Комплексная мера

В математике , особенно в теории меры , комплексная мера обобщает концепцию меры, позволяя ей иметь комплексные значения. ^[1] Другими словами, допускается существование множеств , размер которых (длина, площадь, объем) является комплексным числом .

Определение [ править ]

Формально комплексная мера $\mu$ на измеримом пространстве $(X,\Sigma )$ это комплексная функция

\mu :\Sigma \to \mathbb {C}

это сигма-аддитив . Другими словами, для любой последовательности $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ непересекающихся множеств, принадлежащих $\Sigma$ , у одного есть

\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\in \mathbb {C} .

Как $\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{\sigma (n)}$ для любой перестановки ( биекции ) $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ , отсюда следует, что $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$ сходится безусловно (следовательно, поскольку $\mathbb {C}$ конечномерен, $\mu$ сходится абсолютно ).

Интегрирование по сложной мере [ править ]

можно определить Интеграл от комплекснозначной измеримой функции по комплексной мере так же, как интеграл Лебега вещественнозначной измеримой функции по неотрицательной мере , аппроксимируя измеримую функцию простыми функциями . ^[2] Как и в случае обычного интегрирования, этот более общий интеграл может не существовать или его значение может быть бесконечным ( комплексная бесконечность ).

Другой подход состоит в том, чтобы не разрабатывать теорию интегрирования с нуля, а использовать уже имеющееся понятие интеграла вещественной функции по неотрицательной мере. ^[3] С этой целью необходимо быстро проверить, что действительная и мнимая части µ ₁ и µ ₂ комплексной меры µ являются конечнозначными знаковыми мерами . К этим мерам можно применить разложение Хана-Жордана, чтобы разделить их на

\mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}

и

\mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}

где µ ₁⁺, м ₁⁻, м ₂⁺, м ₂⁻ являются конечнозначными неотрицательными мерами (единственными в некотором смысле). Тогда для измеримой функции f , которая на данный момент имеет действительное значение , можно определить

\int _{X}\!f\,d\mu =\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{-}\right)+i\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{-}\right)

пока выражение в правой части определено, то есть все четыре интеграла существуют и при их сложении не встречается неопределенность ∞−∞. ^[3]

Теперь, имея комплекснозначную измеримую функцию, можно отдельно интегрировать ее действительную и мнимую компоненты, как показано выше, и определить, как и ожидалось,

\int _{X}\!f\,d\mu =\int _{X}\!\Re (f)\,d\mu +i\int _{X}\!\Im (f)\,d\mu .

Вариация комплексной меры разложение и полярное

Для комплексной меры µ определяют ее вариацию или абсолютное значение |µ| по формуле

|\mu |(A)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }|\mu (A_{n})|

где A находится в Σ, а грань пробегает все последовательности непересекающихся множеств ( An _{которых} ) _n , объединение есть A. верхняя Взяв только конечные разбиения множества A на измеримые подмножества , можно получить эквивалентное определение.

Оказывается, |μ| является неотрицательной конечной мерой. Точно так же, как комплексное число может быть представлено в полярной форме , для комплексной меры существует полярное разложение : существует измеримая функция θ с действительными значениями такая, что

d\mu =e^{i\theta }d|\mu |,

значение

\int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fe^{i\theta }\,d|\mu |

для любой абсолютно интегрируемой измеримой функции f , т. е. f, удовлетворяющей

\int _{X}|f|\,d|\mu |<\infty .

Можно использовать теорему Радона–Никодима, чтобы доказать, что вариация является мерой и существование полярного разложения .

Пространство комплексных мер [ править ]

Сумма двух комплексных мер является комплексной мерой, как и произведение комплексной меры на комплексное число. Другими словами, набор всех комплексных мер в пространстве с мерой ( X , Σ) образует векторное пространство над комплексными числами. Более того, общая вариация $\|\cdot \|$ определяется как

\|\mu \|=|\mu |(X)\,

есть норма , относительно которой пространство комплексных мер является банаховым пространством .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Тао, Теренс (14 сентября 2011 г.). Введение в теорию меры . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-6919-2 .
^ Тао, Теренс (14 сентября 2011 г.). Введение в теорию меры . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-6919-2 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Тейлор, Майкл Юджин (2006). Теория меры и интегрирование . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-4180-8 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ. Современные методы и их применение . Чистая и прикладная математика (второе издание оригинальной редакции 1984 г.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-31716-0 . МР 1681462 . Збл 0924.28001 .
Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (Третье издание оригинальной редакции 1966 г.). Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co. ISBN 0-07-054234-1 . МР 0924157 . Збл 0925.00005 .

Внешние ссылки [ править ]

Комплексная мера в MathWorld

[1] Тао, Теренс (14 сентября 2011 г.). Введение в теорию меры . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-6919-2 .

[2] Тао, Теренс (14 сентября 2011 г.). Введение в теорию меры . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-6919-2 .

[:0-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Тейлор, Майкл Юджин (2006). Теория меры и интегрирование . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-4180-8 .

[1]

[2]

[3]