Теорема о представлении Рисса

Эта статья посвящена теореме о двойственном гильбертовом пространстве. Теоремы, связывающие линейные функционалы с мерами, см. в теореме о представлении Рисса–Маркова–Какутани . Другие теоремы см. в теореме Рисса .

Теорема о представлении Рисса , иногда называемая теоремой о представлении Рисса – Фреше в честь Фридьеса Рисса и Мориса Рене Фреше , устанавливает важную связь между гильбертовым пространством и его непрерывным двойственным пространством . Если базовым полем являются действительные числа , они изометрически изоморфны ; если базовым полем являются комплексные числа , они изометрически антиизоморфны . (Анти-) изоморфизм — это частный естественный изоморфизм .

Предварительные сведения и обозначения

Позволять $H$ быть гильбертовым пространством над полем $\mathbb {F} ,$ где $\mathbb {F}$ это либо действительные числа $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} .$ Если $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ (соответственно, если $\mathbb {F} =\mathbb {R}$) затем $H$ называется комплексным гильбертовым пространством (соответственно вещественным гильбертовым пространством ). Каждое реальное гильбертово пространство может быть расширено до плотного подмножества уникального (с точностью до биективной изометрии ) комплексного гильбертова пространства, называемого его комплексификацией , поэтому гильбертовы пространства часто автоматически считаются комплексными. Реальные и комплексные гильбертовы пространства имеют много общего, но далеко не все свойства и результаты/теоремы.

Эта статья предназначена как для математиков , так и для физиков и описывает теорему для обоих. И в математике, и в физике, если гильбертово пространство считается действительным (т. е. если $\mathbb {F} =\mathbb {R}$), то это обычно становится ясным. Часто в математике, и особенно в физике, если не указано иное, «гильбертово пространство» обычно автоматически означает «комплексное гильбертово пространство». В зависимости от автора, в математике «гильбертово пространство» обычно означает либо (1) комплексное гильбертово пространство, либо (2) вещественное или комплексное гильбертово пространство.

Линейные и антилинейные карты

По определению, антилинейное отображение (также называемое сопряженно-линейным отображением ) $f:H\to Y$ между векторными пространствами карту представляет собой аддитивную :

$$f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,$$

и антилинейные (также называемые сопряженно-линейными или сопряженно-однородными ):

$$f(cx)={\overline {c}}f(x)\quad {\text{ for all }}x\in H{\text{ and all scalar }}c\in \mathbb {F} ,$$

где ${\overline {c}}$ является сопряженным комплексному числу $c=a+bi$, заданный ${\overline {c}}=a-bi$.

Напротив, карта $f:H\to Y$ является линейным, если оно аддитивно и однородно :

$$f(cx)=cf(x)\quad {\text{ for all }}x\in H\quad {\text{ and all scalars }}c\in \mathbb {F} .$$

Каждая константа $0$ карта всегда одновременно линейна и антилинейна. Если $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ тогда определения линейных и антилинейных отображений совершенно идентичны. Линейное отображение гильбертова пространства в банахово пространство (или, в более общем смысле, любое банахово пространство в любое топологическое векторное пространство ) непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено ; то же самое относится и к антилинейным отображениям. Инверсия любой антилинейной ( соответственно линейной) биекции снова является антилинейной (соответственно линейной) биекцией. Композиция двух антилинейных карт является линейной картой.

Непрерывные двойственные и антидвойственные пространства.

Функционал ​ на $H$ это функция $H\to \mathbb {F}$ чей кодомен является основным скалярным полем $\mathbb {F} .$ Обозначим через $H^{*}$ (соответственно ${\overline {H}}^{*})$ множество всех непрерывных линейных (соответственно непрерывных антилинейных) функционалов на $H,$ которое называется (непрерывным) двойственным пространством (соответственно (непрерывным) антидвойственным пространством ) $H.$ Если $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ то линейные функционалы от $H$ такие же, как и антилинейные функционалы, и, следовательно, то же самое справедливо и для таких непрерывных отображений, т. е. $H^{*}={\overline {H}}^{*}.$

Однозначное соответствие между линейными и антилинейными функционалами.

Учитывая любой функционал $f~:~H\to \mathbb {F} ,$ сопряженное ​ $f$ это функционал

$${\begin{alignedat}{4}{\overline {f}}:\,&H&&\to \,&&\mathbb {F} \\&h&&\mapsto \,&&{\overline {f(h)}}.\\\end{alignedat}}$$

Это задание наиболее полезно, когда $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ потому что если $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ затем $f={\overline {f}}$ и задание $f\mapsto {\overline {f}}$ сводится к карте идентичности .

Задание $f\mapsto {\overline {f}}$ определяет антилинейное биективное соответствие из множества

все функционалы (соответственно все линейные функционалы, все непрерывные линейные функционалы $H^{*}$) на $H,$

на съемочную площадку

все функционалы (соответственно все антилинейные функционалы, все непрерывные антилинейные функционалы ${\overline {H}}^{*}$) на $H.$

внутреннего

Гильбертово пространство $H$ имеет связанный внутренний продукт $H\times H\to \mathbb {F}$ ценится в $H$базовое скалярное поле $\mathbb {F}$ которая линейна по одной координате и антилинейна по другой (как подробно описано ниже). Если $H$ является комплексным гильбертовым пространством (то есть, если $\mathbb {F} =\mathbb {C}$), что очень часто бывает, тогда какая координата антилинейная, а какая линейная, становится очень важной технической проблемой. Однако, если $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ тогда внутренний продукт представляет собой симметричное отображение, которое одновременно линейно по каждой координате (то есть билинейно) и антилинейно по каждой координате. неактуален Следовательно, вопрос о том, какая координата линейна, а какая антилинейна, для реальных гильбертовых пространств .

Обозначение внутреннего продукта

В математике скалярное произведение в гильбертовом пространстве $H$ часто обозначается $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ или $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle _{H}$ в то время как в физике брекета обозначение $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle$ или $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle _{H}$ вместо этого обычно используется. В этой статье эти два обозначения будут связаны равенством:

$$\left\langle x,y\right\rangle :=\left\langle y\mid x\right\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.$$

Конкурирующие определения внутреннего продукта

Карты $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ и $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle$ Предполагается, что они обладают следующими двумя свойствами:

1. Карта $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ линейна координате по первой ; эквивалентно, карта $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle$ линейна по второй координате. В явном виде это означает, что для каждого фиксированного $y\in H,$ карта, которая обозначается $\left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot ,y\,\right\rangle :H\to \mathbb {F}$ и определяется
   $$h\mapsto \left\langle \,y\mid h\,\right\rangle =\left\langle \,h,y\,\right\rangle \quad {\text{ for all }}h\in H$$
   является линейным функционалом от $H.$
   • Фактически этот линейный функционал непрерывен, поэтому $\left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot ,y\,\right\rangle \in H^{*}.$
2. Карта $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ является антилинейным координате по второй ; эквивалентно, карта $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle$ антилинейна по своей первой координате. В явном виде это означает, что для каждого фиксированного $y\in H,$ карта, которая обозначается $\left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle :H\to \mathbb {F}$ и определяется
   $$h\mapsto \left\langle \,h\mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,h\,\right\rangle \quad {\text{ for all }}h\in H$$
   является антилинейным функционалом на $H.$
   • Фактически этот антилинейный функционал непрерывен, поэтому $\left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle \in {\overline {H}}^{*}.$

В математике преобладающее соглашение (т.е. определение внутреннего продукта) состоит в том, что внутренний продукт линеен по первой координате и антилинейен по другой координате. В физике , к сожалению, соглашение/определение противоположное , что означает, что внутренний продукт линеен по второй координате и антилинейен по другой координате. В этой статье не будет отдаваться предпочтение одному определению перед другим. Вместо этого сделанные выше предположения делают так, что математическое обозначение $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ удовлетворяет математическому соглашению/определению внутреннего продукта (то есть линейному по первой координате и антилинейному по другой), в то время как физическому обозначению скобок $\left\langle \cdot |\cdot \right\rangle$ удовлетворяет физическому соглашению/определению внутреннего продукта (т. е. линейному по второй координате и антилинейному по другой). Следовательно, два приведенных выше предположения делают обозначения, используемые в каждом поле, совместимыми с соглашением/определением этого поля, для которого координата является линейной, а какая — антилинейной.

