Ковариационный оператор

В теории вероятностей для вероятностной меры P в гильбертовом пространстве H со скалярным произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, ковариация P , представляет собой билинейную форму Cov: H × H → R заданную формулой

$\mathrm {Cov} (x,y)=\int _{H}\langle x,z\rangle \langle y,z\rangle \,\mathrm {d} \mathbf {P} (z)$

для всех x и y в H . Тогда ковариационный оператор C определяется формулой

$\mathrm {Cov} (x,y)=\langle Cx,y\rangle$

(по теореме о представлении Рисса такой оператор существует, если Cov ограничен ). Поскольку Cov симметричен по своим аргументам, ковариационный оператор имеет вид самосопряженный . Когда P является центрированной гауссовой мерой , C также является ядерным оператором . В частности, это компактный оператор ядерного класса , т. е. имеющий конечный след .

В более общем смысле, для вероятностной меры P в банаховом пространстве B ковариация P представляет собой билинейную форму на алгебраическом двойственном B. ^# , определяемый

$\mathrm {Cov} (x,y)=\int _{B}\langle x,z\rangle \langle y,z\rangle \,\mathrm {d} \mathbf {P} (z)$

где $\langle x,z\rangle$ теперь значение линейного функционала x на элементе z .

Совершенно аналогично ковариационная функция функциональнозначного случайного элемента (в особых случаях называемого случайным процессом или случайным полем ) z равна

$\mathrm {Cov} (x,y)=\int z(x)z(y)\,\mathrm {d} \mathbf {P} (z)=E(z(x)z(y))$

где z ( x ) теперь значение функции z в точке x , т.е. значение линейного функционала $u\mapsto u(x)$ оценивается в z .

См. также

• Абстрактное пространство Винера - сепарабельное банахово пространство, снабженное гильбертовым подпространством, такое, что стандартная мера цилиндрического множества в гильбертовом подпространстве индуцирует гауссову меру во всем банаховом пространстве. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Теорема Кэмерона – Мартина - Теорема, определяющая перевод гауссовских мер (мер Винера) в гильбертовых пространствах.
• Теорема Фельдмана – Хайека - Теория в теории вероятностей
• Структурная теорема для гауссовских мер - Математическая теорема

Дальнейшее чтение

• Бейкер, ЧР (сентябрь 1970 г.). О ковариационных операторах . Серия Мимео. Том. 712. Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл.
• Бейкер, ЧР (декабрь 1973 г.). «Совместные меры и операторы кросс-ковариации» (PDF) . Труды Американского математического общества . 186 : 273–289.
• Вахания, Н.Н.; Тариеладзе, В.И.; Чобанян, С.А. (1987). «Ковариантные операторы». Распределения вероятностей в банаховых пространствах . Дордрехт: Springer Нидерланды. стр. 144–183. дои : 10.1007/978-94-009-3873-1_3 . ISBN  978-94-010-8222-8 . Проверено 11 апреля 2024 г.