Кусочно-линейная функция

В математике — кусочно-линейная или сегментированная функция это вещественнозначная функция действительной переменной, график которой состоит из отрезков прямых . ^[1]

Определение

Кусочно-линейная функция — это функция, определенная на (возможно, неограниченном) интервале действительных чисел , так что существует набор интервалов, на каждом из которых функция является аффинной функцией . (Таким образом, «кусочно-линейный» на самом деле означает «кусочно- аффинный ».) Если область определения функции компактна , должен существовать конечный набор таких интервалов; если область некомпактна, может потребоваться, чтобы она была конечной или локально конечной в действительных числах.

Примеры

Функция, определенная

f(x)={\begin{cases}-x-3&{\text{if }}x\leq -3\\x+3&{\text{if }}-3<x<0\\-2x+3&{\text{if }}0\leq x<3\\0.5x-4.5&{\text{if }}x\geq 3\end{cases}}

кусочно-линейная, состоящая из четырех частей. График этой функции показан справа. Поскольку график affine(*) функции представляет собой прямую , график кусочно-линейной функции состоит из отрезков и лучей . Значения x (в приведенном выше примере -3, 0 и 3), при которых изменяется наклон, обычно называются точками останова, точками изменения, пороговыми значениями или узлами. Как и во многих приложениях, эта функция также непрерывна. График непрерывной кусочно-линейной функции на компактном отрезке представляет собой ломаную цепь .

Другие примеры кусочно-линейных функций включают функцию абсолютного значения , пилообразную функцию и функцию пола .

(*) Линейная функция по определению удовлетворяет $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ и поэтому в частности $f(0)=0$ ; Функции, график которых представляет собой прямую линию, являются аффинными , а не линейными .

Подгонка к кривой

Приближение известной кривой можно найти путем выборки кривой и линейной интерполяции между точками. Опубликован алгоритм расчета наиболее значимых точек с учетом заданной погрешности. ^[2]

Подгонка к данным

Если разделы, а затем точки останова уже известны, линейную регрессию можно выполнить независимо для этих разделов. Однако в этом случае не сохраняется непрерывность, а также нет единой эталонной модели, лежащей в основе наблюдаемых данных. Получен устойчивый алгоритм для этого случая. ^[3]

Если разбиения неизвестны, остаточную сумму квадратов можно использовать для выбора оптимальных точек разделения. ^[4] Однако эффективное вычисление и совместная оценка всех параметров модели (включая точки останова) могут быть получены с помощью итерационной процедуры. ^[5] на данный момент реализовано в пакете segmented^[6] для R. языка

Вариант обучения дерева решений , называемый деревьями моделей, изучает кусочно-линейные функции. ^[7]

Обобщения

Понятие кусочно-линейной функции имеет смысл в нескольких различных контекстах. Кусочно-линейные функции могут быть определены на n -мерном евклидовом пространстве или, в более общем плане, на любом векторном или аффинном пространстве , а также на кусочно-линейных многообразиях и симплициальных комплексах (см. симплициальное отображение ). В каждом случае функция может быть вещественной или принимать значения из векторного пространства, аффинного пространства, кусочно-линейного многообразия или симплициального комплекса. (В этих контекстах термин «линейный» относится не только к линейным преобразованиям , но и к более общим аффинным линейным функциям.)

В размерностях больше единицы обычно требуется, чтобы домен каждой части был многоугольником или многогранником . Это гарантирует, что график функции будет состоять из многоугольных или многогранных частей.

Сплайны обобщают кусочно-линейные функции до полиномов более высокого порядка, которые, в свою очередь, содержатся в категории кусочно-дифференцируемых функций PDIFF .

Специализации

Важные подклассы кусочно-линейных функций включают непрерывные кусочно-линейные функции и выпуклые кусочно-линейные функции.В общем случае для любой n -мерной непрерывной кусочно-линейной функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , есть

\Pi \in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1}))

такой, что

f({\vec {x}})=\min _{\Sigma \in \Pi }\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.

^[8]

Если $f$ выпукло и непрерывно, то существует

\Sigma \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1})

такой, что

f({\vec {x}})=\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.

Приложения

Реакция растений на глубину грунтовых вод ^[9]

В сельском хозяйстве кусочный регрессионный анализ измеренных данных используется для определения диапазона, в котором факторы роста влияют на урожайность, и диапазона, в котором культура не чувствительна к изменениям этих факторов.