норма и внутренний продукт двойственного и

Если $x=y$ затем $\langle \,x\mid x\,\rangle =\langle \,x,x\,\rangle$ - неотрицательное действительное число, а карта

$$\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {\langle x\mid x\rangle }}$$

определяет каноническую норму на $H$ это делает $H$ в нормированное пространство . Как и все нормированные пространства, (непрерывное) дуальное пространство $H^{*}$ несет каноническую норму, называемую двойственной нормой , которая определяется формулой

$$\|f\|_{H^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in H^{*}.$$

Каноническая норма о (непрерывном) антидвойственном пространстве ${\overline {H}}^{*},$ обозначается $\|f\|_{{\overline {H}}^{*}},$ определяется с помощью того же уравнения:

$$\|f\|_{{\overline {H}}^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {H}}^{*}.$$

Эта каноническая норма о $H^{*}$ удовлетворяет закону параллелограмма , что означает, что тождество поляризации можно использовать для определения канонического внутреннего продукта на $H^{*},$ которые в данной статье будут обозначаться обозначениями

$$\left\langle f,g\right\rangle _{H^{*}}:=\left\langle g\mid f\right\rangle _{H^{*}},$$

где этот внутренний продукт превращается $H^{*}$ в гильбертово пространство. В настоящее время существует два способа определения нормы $H^{*}:$ норма, индуцированная этим скалярным произведением (т. е. норма, определенная формулой $f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{H^{*}}}}$) и обычную двойственную норму (определяемую как верхнюю границу над замкнутым единичным шаром). Эти нормы одинаковы; в явном виде это означает, что для любого $f\in H^{*}:$

$$\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|=\|f\|_{H^{*}}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{H^{*}}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{H^{*}}}}.$$

Как будет описано позже, теорему о представлении Рисса можно использовать, чтобы дать эквивалентное определение канонической нормы и канонического внутреннего продукта на $H^{*}.$

Те же уравнения, которые использовались выше, также можно использовать для определения нормы и внутреннего продукта на $H$антидвойственное пространство ${\overline {H}}^{*}.$

Каноническая изометрия между двойственным и антидвойственным

Комплексное сопряжение ${\overline {f}}$ функционального $f,$ которое было определено выше, удовлетворяет

$$\|f\|_{H^{*}}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {H}}^{*}}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{H^{*}}~=~\|g\|_{{\overline {H}}^{*}}$$

для каждого $f\in H^{*}$ и каждый $g\in {\overline {H}}^{*}.$ Это именно говорит о том, что каноническая антилинейная биекция , определенная формулой

$${\begin{alignedat}{4}\operatorname {Cong} :\;&&H^{*}&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&{\overline {f}}\\\end{alignedat}}$$

а также его инверсия $\operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {H}}^{*}\to H^{*}$ являются антилинейными изометриями и, следовательно, также гомеоморфизмами . Внутренние произведения в двойственном пространстве $H^{*}$ и антидвойственное пространство ${\overline {H}}^{*},$ обозначается соответственно $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{H^{*}}$ и $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {H}}^{*}},$ связаны

$$\langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{H^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{H^{*}}\qquad {\text{ for all }}f,g\in H^{*}$$

и

$$\langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {H}}^{*}.$$

Если $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ затем $H^{*}={\overline {H}}^{*}$ и эта каноническая карта $\operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}$ сводится к карте идентичности.

Рисса

Два вектора $x$ и $y$ ортогональны , если $\langle x,y\rangle =0,$ что произойдет тогда и только тогда, когда $\|y\|\leq \|y+sx\|$ для всех скаляров $s.$ Ортогональное дополнение подмножества $X\subseteq H$ является

$$X^{\bot }:=\{\,y\in H:\langle y,x\rangle =0{\text{ for all }}x\in X\,\},$$

которое всегда является замкнутым векторным подпространством $H.$ Теорема о проекции Гильберта гарантирует, что для любого непустого замкнутого выпуклого подмножества $C$ гильбертова пространства существует единственный вектор $m\in C$ такой, что $\|m\|=\inf _{c\in C}\|c\|;$ то есть, $m\in C$ - (уникальная) глобальная точка минимума функции $C\to [0,\infty )$ определяется $c\mapsto \|c\|.$

Заявление

Теорема о представлении Рисса . Пусть $H$ — гильбертово пространство, которого внутренний продукт $\left\langle x,y\right\rangle$ линейно по первому аргументу и антилинейно по второму аргументу, и пусть $\langle y\mid x\rangle :=\langle x,y\rangle$ — соответствующие физические обозначения. Для любого непрерывного линейного функционала $\varphi \in H^{*},$ существует уникальный вектор $f_{\varphi }\in H,$ назвал Представление Рисса $\varphi ,$ такой, что

$$\varphi (x)=\left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle =\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle \quad {\text{ for all }}x\in H.$$

Что важно для комплексных гильбертовых пространств, $f_{\varphi }$ всегда находится в антилинейной координате внутреннего произведения.

При этом длина вектора представления равна норме функционала:

$$\left\|f_{\varphi }\right\|_{H}=\|\varphi \|_{H^{*}},$$

и $f_{\varphi }$ это уникальный вектор $f_{\varphi }\in \left(\ker \varphi \right)^{\bot }$ с $\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\|\varphi \|^{2}.$ Это также уникальный элемент минимальной нормы в $C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)$; то есть, $f_{\varphi }$ является уникальным элементом $C$ удовлетворяющий $\left\|f_{\varphi }\right\|=\inf _{c\in C}\|c\|.$Более того, любое ненулевое $q\in (\ker \varphi )^{\bot }$ можно записать как $q=\left(\|q\|^{2}/\,{\overline {\varphi (q)}}\right)\ f_{\varphi }.$

Следствие . Каноническое отображение из $H$ в свой двойной $H^{*}$ — инъективная антилинейная операторная изометрия

$${\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \,,y\rangle =\langle y|\,\cdot \,\rangle \\\end{alignedat}}$$

Теорема о представлении Рисса утверждает, что это отображение сюръективно (и, следовательно, биективно ), когда $H$ является полным и что его обратным является биективный изометрический антилинейный изоморфизм

$${\begin{alignedat}{4}\Phi ^{-1}:\;&&H^{*}&&\;\to \;&H\\[0.3ex]&&\varphi &&\;\mapsto \;&f_{\varphi }\\\end{alignedat}}.$$

