Абсолютное значение

Эта статья об абсолютном значении действительных и комплексных чисел. Чтобы узнать о других абсолютных значениях в математике, см. Абсолютное значение (алгебра) . Чтобы узнать о других значениях, см. Абсолютное значение (значения) .

График функции абсолютного значения действительных чисел

Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля.

В математике абсолютное значение или модуль действительного числа. $x$, обозначенный $|x|$, – неотрицательное значение ​ $x$ независимо от его знака . А именно, $|x|=x$ если $x$ является положительным числом , и $|x|=-x$ если $x$ отрицательно отрицание (в этом случае $x$ делает $-x$ положительный), и $|0|=0$. Например, абсолютное значение числа 3 равно 3, а абсолютное значение −3 также равно 3. Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля.

Обобщения абсолютного значения действительных чисел встречаются в самых разных математических ситуациях. Например, абсолютное значение также определяется для комплексных чисел , кватернионов , упорядоченных колец , полей и векторных пространств . Абсолютное значение тесно связано с понятиями величины , расстояния и нормы в различных математических и физических контекстах.

Терминология и обозначения

В 1806 году Жан-Робер Арган ввел термин модуль , означающий единицу измерения на французском языке, специально для комплексного абсолютного значения. и оно было заимствовано в английский язык в 1866 году как латинский эквивалент модуля . Термин «абсолютная стоимость» использовался в этом смысле по крайней мере с 1806 года на французском языке. и 1857 г. на английском языке. Обозначение | х | , с вертикальной полосой с каждой стороны, был введен Карлом Вейерштрассом в 1841 году. Другие названия абсолютного значения включают числовое значение. и величина . В языках программирования и пакетах вычислительного программного обеспечения абсолютное значение ${\textstyle x}$ обычно представлен abs(x)или подобное выражение.

Обозначение вертикальной черты также появляется в ряде других математических контекстов: например, применительно к множеству оно обозначает его мощность ; применительно к матрице он обозначает ее определитель . Вертикальные полосы обозначают абсолютное значение только для алгебраических объектов, для которых определено понятие абсолютного значения, в частности, элемента нормированной алгебры с делением , например действительного числа, комплексного числа или кватерниона. Близко связанными, но разными обозначениями является использование вертикальных полос для обозначения евклидовой нормы. или суп норма вектора в $\mathbb {R} ^{n}$, хотя двойные вертикальные полосы с индексами ( $\|\cdot \|_{2}$ и $\|\cdot \|_{\infty }$соответственно ) являются более распространенным и менее неоднозначным обозначением.

Определение и свойства

Действительные числа

Для любого действительного числа $x$, абсолютное значение или модуль ​ $x$ обозначается ​ $|x|$с вертикальной чертой на каждой стороне величины и определяется как

$$|x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$

Абсолютное значение $x$ таким образом, всегда либо положительное число , либо ноль , но никогда не является отрицательным . Когда $x$ сам по себе отрицательный ( $x<0$), то его абсолютное значение обязательно положительно ( $|x|=-x>0$).

С точки зрения аналитической геометрии , абсолютное значение действительного числа — это расстояние этого числа от нуля вдоль линии действительного числа , и, в более общем смысле, абсолютное значение разницы двух действительных чисел (их абсолютная разница ) — это расстояние между ними. . Понятие абстрактной функции расстояния в математике можно рассматривать как обобщение абсолютного значения разности (см. «Расстояние» ниже).

Поскольку символ квадратного корня представляет собой уникальный положительный квадратный корень, применительно к положительному числу, отсюда следует, что

$$|x|={\sqrt {x^{2}}}.$$

Это эквивалентно приведенному выше определению и может использоваться как альтернативное определение абсолютного значения действительных чисел.

Абсолютное значение имеет следующие четыре фундаментальных свойства ( ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ являются действительными числами), которые используются для обобщения этого понятия на другие области:

$|a|\geq 0$	Негативность
$|a|=0\iff a=0$	Положительная определенность
$|ab|=\left|a\right|\left|b\right|$	Мультипликативность
$|a+b|\leq |a|+|b|$	Субаддитивность , в частности неравенство треугольника

Неотрицательность, положительная определенность и мультипликативность легко очевидны из определения. Чтобы убедиться в справедливости субаддитивности, сначала заметим, что $|a+b|=s(a+b)$ где $s=\pm 1$, знак которого выбран так, чтобы результат был положительным. Теперь, поскольку $-1\cdot x\leq |x|$ и $+1\cdot x\leq |x|$, отсюда следует, что независимо от того, какое из $\pm 1$ ценность это $s$, у одного есть $s\cdot x\leq |x|$ для всех реально $x$. Следовательно, $|a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|$, по желанию.

