ISBN  2-04-011499-8 . МР   0658305 .
• Дьедонне, Жан (1989). История алгебраической и дифференциальной топологии, 1900–1960 гг . Биркхойзер . стр. 166–203. ISBN  0-8176-3388-Х . МР   0995842 .
• Гейл, Д. (1979). «Игра в шестнадцатеричные числа и теорема Брауэра о фиксированной точке». Американский математический ежемесячник . 86 (10): 818–827. дои : 10.2307/2320146 . JSTOR   2320146 .
• Хирш, Моррис В. (1988). Дифференциальная топология . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90148-0 . (доказательство Хирша, использующее отсутствие дифференцируемой ретракции, см. на стр. 72–73)
• Хилтон, Питер Дж.; Уайли, Шон (1960). Теория гомологии: введение в алгебраическую топологию . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0521094224 . МР   0115161 .
• Истрацеску, Василе И. (1981). Теория фиксированной точки . Математика и ее приложения. Том. 7. Дордрехт – Бостон, Массачусетс: Д. Рейдель. ISBN  978-90-277-1224-0 . МР   0620639 .
• Карамардян С., изд. (1977). Фиксированные точки: алгоритмы и приложения . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-398050-2 .
• Келлог, Р. Брюс; Ли, Тянь-Иен; Йорк, Джеймс А. (1976). «Конструктивное доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке и результаты вычислений». SIAM Journal по численному анализу . 13 (4): 473–483. Бибкод : 1976SJNA...13..473K . дои : 10.1137/0713041 . МР   0416010 .
• Кульпа, Владислав (1989). «Интегральная теорема и ее приложения к теоремам совпадения» . Acta Universitatis Carolinae. Математика и физика . 30 (2): 83–90.
• Леони, Джованни (2017). Первый курс в пространствах Соболева: Второе издание . Аспирантура по математике . 181 . Американское математическое общество. стр. 734. ISBN   978-1-4704-2921-8
• Мэдсен, Иб; Торнехаве, Йорген (1997). От исчисления к когомологиям: когомологии де Рама и характеристические классы . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-58059-5 . МР   1454127 .
• Милнор, Джон В. (1965). Топология с дифференцируемой точки зрения . Шарлоттсвилл: Университетское издательство Вирджинии . МР   0226651 .
• Милнор, Джон В. (1978). «Аналитические доказательства« теоремы о волосатом шаре »и теоремы Брауэра о неподвижной точке» (PDF) . амер. Математика. Ежемесячно . 85 (7): 521–524. JSTOR   2320860 . МР   0505523 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Соболев, Владимир Иванович (2001) [1994], «Теорема Брауэра» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Спаниер, Эдвин Х. (1966). Алгебраическая топология . Нью-Йорк-Торонто-Лондон: МакГроу-Хилл.

Внешние ссылки

• Теорема Брауэра о неподвижной точке для треугольников при разрезании узла
• Теорема Брауэра. Архивировано 19 марта 2007 г. в Wayback Machine на сайте PlanetMath с приложенным доказательством.
• Реконструкция Брауэра в MathPages
• Теорема Брауэра о фиксированной точке в Math Images.