Следовательно, каждый непрерывный линейный функционал в гильбертовом пространстве $H$ можно однозначно записать в виде $\langle y\,|\,\cdot \,\rangle$ где $\|\langle y\,|\cdot \rangle \|_{H^{*}}=\|y\|_{H}$ для каждого $y\in H.$ Задание $y\mapsto \langle y,\cdot \rangle =\langle \cdot \,|\,y\rangle$ также можно рассматривать как биективную линейную изометрию $H\to {\overline {H}}^{*}$ в антидвойственное пространство $H,$ которое представляет собой комплексно-сопряженное векторное пространство непрерывного двойственного пространства $H^{*}.$

Внутренние продукты на $H$ и $H^{*}$ связаны

$$\left\langle \Phi h,\Phi k\right\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle h,k\rangle }}_{H}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H$$

и аналогично,

$$\left\langle \Phi ^{-1}\varphi ,\Phi ^{-1}\psi \right\rangle _{H}={\overline {\langle \varphi ,\psi \rangle }}_{H^{*}}=\left\langle \psi ,\varphi \right\rangle _{H^{*}}\quad {\text{ for all }}\varphi ,\psi \in H^{*}.$$

Набор $C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)$ удовлетворяет $C=f_{\varphi }+\ker \varphi$ и $C-f_{\varphi }=\ker \varphi$ так что когда $f_{\varphi }\neq 0$ затем $C$ можно интерпретировать как аффинную гиперплоскость параллельно векторному подпространству $\ker \varphi$ и содержит $f_{\varphi }.$

Для $y\in H,$ физическое обозначение функционала $\Phi (y)\in H^{*}$ это бюстгальтер $\langle y|,$ где это явно означает, что $\langle y|:=\Phi (y),$ что дополняет обозначение кет $|y\rangle$ определяется $|y\rangle :=y.$ В математической трактовке квантовой механики эту теорему можно рассматривать как оправдание популярного обозначения скобок . Теорема гласит, что каждый бюстгальтер $\langle \psi \,|$ имеет соответствующий кет $|\,\psi \rangle ,$ и последний уникален.

Исторически сложилось так, что эту теорему часто приписывают одновременно Риссу и Фреше в 1907 году (см. Ссылки).

show Доказательство

Let $\mathbb {F}$ denote the underlying scalar field of $H.$ Proof of norm formula: Fix $y\in H.$ Define $\Lambda :H\to \mathbb {F}$ by $\Lambda (z):=\langle \,y\,|\,z\,\rangle ,$ which is a linear functional on $H$ since $z$ is in the linear argument. By the Cauchy–Schwarz inequality, $$|\Lambda (z)|=|\langle \,y\,|\,z\,\rangle |\leq \|y\|\|z\|$$ which shows that $\Lambda$ is bounded (equivalently, continuous) and that $\|\Lambda \|\leq \|y\|.$ It remains to show that $\|y\|\leq \|\Lambda \|.$ By using $y$ in place of $z,$ it follows that $$\|y\|^{2}=\langle \,y\,|\,y\,\rangle =\Lambda y=|\Lambda (y)|\leq \|\Lambda \|\|y\|$$ (the equality $\Lambda y=|\Lambda (y)|$ holds because $\Lambda y=\|y\|^{2}\geq 0$ is real and non-negative). Thus that $\|\Lambda \|=\|y\|.$$\blacksquare$ The proof above did not use the fact that $H$ is complete, which shows that the formula for the norm $\|\langle \,y\,|\,\cdot \,\rangle \|_{H^{*}}=\|y\|_{H}$ holds more generally for all inner product spaces. Proof that a Riesz representation of $\varphi$ is unique: Suppose $f,g\in H$ are such that $\varphi (z)=\langle \,f\,|\,z\,\rangle$ and $\varphi (z)=\langle \,g\,|\,z\,\rangle$ for all $z\in H.$ Then $$\langle \,f-g\,|\,z\,\rangle =\langle \,f\,|\,z\,\rangle -\langle \,g\,|\,z\,\rangle =\varphi (z)-\varphi (z)=0\quad {\text{ for all }}z\in H$$ which shows that $\Lambda :=\langle \,f-g\,|\,\cdot \,\rangle$ is the constant $0$ linear functional. Consequently $0=\|\langle \,f-g\,|\,\cdot \,\rangle \|=\|f-g\|,$ which implies that $f-g=0.$$\blacksquare$ Proof that a vector $f_{\varphi }$ representing $\varphi$ exists: Let $K:=\ker \varphi :=\{m\in H:\varphi (m)=0\}.$ If $K=H$ (or equivalently, if $\varphi =0$) then taking $f_{\varphi }:=0$ completes the proof so assume that $K\neq H$ and $\varphi \neq 0.$ The continuity of $\varphi$ implies that $K$ is a closed subspace of $H$ (because $K=\varphi ^{-1}(\{0\})$ and $\{0\}$ is a closed subset of $\mathbb {F}$). Let $$K^{\bot }:=\{v\in H~:~\langle \,v\,|\,k\,\rangle =0~{\text{ for all }}k\in K\}$$ denote the orthogonal complement of $K$ in $H.$Because $K$ is closed and $H$ is a Hilbert space, $H$ can be written as the direct sum $H=K\oplus K^{\bot }$ (a proof of this is given in the article on the Hilbert projection theorem). Because $K\neq H,$ there exists some non-zero $p\in K^{\bot }.$ For any $h\in H,$ $$\varphi [(\varphi h)p-(\varphi p)h]~=~\varphi [(\varphi h)p]-\varphi [(\varphi p)h]~=~(\varphi h)\varphi p-(\varphi p)\varphi h=0,$$ which shows that $(\varphi h)p-(\varphi p)h~\in ~\ker \varphi =K,$ where now $p\in K^{\bot }$ implies $$0=\langle \,p\,|\,(\varphi h)p-(\varphi p)h\,\rangle ~=~\langle \,p\,|\,(\varphi h)p\,\rangle -\langle \,p\,|\,(\varphi p)h\,\rangle ~=~(\varphi h)\langle \,p\,|\,p\,\rangle -(\varphi p)\langle \,p\,|\,h\,\rangle .$$ Solving for $\varphi h$ shows that $$\varphi h={\frac {(\varphi p)\langle \,p\,|\,h\,\rangle }{\|p\|^{2}}}=\left\langle \,{\frac {\overline {\varphi p}}{\|p\|^{2}}}p\,{\Bigg |}\,h\,\right\rangle \quad {\text{ for every }}h\in H,$$ which proves that the vector $f_{\varphi }:={\frac {\overline {\varphi p}}{\|p\|^{2}}}p$ satisfies $\varphi h=\langle \,f_{\varphi }\,|\,h\,\rangle {\text{ for every }}h\in H.$ Applying the norm formula that was proved above with $y:=f_{\varphi }$ shows that $\|\varphi \|_{H^{*}}=\left\|\left\langle \,f_{\varphi }\,|\,\cdot \,\right\rangle \right\|_{H^{*}}=\left\|f_{\varphi }\right\|_{H}.$ Also, the vector $u:={\frac {p}{\|p\|}}$ has norm $\|u\|=1$ and satisfies $f_{\varphi }:={\overline {\varphi (u)}}u.$$\blacksquare$ It can now be deduced that $K^{\bot }$ is $1$-dimensional when $\varphi \neq 0.$ Let $q\in K^{\bot }$ be any non-zero vector. Replacing $p$ with $q$ in the proof above shows that the vector $g:={\frac {\overline {\varphi q}}{\|q\|^{2}}}q$ satisfies $\varphi (h)=\langle \,g\,|\,h\,\rangle$ for every $h\in H.$ The uniqueness of the (non-zero) vector $f_{\varphi }$ representing $\varphi$ implies that $f_{\varphi }=g,$ which in turn implies that ${\overline {\varphi q}}\neq 0$ and $q={\frac {\|q\|^{2}}{\overline {\varphi q}}}f_{\varphi }.$ Thus every vector in $K^{\bot }$ is a scalar multiple of $f_{\varphi }.$ $\blacksquare$ The formulas for the inner products follow from the polarization identity.