Некоторые дополнительные полезные свойства приведены ниже. Это либо непосредственные следствия определения, либо подразумеваемые четырьмя фундаментальными свойствами, приведенными выше.

${\bigl |}\left|a\right|{\bigr |}=|a|$	Идемпотентность (абсолютное значение абсолютного значения является абсолютным значением)
$\left|-a\right|=|a|$	Равномерность ( отражательная симметрия графа)
$|a-b|=0\iff a=b$	Тождество неразличимого (эквивалент положительной определенности)
$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$	Неравенство треугольника (эквивалент субаддитивности)
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\$ (если $b\neq 0$)	Сохранение деления (эквивалент мультипликативности)
$|a-b|\geq {\bigl |}\left|a\right|-\left|b\right|{\bigr |}$	Неравенство обратного треугольника (эквивалент субаддитивности)

Два других полезных свойства неравенств:

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\iff a\leq -b\$ или $a\geq b$

Эти отношения можно использовать для решения неравенств, включающих абсолютные значения. Например:

$|x-3|\leq 9$	$\iff -9\leq x-3\leq 9$
	$\iff -6\leq x\leq 12$

Абсолютное значение, как «расстояние от нуля», используется для определения абсолютной разницы между произвольными действительными числами, стандартной метрикой действительных чисел.

Комплексные числа

Абсолютное значение комплексного числа $z$ это расстояние $r$ из $z$ от происхождения. На картинке также видно, что $z$ и его комплексно-сопряженный ${\bar {z}}$ имеют одинаковое абсолютное значение.

Поскольку комплексные числа не упорядочены , определение действительного абсолютного значения, данное выше, не может быть напрямую применено к комплексным числам. Однако геометрическую интерпретацию абсолютного значения действительного числа как его расстояния от 0 можно обобщить. Абсолютное значение комплексного числа определяется евклидовым расстоянием соответствующей точки комплексной плоскости от начала координат . Это можно вычислить с помощью теоремы Пифагора : для любого комплексного числа

$$z=x+iy,$$

где $x$ и $y$ действительные числа, значение или модуль абсолютное $z$ обозначается ​ $|z|$ и определяется

$$|z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$$

пифагорейское добавление ​ $x$ и $y$, где $\operatorname {Re} (z)=x$ и $\operatorname {Im} (z)=y$ обозначают действительную и мнимую части $z$, соответственно. Когда мнимая часть $y$ равен нулю, это совпадает с определением абсолютного значения действительного числа $x$.

Когда комплексное число $z$ выражается в полярной форме как $z=re^{i\theta },$ его абсолютное значение $|z|=r.$

Поскольку произведение любого комплексного числа $z$ и его комплексно-сопряженный ${\bar {z}}=x-iy$, с тем же абсолютным значением, всегда является неотрицательным действительным числом $\left(x^{2}+y^{2}\right)$, абсолютное значение комплексного числа $z$ квадратный корень из $z\cdot {\overline {z}},$ который поэтому называется абсолютным квадратом или квадратом модуля $z$:

$$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.$$

Это обобщает альтернативное определение реалов: ${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$.

Комплексное абсолютное значение разделяет четыре фундаментальных свойства, приведенные выше для реального абсолютного значения. Личность $|z|^{2}=|z^{2}|$ — это частный случай мультипликативности, который часто полезен сам по себе.

Функция абсолютного значения

График функции абсолютного значения действительных чисел

Состав абсолютной величины с кубической функцией в разных порядках

Реальная абсолютная функция непрерывна всюду. Оно дифференцируемо всюду, кроме x = 0 . Оно монотонно убывает на интервале (−∞, 0] и монотонно возрастает на интервале [0, +∞) . Поскольку действительное число и его противоположность имеют одинаковое абсолютное значение, оно является четной функцией и, следовательно, необратимо . Действительная функция абсолютного значения представляет собой линейную кусочно - выпуклую функцию .

Как для действительных, так и для комплексных чисел функция абсолютного значения идемпотентна (это означает, что абсолютное значение любого абсолютного значения равно самому себе).