На изображении слева показано, что при неглубоких грунтовых водах урожайность снижается, тогда как при более глубоких (> 7 дм) урожайность не меняется. График построен с использованием метода наименьших квадратов , чтобы найти два сегмента с наилучшим соответствием .

График справа показывает, что урожайность сельскохозяйственных культур выдерживает засоление почвы до ECe = 8 дСм/м (ECe — электропроводность экстракта насыщенного образца почвы), а за пределами этого значения урожайность сельскохозяйственных культур снижается. График построен методом частичной регрессии для определения самого длинного диапазона «отсутствия эффекта», т.е. там, где линия горизонтальна. Два сегмента не обязательно должны соединяться в одной точке. Только для второго отрезка используется метод наименьших квадратов.

См. также

Дальнейшее чтение

Аппс П., Лонг Н. и Рис Р. (2014). Оптимальное кусочно-линейное налогообложение доходов . Журнал государственной экономической теории , 16 (4), 523–545.

Ссылки

^ Стэнли, Уильям Д. (2004). Технический анализ и приложения с Matlab . Cengage Обучение. п. 143. ИСБН 978-1401864811 .
^ Хаманн, Б.; Чен, JL (1994). «Выбор точки данных для аппроксимации кусочно-линейной кривой» (PDF) . Компьютерное геометрическое проектирование . 11 (3): 289. дои : 10.1016/0167-8396(94)90004-3 .
^ Головченко Николай. «Аппликация непрерывной кусочно-линейной функции методом наименьших квадратов» . Проверено 6 декабря 2012 г.
^ Вит, Э. (1989). «Подбор функций кусочно-линейной регрессии к биологическим реакциям». Журнал прикладной физиологии . 67 (1): 390–396. дои : 10.1152/яп.1989.67.1.390 . ПМИД 2759968 .
^ Муггео, ВМР (2003). «Оценка моделей регрессии с неизвестными точками излома». Статистика в медицине . 22 (19): 3055–3071. дои : 10.1002/сим.1545 . ПМИД 12973787 . S2CID 36264047 .
^ Муггео, ВМР (2008). «Сегментированный: пакет R для соответствия моделям регрессии с ломаными связями» (PDF) . Р Новости . 8 : 20–25.
^ Ландвер, Н.; Холл, М.; Франк, Э. (2005). «Деревья логистических моделей» (PDF) . Машинное обучение . 59 (1–2): 161–205. дои : 10.1007/s10994-005-0466-3 . S2CID 6306536 .
^ Овчинников, Сергей (2002). «Макс-мин представление кусочно-линейных функций». Вклад в алгебру и геометрию . 43 (1): 297–302. arXiv : math/0009026 . МР1913786 .
^ Калькулятор для кусочной регрессии .
^ Калькулятор частичной регрессии .

[1] Стэнли, Уильям Д. (2004). Технический анализ и приложения с Matlab . Cengage Обучение. п. 143. ИСБН 978-1401864811 .

[2] Хаманн, Б.; Чен, JL (1994). «Выбор точки данных для аппроксимации кусочно-линейной кривой» (PDF) . Компьютерное геометрическое проектирование . 11 (3): 289. дои : 10.1016/0167-8396(94)90004-3 .

[Golovchenko-3] Головченко Николай. «Аппликация непрерывной кусочно-линейной функции методом наименьших квадратов» . Проверено 6 декабря 2012 г.

[4] Вит, Э. (1989). «Подбор функций кусочно-линейной регрессии к биологическим реакциям». Журнал прикладной физиологии . 67 (1): 390–396. дои : 10.1152/яп.1989.67.1.390 . ПМИД 2759968 .

[5] Муггео, ВМР (2003). «Оценка моделей регрессии с неизвестными точками излома». Статистика в медицине . 22 (19): 3055–3071. дои : 10.1002/сим.1545 . ПМИД 12973787 . S2CID 36264047 .

[6] Муггео, ВМР (2008). «Сегментированный: пакет R для соответствия моделям регрессии с ломаными связями» (PDF) . Р Новости . 8 : 20–25.

[7] Ландвер, Н.; Холл, М.; Франк, Э. (2005). «Деревья логистических моделей» (PDF) . Машинное обучение . 59 (1–2): 161–205. дои : 10.1007/s10994-005-0466-3 . S2CID 6306536 .

[8] Овчинников, Сергей (2002). «Макс-мин представление кусочно-линейных функций». Вклад в алгебру и геометрию . 43 (1): 297–302. arXiv : math/0009026 . МР1913786 .

[9] Калькулятор для кусочной регрессии .

[10] Калькулятор частичной регрессии .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]