Наблюдения

Если $\varphi \in H^{*}$ затем

$$\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\left\langle f_{\varphi },f_{\varphi }\right\rangle =\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\|\varphi \|^{2}.$$

Так, в частности, $\varphi \left(f_{\varphi }\right)\geq 0$ всегда реален и, кроме того, $\varphi \left(f_{\varphi }\right)=0$ тогда и только тогда, когда $f_{\varphi }=0$ тогда и только тогда, когда $\varphi =0.$

Линейные функционалы как аффинные гиперплоскости

Нетривиальный непрерывный линейный функционал $\varphi$ часто интерпретируется геометрически, отождествляя его с аффинной гиперплоскостью $A:=\varphi ^{-1}(1)$ (ядро $\ker \varphi =\varphi ^{-1}(0)$ также часто визуализируется рядом с $A:=\varphi ^{-1}(1)$ хотя зная $A$ достаточно, чтобы восстановить $\ker \varphi$ потому что если $A=\varnothing$ затем $\ker \varphi =H$ и в противном случае $\ker \varphi =A-A$). В частности, норма $\varphi$ должно каким-то образом интерпретироваться как «норма гиперплоскости». $A$". Когда $\varphi \neq 0$ то теорема о представлении Рисса дает такую ​​интерпретацию $\|\varphi \|$ в терминах аффинной гиперплоскости $A:=\varphi ^{-1}(1)$ следующим образом: используя обозначения из формулировки теоремы, из $\|\varphi \|^{2}\neq 0$ отсюда следует, что $C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)=\|\varphi \|^{2}\varphi ^{-1}(1)=\|\varphi \|^{2}A$ и так $\|\varphi \|=\left\|f_{\varphi }\right\|=\inf _{c\in C}\|c\|$ подразумевает $\|\varphi \|=\inf _{a\in A}\|\varphi \|^{2}\|a\|$ и таким образом $\|\varphi \|={\frac {1}{\inf _{a\in A}\|a\|}}.$ В этом также можно убедиться, применив теорему о проекции Гильберта к $A$ и пришли к выводу, что глобальная минимальная точка карты $A\to [0,\infty )$ определяется $a\mapsto \|a\|$ является ${\frac {f_{\varphi }}{\|\varphi \|^{2}}}\in A.$ Формулы

$${\frac {1}{\inf _{a\in A}\|a\|}}=\sup _{a\in A}{\frac {1}{\|a\|}}$$

предоставить обещанную интерпретацию нормы линейного функционала $\|\varphi \|$ полностью в терминах связанной с ней аффинной гиперплоскости $A=\varphi ^{-1}(1)$ (поскольку по этой формуле, зная только множество $A$ достаточно, чтобы описать норму связанного с ним линейного функционала ). Определение ${\frac {1}{\infty }}:=0,$ самая низкая формула

$$\|\varphi \|={\frac {1}{\inf _{a\in \varphi ^{-1}(1)}\|a\|}}$$

также будет удерживаться, когда $\varphi =0.$ Когда супремум принимается $\mathbb {R}$ (как обычно предполагается), то верхняя грань пустого множества равна $\sup \varnothing =-\infty$ но если супремум взят в неотрицательных действительных числах $[0,\infty )$ (что является изображением /диапазоном нормы $\|\,\cdot \,\|$ когда $\dim H>0$) тогда эта супремум вместо этого $\sup \varnothing =0,$ в этом случае формула супремума $\|\varphi \|=\sup _{a\in \varphi ^{-1}(1)}{\frac {1}{\|a\|}}$ также будет удерживаться, когда $\varphi =0$ (хотя нетипичное равенство $\sup \varnothing =0$ обычно является неожиданным и поэтому рискует вызвать путаницу).

Конструкции представляющего вектора

Используя обозначения приведенной выше теоремы, можно построить несколько способов построения $f_{\varphi }$ от $\varphi \in H^{*}$ сейчас описаны. Если $\varphi =0$ затем $f_{\varphi }:=0$; другими словами,

$$f_{0}=0.$$

Этот особый случай $\varphi =0$ отныне предполагается известным, поэтому некоторые из приведенных ниже конструкций начинаются с предположения $\varphi \neq 0.$

Ортогональное дополнение ядра

Если $\varphi \neq 0$ тогда для любого $0\neq u\in (\ker \varphi )^{\bot },$

$$f_{\varphi }:={\frac {{\overline {\varphi (u)}}u}{\|u\|^{2}}}.$$

Если $u\in (\ker \varphi )^{\bot }$ является единичным вектором (что означает $\|u\|=1$) затем

$$f_{\varphi }:={\overline {\varphi (u)}}u$$

(это верно, даже если $\varphi =0$ потому что в этом случае $f_{\varphi }={\overline {\varphi (u)}}u={\overline {0}}u=0$). Если $u$ является единичным вектором, удовлетворяющим вышеуказанному условию, то то же самое верно и для $-u,$ который также является единичным вектором в $(\ker \varphi )^{\bot }.$ Однако, ${\overline {\varphi (-u)}}(-u)={\overline {\varphi (u)}}u=f_{\varphi }$ поэтому оба этих вектора приводят к одному и тому же $f_{\varphi }.$

Ортогональная проекция на ядро

Если $x\in H$ таков, что $\varphi (x)\neq 0$ и если $x_{K}$ является проекцией ортогональной $x$ на $\ker \varphi$ затем

$$f_{\varphi }={\frac {\|\varphi \|^{2}}{\varphi (x)}}\left(x-x_{K}\right).$$

Ортонормированный базис

Учитывая ортонормированный базис $\left\{e_{i}\right\}_{i\in I}$ из $H$ и непрерывный линейный функционал $\varphi \in H^{*},$ вектор $f_{\varphi }\in H$ может быть построено однозначно

$$f_{\varphi }=\sum _{i\in I}{\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}e_{i}$$

где все, кроме не более чем счетного числа $\varphi \left(e_{i}\right)$ будет равен $0$ и где значение $f_{\varphi }$ фактически не зависит от выбора ортонормированного базиса (т. е. использования любого другого ортонормированного базиса для $H$ приведет к тому же вектору). Если $y\in H$ написано как $y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}$ затем

$$\varphi (y)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right)a_{i}=\langle f_{\varphi }|y\rangle$$

и

$$\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right){\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}=\sum _{i\in I}\left|\varphi \left(e_{i}\right)\right|^{2}=\|\varphi \|^{2}.$$

Если ортонормированный базис $\left\{e_{i}\right\}_{i\in I}=\left\{e_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$ это последовательность, то это становится

$$f_{\varphi }={\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}e_{1}+{\overline {\varphi \left(e_{2}\right)}}e_{2}+\cdots$$

