Теорема вздрагивания о неподвижной точке

Теорема Шаудера о неподвижной точке является расширением теоремы Брауэра о неподвижной точке на топологические векторные пространства , которые могут иметь бесконечную размерность. Он утверждает, что если $K$ — непустое выпуклое замкнутое подмножество Хаусдорфа . топологического векторного пространства $V$ и $f$ является непрерывным отображением $K$ в себя так, что $f(K)$ содержится в компактном подмножестве $K$, затем $f$ имеет фиксированную точку .

Следствие, называемое теоремой Шефера о неподвижной точке , особенно полезно для доказательства существования решений нелинейных уравнений в частных производных .Теорема Шефера на самом деле является частным случаем далеко идущей теоремы Лере – Шаудера, которая была ранее доказана Юлиушем Шаудером и Жаном Лере .Заявление заключается в следующем:

Позволять $f$ — непрерывное и компактное отображение банахова пространства $X$ в себя так, что множество

$\{x\in X:x=\lambda f(x){\mbox{ for some }}0\leq \lambda \leq 1\}$

ограничен. Затем $f$ имеет фиксированную точку. ( Компактное отображение в этом контексте — это такое, для которого образ каждого ограниченного множества относительно компактен .)

История

Теорема была выдвинута и доказана для частных случаев, таких как банаховы пространства, Юлиушем Шаудером в 1930 году. Его гипотеза для общего случая была опубликована в шотландской книге . В 1934 году Тихонов доказал теорему для случая, когда K — компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства. Эта версия известна как теорема Шаудера-Тихонова о неподвижной точке . Б. В. Сингбал доказал теорему для более общего случая, когда К может быть некомпактным; доказательство можно найти в приложении к книге Бонсолла (см. ссылки).

См. также

• Теоремы о неподвижной точке
• Банахова теорема о неподвижной точке
• Теорема Какутани о неподвижной точке

Ссылки

• Дж. Шаудер, Теорема о неподвижной точке в функциональных пространствах , Studia Math. 2 (1930), 171–180.
• А. Тихонов, Теорема о неподвижной точке , Mathematical Annals 111 (1935), 767–776.
• Ф. Ф. Бонсолл, Лекции по некоторым теоремам функционального анализа о неподвижной точке , Бомбей, 1962 г.
• Д. Гилбарг, Н. Трудингер , Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . ISBN   3-540-41160-7 .
• Э. Зейдлер, Нелинейный функциональный анализ и его приложения, I - Теоремы о неподвижной точке

Внешние ссылки

• «Теорема Шаудера» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Теорема Шаудера о неподвижной точке» . ПланетаМатематика .
• «Доказательство теоремы Шаудера о неподвижной точке» . ПланетаМатематика . .