Монтель пространство

В функциональном анализе и смежных областях математики пространство Монтеля , названное в честь Поля Монтеля , представляет собой любое топологическое векторное пространство (TVS), в котором выполняется аналог теоремы Монтеля . В частности, пространство Монтеля — это бочкообразное топологическое векторное пространство, в котором каждое и ограниченное подмножество компактно замкнутое .

Определение

Топологическое векторное пространство (ТВП) имеет Свойство Гейне–Бореля, каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно если . А Пространство Монтеля представляет собой бочкообразное топологическое векторное пространство со свойством Гейне – Бореля. Эквивалентно, это инфраствольное полумонтелевское пространство, в котором хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство называется полумонтельское пространство или идеально, если каждое ограниченное подмножество относительно компактно . Подмножество ТВС компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено .А Пространство Фреше–Монтеля — это пространство Фреше , которое также является пространством Монтеля.

Характеристики

Сепарабельное слабо пространство Фреше является пространством Монтеля тогда и только тогда, когда каждая сходящаяся последовательность в ее непрерывном двойственном пространстве сходится сильно .

Пространство Фреше $X$ является пространством Монтеля тогда и только тогда, когда каждая ограниченная непрерывная функция $X\to c_{0}$ отправляет замкнутые ограниченные абсолютно выпуклые подмножества $X$ относительно компактным подмножествам $c_{0}.$ Более того, если $C^{b}(X)$ обозначает векторное пространство всех ограниченных непрерывных функций в пространстве Фреше $X,$ затем $X$ является Монтелем тогда и только тогда, когда каждая последовательность из $C^{b}(X)$ сходящаяся к нулю в компактно-открытой топологии, также сходится равномерно к нулю на всех замкнутых ограниченных абсолютно выпуклых подмножествах $X.$

Достаточные условия

Полу-Монтельские помещения

Замкнутое векторное подпространство полумонтелявского пространства снова является полумонтелевским пространством. Локально выпуклая прямая сумма любого семейства полумонтелявских пространств снова является полумонтелевским пространством. Обратный предел обратной системы, состоящей из полумонтелявских пространств, снова является полумонтелевским пространством. Декартово произведение любого семейства полумонтелевских пространств (соответственно пространств Монтеля) снова является полумонтелевским пространством (соответственно пространством Монтеля).

Пространства Монтеля

Сильным двойником пространства Montel является Montel. Квазиполное с бочонком — ядерное пространство это пространство Монтеля. Каждое произведение и локально выпуклая прямая сумма семейства пространств Монтеля является пространством Монтеля. Строгий индуктивный предел последовательности пространств Монтеля является пространством Монтеля. Напротив, замкнутые подпространства и разделенные факторы пространств Монтеля, как правило, даже не рефлексивны . Каждое пространство Фреше- Шварца является пространством Монтеля.

Характеристики

Пространства Монтеля паракомпактны и нормальны . Полу-Монтеля пространства квазиполные и полурефлексивные, а пространства Монтеля рефлексивны .

Никакое бесконечномерное банахово пространство не является пространством Монтеля. Это связано с тем, что банахово пространство не может удовлетворять свойству Гейне – Бореля : замкнутый единичный шар замкнут и ограничен, но не компактен. Пространства Фреше -Монтеля сепарабельны и имеют борнологическое сильное двойственное пространство. Метризуемое монтелевское пространство сепарабельно .

Пространства Фреше–Монтеля являются выделенными пространствами .

Примеры

В классическом комплексном анализе теорема Монтеля утверждает, что этим свойством обладает пространство голоморфных функций на открытом связном подмножестве комплексных чисел .

Многие пространства Монтеля, представляющие современный интерес, возникают как пространства основных функций для пространства распределений . Пространство $C^{\infty }(\Omega )$ на гладких функций открытом множестве $\Omega$ в $\mathbb {R} ^{n}$ является пространством Монтеля, снабженным топологией, индуцированной семейством полунорм $$\|f\|_{K,n}=\sup _{|\alpha |\leq n}\sup _{x\in K}\left|\partial ^{\alpha }f(x)\right|$$для $n=1,2,\ldots$ и $K$ колеблется по компактным подмножествам $\Omega ,$ и $\alpha$ является мультииндексом . Аналогично пространство финитных функций в открытом множестве с финальной топологией семейства включений $\scriptstyle {C_{0}^{\infty }(K)\subset C_{0}^{\infty }(\Omega )}$ как $K$ распространяется по всем компактным подмножествам $\Omega .$ Пространство Шварца также является пространством Монтеля.

Контрпримеры

Каждое бесконечномерное нормированное пространство представляет собой бочкообразное пространство , которое не является пространством Монтеля. В частности, всякое бесконечномерное банахово пространство не является пространством Монтеля. Существуют пространства Монтеля, которые не являются сепарабельными , и существуют пространства Монтеля, которые не являются полными . Существуют пространства Монтеля, имеющие замкнутые векторные подпространства, не являющиеся пространствами Монтеля.

См. также

• Бочковое пространство - тип топологического векторного пространства.
• Борнологическое пространство - Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Теорема Гейне – Бореля . Подмножество евклидова пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
• LB-пространство
• LF-пространство - Топологическое векторное пространство.
• Ядерное пространство - обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.

Ссылки

Библиография

• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087137-0 . МР   0500064 . OCLC   316549583 .
• Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и ядерные пространства: Вводный курс по ядерным и ядерным пространствам в свете двойственности «топология-борнология» . Математические исследования Северной Голландии. Том. 52. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087163-9 . OCLC   316564345 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . ОСЛК   8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Основные принципы математических наук. Том 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90400-9 . OCLC   180577972 .
• Линдстрем, Микаэль (1 января 1990 г.). «Заметка о пространствах Фреше-Монтеля» (PDF) . Труды Американского математического общества . 108 (1). Американское математическое общество (AMS): 191–196. дои : 10.1090/s0002-9939-1990-0994780-8 . ISSN   0002-9939 . {{cite journal}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• «Пространство Монтеля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]