и если $y\in H$ написано как $y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots$ затем

$$\varphi (y)=\varphi \left(e_{1}\right)a_{1}+\varphi \left(e_{2}\right)a_{2}+\cdots =\langle f_{\varphi }|y\rangle .$$

Пример в конечных размерах с использованием матричных преобразований

Рассмотрим частный случай $H=\mathbb {C} ^{n}$ (где $n>0$ является целым числом) со стандартным скалярным произведением

$$\langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}\qquad {\text{ for all }}\;w,z\in H$$

где $w{\text{ and }}z$ представлены в виде матриц-столбцов ${\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}$ и ${\vec {z}}:={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}$ относительно стандартного ортонормированного базиса $e_{1},\ldots ,e_{n}$ на $H$ (здесь, $e_{i}$ является $1$ на своем $i$^й координировать и $0$ повсюду; по-прежнему, $H^{*}$ теперь будет ассоциироваться с двойственным базисом ) и где ${\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }:=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right]$ обозначает транспонирование сопряженное ${\vec {z}}.$ Позволять $\varphi \in H^{*}$ — любой линейный функционал и пусть $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in \mathbb {C}$ — уникальные скаляры такие, что

$$\varphi \left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}\qquad {\text{ for all }}\;w:=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,$$

где можно показать, что $\varphi _{i}=\varphi \left(e_{i}\right)$ для всех $i=1,\ldots ,n.$ Тогда представление Рисса $\varphi$ вектор

$$f_{\varphi }~:=~{\overline {\varphi _{1}}}e_{1}+\cdots +{\overline {\varphi _{n}}}e_{n}~=~\left({\overline {\varphi _{1}}},\ldots ,{\overline {\varphi _{n}}}\right)\in H.$$

Чтобы понять почему, определите каждый вектор $w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)$ в $H$ с матрицей-столбцом ${\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}$ так что $f_{\varphi }$ отождествляется с ${\vec {f_{\varphi }}}:={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}\\\vdots \\{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}\end{bmatrix}}.$ Как обычно, определим также линейный функционал $\varphi$ со своей матрицей преобразования , которая является матрицей-строкой ${\vec {\varphi }}:=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]$ так что ${\vec {f_{\varphi }}}:={\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }$ и функция $\varphi$ это задание ${\vec {w}}\mapsto {\vec {\varphi }}\,{\vec {w}},$ где правая часть — умножение матрицы . Тогда для всех $w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,$

$$\varphi (w)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]{\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}={\overline {\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}={\overline {\,{\vec {f_{\varphi }}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}=\left\langle \,\,f_{\varphi }\,\mid \,w\,\right\rangle ,$$

что показывает, что $f_{\varphi }$ удовлетворяет определяющему условию представления Рисса $\varphi .$ Биективная антилинейная изометрия $\Phi :H\to H^{*}$ определенное в следствии теоремы о представлении Рисса, — это присваивание, которое отправляет $z=\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)\in H$ к линейному функционалу $\Phi (z)\in H^{*}$ на $H$ определяется

$$w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)~\mapsto ~\langle \,z\,\mid \,w\,\rangle ={\overline {z_{1}}}w_{1}+\cdots +{\overline {z_{n}}}w_{n},$$

где при идентификации векторов в $H$ с матрицами столбцов и вектором в $H^{*}$ со строковыми матрицами, $\Phi$ это просто задание

$${\vec {z}}={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right].$$

Как описано в следствии, $\Phi$обратное $\Phi ^{-1}:H^{*}\to H$ это антилинейная изометрия $\varphi \mapsto f_{\varphi },$ что было только что показано выше:

$$\varphi ~\mapsto ~f_{\varphi }~:=~\left({\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}},\ldots ,{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}\right);$$

где в терминах матриц, $\Phi ^{-1}$ это задание

$${\vec {\varphi }}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}.$$

Таким образом, с точки зрения матриц каждая из $\Phi :H\to H^{*}$ и $\Phi ^{-1}:H^{*}\to H$ это просто операция сопряженного транспонирования ${\vec {v}}\mapsto {\overline {\,{\vec {v}}\,}}^{\operatorname {T} }$ (хотя между разными пространствами матриц: если $H$ отождествляется с пространством всех матриц-столбцов (соответственно строк), тогда $H^{*}$ отождествляется с пространством всех строк (соответственно столбцов матриц).

В этом примере использовался стандартный внутренний продукт, которым является карта $\langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}},$ но если используется другой внутренний продукт, например $\langle z\mid w\rangle _{M}:={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }\,M\,{\vec {w}}\,$ где $M$ — любая эрмитова положительно определенная матрица , или если используется другой ортонормированный базис, то матрицы преобразования, а следовательно, и приведенные выше формулы, будут другими.

реальным гильбертовым

Смотрите также: Комплексификация

Предположим, что $H$ представляет собой комплексное гильбертово пространство со внутренним произведением $\langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle .$ Когда гильбертово пространство $H$ переинтерпретируется как реальное гильбертово пространство, то его будем обозначать через $H_{\mathbb {R} },$ где (реальный) внутренний продукт на $H_{\mathbb {R} }$ это реальная часть $H$внутренний продукт России; то есть:

$$\langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \langle x,y\rangle .$$

Норма на $H_{\mathbb {R} }$ вызванный $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{\mathbb {R} }$ равна исходной норме на $H$ и непрерывное двойственное пространство $H_{\mathbb {R} }$ представляет собой множество всех вещественнозначных ограниченных $\mathbb {R}$-линейные функционалы по $H_{\mathbb {R} }$ см. в статье о тождестве поляризации ( дополнительную информацию об этой связи ). Позволять $\psi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \psi$ и $\psi _{i}:=\operatorname {im} \psi$ обозначают действительную и мнимую части линейного функционала $\psi ,$ так что $\psi =\operatorname {re} \psi +i\operatorname {im} \psi =\psi _{\mathbb {R} }+i\psi _{i}.$ Формула, выражающая линейный функционал через его действительную часть, имеет вид

$$\psi (h)=\psi _{\mathbb {R} }(h)-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)\quad {\text{ for }}h\in H,$$

где $\psi _{i}(h)=-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)$ для всех $h\in H.$ Отсюда следует, что $\ker \psi _{\mathbb {R} }=\psi ^{-1}(i\mathbb {R} ),$ и это $\psi =0$ тогда и только тогда, когда $\psi _{\mathbb {R} }=0.$ Также можно показать, что $\|\psi \|=\left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\psi _{i}\right\|$ где $\left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{\mathbb {R} }(h)\right|$ и $\left\|\psi _{i}\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{i}(h)\right|$ являются обычными операторными нормами . В частности, линейный функционал $\psi$ ограничен тогда и только тогда, когда его действительная часть $\psi _{\mathbb {R} }$ ограничен.

Представление функционала и его реальной части

Представление Рисса непрерывной линейной функции $\varphi$ на комплексном гильбертовом пространстве равно представлению Рисса его вещественной части $\operatorname {re} \varphi$ на связанном с ним реальном гильбертовом пространстве.

