Абсолютно интегрируемая функция

В математике абсолютно интегрируемая функция — это функция которой абсолютное значение интегрируемо , , что означает, что интеграл абсолютного значения по всей области конечен.

Для вещественной функции, поскольку $\int |f(x)|\,dx=\int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx$ где $f^{+}(x)=\max(f(x),0),\ \ \ f^{-}(x)=\max(-f(x),0),$

оба ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx}$ и ${\textstyle \int f^{-}(x)\,dx}$ должно быть конечным. В интегрировании по Лебегу это в точности требование, чтобы любая измеримая функция f считалась интегрируемой, при этом интеграл равен ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx-\int f^{-}(x)\,dx}$ , так что на самом деле «абсолютно интегрируемая» означает то же самое, что «интегрируемая по Лебегу» для измеримых функций.

То же самое относится и к комплексной функции. Давайте определим $f^{+}(x)=\max(\Re f(x),0)$ $f^{-}(x)=\max(-\Re f(x),0)$ $f^{+i}(x)=\max(\Im f(x),0)$ $f^{-i}(x)=\max(-\Im f(x),0)$ где $\Re f(x)$ и $\Im f(x)$ являются реальной и мнимой частями $f(x)$ . Затем $|f(x)|\leq f^{+}(x)+f^{-}(x)+f^{+i}(x)+f^{-i}(x)\leq {\sqrt {2}}\,|f(x)|$ так $\int |f(x)|\,dx\leq \int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx+\int f^{+i}(x)\,dx+\int f^{-i}(x)\,dx\leq {\sqrt {2}}\int |f(x)|\,dx$ Это показывает, что сумма четырех интегралов (в середине) конечна тогда и только тогда, когда интеграл от абсолютного значения конечен, а функция интегрируема по Лебегу только в том случае, если все четыре интеграла конечны. Таким образом, наличие конечного интеграла по абсолютному значению эквивалентно условиям, при которых функция является «интегрируемой по Лебегу».