Связь с функцией знака

Функция абсолютного значения действительного числа возвращает его значение независимо от его знака, тогда как функция Sign (или Signum) возвращает знак числа независимо от его значения. Следующие уравнения показывают связь между этими двумя функциями:

$|x|=x\operatorname {sgn}(x),$

или

$|x|\operatorname {sgn}(x)=x,$

и для x ≠ 0 ,

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.$

Связь с функциями max и min

Позволять $s,t\in \mathbb {R}$, затем

$|t-s|=-2\min(s,t)+s+t$

и

$|t-s|=2\max(s,t)-s-t.$

Производная

Реальная функция абсолютного значения имеет производную для каждого x ≠ 0 , но не дифференцируема при x = 0 . Его производная при x ≠ 0 определяется ступенчатой ​​функцией :

${\frac {d\left|x\right|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}$

Реальная функция абсолютного значения является примером непрерывной функции, которая достигает глобального минимума, при котором производная не существует.

Субдифференциал ​ | ​ х | в точке x = 0 — это интервал   [−1, 1] .

Комплексная поскольку функция абсолютного значения непрерывна всюду, но комплексно дифференцируема нигде, она нарушает уравнения Коши – Римана .

Вторая производная | х | по отношению к x равен нулю всюду, кроме нуля, где он не существует. В качестве обобщенной функции вторая производная может быть принята как удвоенная дельта-функция Дирака .

Первообразная

Первообразная ( неопределенный интеграл) действительной абсолютной функции равна

$\int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,$

где C — произвольная константа интегрирования . Это не комплексная первообразная , поскольку комплексные первообразные могут существовать только для комплексно-дифференцируемых ( голоморфных ) функций, чего нет у комплексной функции абсолютного значения.

Производные композиций

Следующие две формулы являются частными случаями цепного правила :

${d \over dx}f(|x|)={x \over |x|}(f'(|x|))$

если абсолютное значение находится внутри функции, и

${d \over dx}|f(x)|={f(x) \over |f(x)|}f'(x)$

если другая функция находится внутри абсолютного значения. В первом случае производная всегда разрывна в точке ${\textstyle x=0}$ в первом случае и где ${\textstyle f(x)=0}$ во втором случае.

Расстояние

См. Также: Метрическое пространство

Абсолютное значение тесно связано с идеей расстояния. Как отмечалось выше, абсолютное значение действительного или комплексного числа — это расстояние от этого числа до начала координат вдоль линии действительного числа для действительных чисел или в комплексной плоскости для комплексных чисел и, в более общем смысле, абсолютное значение. Разность двух действительных или комплексных чисел равна расстоянию между ними.

Стандартное евклидово расстояние между двумя точками

$a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$

и

$b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$

в евклидовом n -пространстве определяется как:

${\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

Это можно рассматривать как обобщение, поскольку для $a_{1}$ и $b_{1}$ действительный, т.е. в 1-пространстве, согласно альтернативному определению абсолютного значения,

$|a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},$

и для $a=a_{1}+ia_{2}$ и $b=b_{1}+ib_{2}$ комплексные числа, т.е. в 2-мерном пространстве,

$|a-b|$	$=|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|$
	$=|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|$
	$={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

Вышеупомянутое показывает, что расстояние «абсолютного значения» для действительных и комплексных чисел согласуется со стандартным евклидовым расстоянием, которое они наследуют в результате рассмотрения их как одномерного и двумерного евклидовых пространств соответственно.

Свойства абсолютного значения разности двух действительных или комплексных чисел: неотрицательность, тождество неразличимых, симметрия и неравенство треугольника, приведенные выше, можно рассматривать как мотивирующие более общее понятие функции расстояния следующим образом:

Вещественнозначная функция d на множестве X × X называется метрикой (или функцией расстояния ) на X , если она удовлетворяет следующим четырем аксиомам:

$d(a,b)\geq 0$	Негативность
$d(a,b)=0\iff a=b$	Личность неразличимых
$d(a,b)=d(b,a)$	Симметрия
$d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$	Неравенство треугольника

Обобщения

Заказал кольца

Определение абсолютного значения, данное выше для действительных чисел, можно распространить на любое упорядоченное кольцо . То есть, если a является элементом упорядоченного кольца R , то абсолютное значение a , обозначаемое | а | , определяется как:

$|a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.$

где − a — аддитивное обратное к a , 0 — аддитивное тождество , а < и ≥ имеют обычное значение относительно порядка в кольце.

Поля

Основная статья: Абсолютное значение (алгебра)

Четыре фундаментальных свойства абсолютного значения действительных чисел можно использовать для обобщения понятия абсолютного значения на произвольное поле следующим образом.