Явно, пусть $\varphi \in H^{*}$ и, как указано выше, пусть $f_{\varphi }\in H$ быть представлением Рисса $\varphi$ получено в $(H,\langle ,\cdot ,\cdot \rangle ),$ так что это уникальный вектор, который удовлетворяет $\varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle$ для всех $x\in H.$ Реальная часть $\varphi$ является непрерывным действительным линейным функционалом на $H_{\mathbb {R} }$ и поэтому теорема о представлении Рисса может быть применена к $\varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \varphi$ и связанное с ним реальное гильбертово пространство $\left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)$ построить его представление Рисса, которое будем обозначать $f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.$ То есть, $f_{\varphi _{\mathbb {R} }}$ единственный вектор в $H_{\mathbb {R} }$ это удовлетворяет $\varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }$ для всех $x\in H.$ Вывод $f_{\varphi _{\mathbb {R} }}=f_{\varphi }.$ Это следует из основной теоремы, поскольку $\ker \varphi _{\mathbb {R} }=\varphi ^{-1}(i\mathbb {R} )$ и если $x\in H$ затем

$$\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {re} \left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle =\operatorname {re} \varphi (x)=\varphi _{\mathbb {R} }(x)$$

и, следовательно, если $m\in \ker \varphi _{\mathbb {R} }$ затем $\left\langle f_{\varphi }\mid m\right\rangle _{\mathbb {R} }=0,$ что показывает, что $f_{\varphi }\in (\ker \varphi _{\mathbb {R} })^{\perp _{\mathbb {R} }}.$ Более того, $\varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}$ действительное число означает, что $\varphi _{\mathbb {R} }(f_{\varphi })=\operatorname {re} \varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}.$Другими словами, в приведенной выше теореме и конструкциях, если $H$ заменяется его реальным аналогом в гильбертовом пространстве $H_{\mathbb {R} }$ и если $\varphi$ заменяется на $\operatorname {re} \varphi$ затем $f_{\varphi }=f_{\operatorname {re} \varphi }.$ Это означает, что вектор $f_{\varphi }$ полученный с помощью $\left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)$ и действительный линейный функционал $\operatorname {re} \varphi$ равен вектору, полученному с использованием начального комплексного гильбертова пространства $\left(H,\left\langle ,\cdot ,\cdot \right\rangle \right)$ и оригинальный комплексный линейный функционал $\varphi$ (в том числе с одинаковыми значениями нормы).

Кроме того, если $\varphi \neq 0$ затем $f_{\varphi }$ перпендикулярен $\ker \varphi _{\mathbb {R} }$ относительно $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }$ где ядро $\varphi$ — собственное подпространство ядра его вещественной части $\varphi _{\mathbb {R} }.$ Предположим теперь, что $\varphi \neq 0.$ Затем $f_{\varphi }\not \in \ker \varphi _{\mathbb {R} }$ потому что $\varphi _{\mathbb {R} }\left(f_{\varphi }\right)=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\|\varphi \|^{2}\neq 0$ и $\ker \varphi$ является правильным подмножеством $\ker \varphi _{\mathbb {R} }.$ Векторное подпространство $\ker \varphi$ имеет действительную коразмерность $1$ в $\ker \varphi _{\mathbb {R} },$ пока $\ker \varphi _{\mathbb {R} }$ имеет действительную коразмерность $1$ в $H_{\mathbb {R} },$ и $\left\langle f_{\varphi },\ker \varphi _{\mathbb {R} }\right\rangle _{\mathbb {R} }=0.$ То есть, $f_{\varphi }$ перпендикулярен $\ker \varphi _{\mathbb {R} }$ относительно $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }.$

Канонические инъекции в двойственное и антидвойственное

Индуцированная линейная карта в антидвойственную

Карта определяется размещением $y$ в линейную координату внутреннего продукта и позволив переменной $h\in H$ изменяются по антилинейной координате, что приводит к антилинейному функционалу :

$$\langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle :H\to \mathbb {F} \quad {\text{ defined by }}\quad h\mapsto \langle \,h\mid y\,\rangle =\langle \,y,h\,\rangle .$$

Эта карта является элементом ${\overline {H}}^{*},$ которое представляет собой непрерывное антидвойственное пространство $H.$ Каноническая карта из $H$ в свою антидвойственность ${\overline {H}}^{*}$ линейный ​ оператор

$${\begin{alignedat}{4}\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}:\;&&H&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle \\[0.3ex]\end{alignedat}}$$

что также является инъективной изометрией . Основная теорема о гильбертовых пространствах , связанная с теоремой о представлении Рисса, утверждает, что это отображение сюръективно (и, следовательно, биективно ). Следовательно, каждый антилинейный функционал на $H$ может быть записано (единственно) в этой форме.

Если $\operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}$ каноническая антилинейная биективная изометрия — $f\mapsto {\overline {f}}$ определенное выше, то имеет место следующее равенство:

$$\operatorname {Cong} ~\circ ~\operatorname {In} _{H}^{H^{*}}~=~\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}.$$

бюстгальтеров на бюстгальтеры и

Основная статья: Обозначение Бракета

Позволять $\left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)$ — гильбертово пространство, и, как и раньше, пусть $\langle y\,|\,x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}.$ Позволять

$${\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\left\langle \,g\mid \cdot \,\right\rangle _{H}=\left\langle \,\cdot ,g\,\right\rangle _{H}\\\end{alignedat}}$$

которая представляет собой биективную антилинейную изометрию, удовлетворяющую условию

$$(\Phi h)g=\langle h\mid g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}g,h\in H.$$

Бюстгальтеры

Учитывая вектор $h\in H,$ позволять $\langle h\,|$ обозначим непрерывный линейный функционал $\Phi h$; то есть,

$$\langle h\,|~:=~\Phi h$$

так что этот функционал $\langle h\,|$ определяется $g\mapsto \left\langle \,h\mid g\,\right\rangle _{H}.$ Эта карта обозначалась $\left\langle h\mid \cdot \,\right\rangle$ ранее в этой статье.

Задание $h\mapsto \langle h|$ это просто изометрический антилинейный изоморфизм $\Phi ~:~H\to H^{*},$ вот почему $~\langle cg+h\,|~=~{\overline {c}}\langle g\mid ~+~\langle h\,|~$ держится для всех $g,h\in H$ и все скаляры $c.$ Результат подключения некоторых заданных $g\in H$ в функционал $\langle h\,|$ скаляр $\langle h\,|\,g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H},$ что можно обозначить через $\langle h\mid g\rangle .$

Бюстгальтер линейного функционала

Учитывая непрерывный линейный функционал $\psi \in H^{*},$ позволять $\langle \psi \mid$ обозначим вектор $\Phi ^{-1}\psi \in H$; то есть,

$$\langle \psi \mid ~:=~\Phi ^{-1}\psi .$$

Задание $\psi \mapsto \langle \psi \mid$ это просто изометрический антилинейный изоморфизм $\Phi ^{-1}~:~H^{*}\to H,$ вот почему $~\langle c\psi +\phi \mid ~=~{\overline {c}}\langle \psi \mid ~+~\langle \phi \mid ~$ держится для всех $\phi ,\psi \in H^{*}$ и все скаляры $c.$

Определяющее условие вектора $\langle \psi |\in H$ это технически правильное, но неприглядное равенство

$$\left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}~=~\psi g\quad {\text{ for all }}g\in H,$$

поэтому обозначение $\left\langle \psi \mid g\right\rangle$ используется вместо $\left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}=\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H}.$ При таких обозначениях определяющим условием становится

$$\left\langle \psi \mid g\right\rangle ~=~\psi g\quad {\text{ for all }}g\in H.$$