с действительным знаком Функция v в поле   F называется абсолютным значением (также модулем , величиной , значением или оценкой ). если он удовлетворяет следующим четырем аксиомам:

$v(a)\geq 0$	Негативность
$v(a)=0\iff a=\mathbf {0}$	Положительная определенность
$v(ab)=v(a)v(b)$	Мультипликативность
$v(a+b)\leq v(a)+v(b)$	Субаддитивность или неравенство треугольника

Где 0 обозначает идентичность F . аддитивную Из положительной определенности и мультипликативности следует, что ( 1 ) = 1 , где 1 обозначает мультипликативное тождество F v . Действительные и комплексные абсолютные значения, определенные выше, являются примерами абсолютных значений для произвольного поля.

Если v является абсолютным значением на F , то функция d на F × F , определяемая формулой d ( a , b ) = v ( a − b ) , является метрикой, и следующие условия эквивалентны:

• d удовлетворяет ультраметрическому неравенству $d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))$ для x , y , z в F. всех
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$ ограничен ​ в R .
• $v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\$ для каждого $n\in \mathbb {N}$.
• $v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\$ для всех $a\in F$.
• $v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\$ для всех $a,b\in F$.

Абсолютная величина, которая удовлетворяет любому (следовательно, всем) из вышеперечисленных условий, называется неархимедовой , в противном случае она называется архимедовой .

Векторные пространства

Основная статья: Норма (математика)

Опять же, фундаментальные свойства абсолютного значения действительных чисел могут быть использованы с небольшими изменениями для обобщения этого понятия на произвольное векторное пространство.

Действительная функция в векторном пространстве   V над полем F , представленная как ‖ · ‖ , называется абсолютным значением , но чаще нормой , если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Для всех a в F и v , u в V ,

$\|\mathbf {v} \|\geq 0$	Негативность
$\|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =0$	Положительная определенность
$\|a\mathbf {v} \|=\left|a\right|\left\|\mathbf {v} \right\|$	Положительная однородность или положительная масштабируемость
$\|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|$	Субаддитивность или неравенство треугольника

Норму вектора еще называют его длиной или величиной .

В случае евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$, функция, определяемая

$\|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$

есть норма, называемая евклидовой нормой . Когда реальные цифры $\mathbb {R}$ рассматриваются как одномерное векторное пространство $\mathbb {R} ^{1}$, абсолютное значение является нормой и является p -нормой (см. L ^п пространство ) для любого p . Фактически, абсолютное значение является «единственной» нормой $\mathbb {R} ^{1}$, в том смысле, что для каждой нормы ‖ · ‖ на $\mathbb {R} ^{1}$, ‖ Икс ‖ знак равно ‖ 1 ‖ ⋅ | х | .

Комплексное абсолютное значение является частным случаем нормы в пространстве внутреннего продукта , которое идентично евклидовой норме, когда комплексная плоскость идентифицируется как евклидова плоскость.  $\mathbb {R} ^{2}$.

алгебры

Основная статья: Композиционная алгебра

Каждая композиционная алгебра A имеет инволюцию x → x *, называемую ее сопряжением . Произведение в A элемента x и его сопряженного x * записывается N ( x ) = xx * и называется нормой x .

Реальные цифры $\mathbb {R}$, комплексные числа $\mathbb {C}$и кватернионы $\mathbb {H}$ Все композиционные алгебры с нормами, заданными определенными квадратичными формами . Абсолютное значение в этих алгебрах с делением определяется квадратным корнем из нормы композиционной алгебры.

В общем случае норма композиционной алгебры может быть квадратичной формой , которая не определена и имеет нулевые векторы . Однако, как и в случае с алгебрами с делением, когда элемент x имеет ненулевую норму, тогда x имеет мультипликативный обратный, заданный x */ N ( x ).

См. также

• Наименьшие абсолютные значения

Ссылки

• Бартл; Шерберт; Введение в реальный анализ (4-е изд.), John Wiley & Sons, 2011 г. ISBN   978-0-471-43331-6 .
• Нахин, Пол Дж.; Воображаемая сказка ; Издательство Принстонского университета; (твердый переплет, 1998 г.). ISBN   0-691-02795-1 .
• Мак Лейн, Сондерс, Гаррет Биркгоф, Алгебра , Американское математическое общество, 1999. ISBN   978-0-8218-1646-2 .
• Мендельсон, Эллиотт, Схема начального исчисления Шаума , McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN   978-0-07-148754-2 .
• О'Коннор, Джей-Джей и Робертсон, Э.Ф.; «Жан Робер Арган» .
• Шехтер, Эрик; Справочник по анализу и его основам , стр. 259–263, «Абсолютные значения» , Academic Press (1997). ISBN   0-12-622760-8 .

Внешние ссылки

• «Абсолютная ценность» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
• абсолютное значение в PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. «Абсолютная ценность» . Математический мир .