Кеты

Для любого заданного вектора $g\in H,$ обозначение $|\,g\rangle$ используется для обозначения $g$; то есть,

$$\mid g\rangle :=g.$$

Задание $g\mapsto |\,g\rangle$ это просто карта личности $\operatorname {Id} _{H}:H\to H,$ вот почему $~\mid cg+h\rangle ~=~c\mid g\rangle ~+~\mid h\rangle ~$ держится для всех $g,h\in H$ и все скаляры $c.$

Обозначения $\langle h\mid g\rangle$ и $\langle \psi \mid g\rangle$ используется вместо $\left\langle h\mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle \mid g\rangle ,h\right\rangle _{H}$ и $\left\langle \psi \mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H},$ соответственно. Как и ожидалось, $~\langle \psi \mid g\rangle =\psi g~$ и $~\langle h\mid g\rangle ~$ на самом деле это просто скаляр $~\langle h\mid g\rangle _{H}~=~\langle g,h\rangle _{H}.$

Соединяет и транспонирует

Позволять $A:H\to Z$ — непрерывный линейный оператор между гильбертовыми пространствами $\left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)$ и $\left(Z,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Z}\right).$ Как и раньше, пусть $\langle y\mid x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}$ и $\langle y\mid x\rangle _{Z}:=\langle x,y\rangle _{Z}.$

Обозначим через

$${\begin{alignedat}{4}\Phi _{H}:\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\langle \,g\mid \cdot \,\rangle _{H}\\\end{alignedat}}\quad {\text{ and }}\quad {\begin{alignedat}{4}\Phi _{Z}:\;&&Z&&\;\to \;&Z^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,y\mid \cdot \,\rangle _{Z}\\\end{alignedat}}$$

обычные биективные антилинейные изометрии, которые удовлетворяют:

$$\left(\Phi _{H}g\right)h=\langle g\mid h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}g,h\in H\qquad {\text{ and }}\qquad \left(\Phi _{Z}y\right)z=\langle y\mid z\rangle _{Z}\quad {\text{ for all }}y,z\in Z.$$

Определение присоединенного

Основные статьи: Эрмитово сопряженное и сопряженное транспонирование

Для каждого $z\in Z,$ скалярная карта $\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}$ на $H$ определяется

$$h\mapsto \langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\langle Ah,z\rangle _{Z}$$

является непрерывным линейным функционалом на $H$ и поэтому по теореме о представлении Рисса существует единственный вектор в $H,$ обозначается $A^{*}z,$ такой, что $\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid \cdot \,\right\rangle _{H},$ или, что то же самое, такое, что

$$\langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid h\right\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h\in H.$$

Задание $z\mapsto A^{*}z$ таким образом, индуцирует функцию $A^{*}:Z\to H$ называется сопряженным ​ $A:H\to Z$ определяющим условием которого является

$$\langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid h\right\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h\in H{\text{ and all }}z\in Z.$$

Сопряженный $A^{*}:Z\to H$ обязательно непрерывный (т. е. ограниченный ) линейный оператор .

Если $H$ конечномерен со стандартным скалярным произведением, и если $M$ является преобразования матрицей $A$ относительно стандартного ортонормированного базиса тогда $M$сопряженное транспонирование ${\overline {M^{\operatorname {T} }}}$ – матрица преобразования сопряженного $A^{*}.$

Присоединенные транспонируются

Основная статья: Транспонирование линейной карты

См. также: Транспонировать

Также возможно определить транспонирование или алгебраическое сопряжение к $A:H\to Z,$ какая карта ${}^{t}A:Z^{*}\to H^{*}$ определяется путем отправки непрерывных линейных функционалов $\psi \in Z^{*}$ к

$${}^{t}A(\psi ):=\psi \circ A,$$

где состав $\psi \circ A$ всегда является непрерывным линейным функционалом на $H$ и это удовлетворяет $\|A\|=\left\|{}^{t}A\right\|$ (это верно в более общем плане, когда $H$ и $Z$ являются просто нормированными пространствами ). Так, например, если $z\in Z$ затем ${}^{t}A$ отправляет непрерывный линейный функционал $\langle z\mid \cdot \rangle _{Z}\in Z^{*}$ (определено на $Z$ к $g\mapsto \langle z\mid g\rangle _{Z}$) к непрерывному линейному функционалу $\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}\in H^{*}$ (определено на $H$ к $h\mapsto \langle z\mid A(h)\rangle _{Z}$); используя обозначение Бра-кет, это можно записать как ${}^{t}A\langle z\mid ~=~\langle z\mid A$ где сопоставление $\langle z\mid$ с $A$ справа обозначает композицию функций: $H\xrightarrow {A} Z\xrightarrow {\langle z\mid } \mathbb {C} .$

Сопряженный $A^{*}:Z\to H$ на самом деле просто транспонировать ${}^{t}A:Z^{*}\to H^{*}$ когда теорема о представлении Рисса используется для идентификации $Z$ с $Z^{*}$ и $H$ с $H^{*}.$

Явно связь между сопряженным и транспонированным является:

${}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}$

( Сопряженное-транспонирование )

который можно переписать как:

$$A^{*}~=~\Phi _{H}^{-1}~\circ ~{}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}\quad {\text{ and }}\quad {}^{t}A~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}~\circ ~\Phi _{Z}^{-1}.$$

Доказательство

Чтобы показать это ${}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*},$ исправить $z\in Z.$ Определение ${}^{t}A$ подразумевает

$$\left({}^{t}A\circ \Phi _{Z}\right)z={}^{t}A\left(\Phi _{Z}z\right)=\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A$$

так что осталось показать, что $\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A=\Phi _{H}\left(A^{*}z\right).$ Если $h\in H$ затем

$$\left(\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A\right)h=\left(\Phi _{Z}z\right)(Ah)=\langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\langle A^{*}z\mid h\rangle _{H}=\left(\Phi _{H}(A^{*}z)\right)h,$$

по желанию. $\blacksquare$

Альтернативно, значение левой и правой частей ( Сопряженное транспонирование ) в любой заданный момент $z\in Z$ можно переписать с точки зрения внутренних продуктов как:

$$\left({}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}\right)z=\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}\quad {\text{ and }}\quad \left(\Phi _{H}~\circ ~A^{*}\right)z=\langle A^{*}z\mid \cdot \,\rangle _{H}$$

так что ${}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}$ имеет место тогда и только тогда, когда $\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\langle A^{*}z\mid \cdot \,\rangle _{H}$ держит; но равенство справа имеет место по определению $A^{*}z.$ Определяющее условие $A^{*}z$ также можно написать

$$\langle z\mid A~=~\langle A^{*}z\mid$$

если используется обозначение бра-кет.

самосопряженных, нормальных и

Предполагать $Z=H$ и пусть $\Phi :=\Phi _{H}=\Phi _{Z}.$ Позволять $A:H\to H$ — непрерывный (т. е. ограниченный) линейный оператор.

Будь или нет $A:H\to H$ является самосопряженным , нормальным или унитарным, полностью зависит от того, является ли $A$ удовлетворяет определенным определяющим условиям, связанным с его сопряженным элементом, который, как было показано с помощью ( Adjoint-transpose ), по сути является просто транспонированием ${}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.$ Потому что транспонирование $A$ является отображением непрерывных линейных функционалов, эти определяющие условия, следовательно, могут быть полностью перевыражены в терминах линейных функционалов, что будет подробно описано в оставшейся части подраздела. Используемые линейные функционалы представляют собой простейшие возможные непрерывные линейные функционалы на $H$ которое можно полностью определить с точки зрения $A,$ внутренний продукт $\langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle$ на $H,$ и некоторый заданный вектор $h\in H.$ В частности, это $\left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle$ и $\langle h\mid A(\cdot )\rangle$ где

$$\left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle =\Phi (Ah)=(\Phi \circ A)h\quad {\text{ and }}\quad \langle h\mid A(\cdot )\rangle =\left({}^{t}A\circ \Phi \right)h.$$

Самосопряженные операторы

См. также: Самосопряженный оператор , Эрмитова матрица и Симметричная матрица.

Непрерывный линейный оператор $A:H\to H$ называется самосопряженным, он равен своему сопряженному; то есть, если $A=A^{*}.$ Используя ( Adjoint-transpose ), это происходит тогда и только тогда, когда:

$$\Phi \circ A={}^{t}A\circ \Phi$$

где это равенство можно переписать в следующих двух эквивалентных формах:

$$A=\Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi \quad {\text{ or }}\quad {}^{t}A=\Phi \circ A\circ \Phi ^{-1}.$$

Раскрытие обозначений и определений дает следующую характеристику самосопряженных операторов в терминах вышеупомянутых непрерывных линейных функционалов: $A$ является самосопряженным тогда и только тогда, когда для всех $z\in H,$ линейный функционал $\langle z\mid A(\cdot )\rangle$ равен линейному функционалу $\langle Az\mid \cdot \,\rangle$; то есть тогда и только тогда, когда

$\langle z\mid A(\cdot )\rangle =\langle Az\mid \cdot \,\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H$

( Функционалы самосопряженности )

где, если используется обозначение бра-кет, это

$$\langle z\mid A~=~\langle Az\mid \quad {\text{ for all }}z\in H.$$

Обычные операторы

См. также: Нормальный оператор и Нормальная матрица.

Непрерывный линейный оператор $A:H\to H$ называется нормальным, если $AA^{*}=A^{*}A,$ что произойдет тогда и только тогда, когда для всех $z,h\in H,$

$$\left\langle AA^{*}z\mid h\right\rangle =\left\langle A^{*}Az\mid h\right\rangle .$$

Использование ( Adjoint-transpose ) и раскрытие обозначений и определений дает следующую характеризацию нормальных операторов через скалярные произведения непрерывных линейных функционалов: $A$ является нормальным оператором тогда и только тогда, когда

$\left\langle \,\langle Ah\mid \cdot \,\rangle \mid \langle Az\mid \cdot \,\rangle \,\right\rangle _{H^{*}}~=~\left\langle \,\langle h|A(\cdot )\rangle \mid \langle z\mid A(\cdot )\rangle \,\right\rangle _{H^{*}}\quad {\text{ for all }}z,h\in H$

( функционалы нормальности )

где левая часть также равна ${\overline {\langle Ah\mid Az\rangle }}_{H}=\langle Az\mid Ah\rangle _{H}.$ В левой части этой характеристики фигурируют только линейные функционалы вида $\langle Ah\mid \cdot \,\rangle$ а в правую часть входят только линейные функции вида $\langle h\mid A(\cdot )\rangle$ (определено как указано выше ). Итак, говоря простым языком, характеристика ( функционалы нормальности ) говорит, что оператор является нормальным , когда внутренний продукт любых двух линейных функций первой формы равен внутреннему продукту их второй формы (с использованием тех же векторов $z,h\in H$ для обеих форм).Другими словами, если это произойдет (и когда $A$ инъективен или самосопряжен, то есть) задание линейных функционалов $\langle Ah\mid \cdot \,\rangle ~\mapsto ~\langle h|A(\cdot )\rangle$ четко определен (или, альтернативно, если $\langle h|A(\cdot )\rangle ~\mapsto ~\langle Ah\mid \cdot \,\rangle$ корректно определено), где $h$ колеблется в пределах $H,$ затем $A$ является нормальным оператором тогда и только тогда, когда это присваивание сохраняет скалярный продукт на $H^{*}.$

Тот факт, что каждый самосопряженный ограниченный линейный оператор является нормальным, легко следует из непосредственной замены $A^{*}=A$ в любую сторону $A^{*}A=AA^{*}.$ Этот же факт непосредственно следует и из непосредственной подстановки равенств ( Функционалов самосопряженности ) в любую часть ( Функционалов нормальности ).

Альтернативно, для комплексного гильбертова пространства непрерывный линейный оператор $A$ является нормальным оператором тогда и только тогда, когда $\|Az\|=\left\|A^{*}z\right\|$ для каждого $z\in H,$ что произойдет тогда и только тогда, когда

$$\|Az\|_{H}=\|\langle z\,|\,A(\cdot )\rangle \|_{H^{*}}\quad {\text{ for every }}z\in H.$$

Унитарные операторы

См. Также: Унитарное преобразование и Унитарная матрица.

Обратимый ограниченный линейный оператор $A:H\to H$ называется унитарным, если его инверсия является сопряженной: $A^{-1}=A^{*}.$ Используя ( Adjoint-transpose ), это эквивалентно $\Phi \circ A^{-1}={}^{t}A\circ \Phi .$ Раскрывая обозначения и определения, следует, что $A$ унитарно тогда и только тогда, когда

$$\langle A^{-1}z\mid \cdot \,\rangle =\langle z\mid A(\cdot )\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H.$$

Тот факт, что ограниченный обратимый линейный оператор $A:H\to H$ унитарно тогда и только тогда, когда $A^{*}A=\operatorname {Id} _{H}$ (или, что то же самое, ${}^{t}A\circ \Phi \circ A=\Phi$) дает еще одну (хорошо известную) характеризацию: обратимое ограниченное линейное отображение $A$ унитарно тогда и только тогда, когда

$$\langle Az\mid A(\cdot )\,\rangle =\langle z\mid \cdot \,\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H.$$

Потому что $A:H\to H$ обратима (и, в частности, является биекцией), это также верно и для транспонирования ${}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.$ Этот факт также позволяет вектору $z\in H$ в приведенных выше характеристиках заменить на $Az$ или $A^{-1}z,$ тем самым создавая еще больше равенств. Сходным образом, $\,\cdot \,$ можно заменить на $A(\cdot )$ или $A^{-1}(\cdot ).$

См. также

• Теория Шоке - Область функционального анализа и выпуклого анализа
• Ковариационный оператор - Оператор в теории вероятностей
• Основная теорема гильбертовых пространств
• Матричный коэффициент - функции на специальных группах, связанные с их матричными представлениями.

Примечания

Доказательства

Библиография

• Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс (2000). Функциональный анализ (Второе изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0486402512 . OCLC   829157984 .
• Фреше, М. (1907). «О множествах функций и линейных операциях» . Доклады Академии наук (на французском языке). 144 : 1414–1416.
• П. Халмош «Теория меры» , Д. ван Ностранд и компания, 1950.
• П. Халмос, Сборник задач по гильбертовому пространству , Спрингер, Нью-Йорк, 1982 (задача 3 содержит версию для векторных пространств с системами координат) .
• Рисс, Ф. (1907). «Об одном из видов аналитической геометрии систем суммируемых функций» . Труды Академии наук (на французском языке). 144 : 1409–1411.
• Рисс, Ф. (1909). «О линейных функциональных операциях» . Труды Академии наук (на французском языке). 149 : 974–977.

• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, ISBN  978-0-387-72828-5
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Уолтер Рудин, Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, 1966, ISBN   0-07-100276-6 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .