Упрощенная карта

Симплициальное отображение (также называемое симплициальным отображением ) — это функция между двумя симплициальными комплексами , обладающая тем свойством, что образы вершин симплекса всегда охватывают симплекс. ^[1] Симплициальные карты можно использовать для аппроксимации непрерывных функций между топологическими пространствами , которые можно триангулировать ; это формализуется теоремой симплициальной аппроксимации .

Симплициальный изоморфизм — это биективное симплициальное отображение, такое, что и оно, и обратное к нему симплициальны.

Определения

Симплициальное отображение определяется несколько по-разному в разных контекстах.

Абстрактные симплициальные комплексы

Пусть K и L — два абстрактных симплициальных комплекса (ASC). Симплициальное отображение K в L - это функция вершин K в вершины L, $f:V(K)\to V(L)$ , который отображает каждый симплекс из K в симплекс из L. То есть для любого $\sigma \in K$ , $f(\sigma )\in L$ . ^[2]^{: 14, Защита 1.5.2} В качестве примера, пусть K будет ASC, содержащим наборы {1,2},{2,3},{3,1} и их подмножества, и пусть L будет ASC, содержащим набор {4,5,6} и его подмножества. Определим отображение f следующим образом: f (1)= f (2)=4, f (3)=5. Тогда f — симплициальное отображение, поскольку f ({1,2})={4}, являющийся симплексом в L, f ({2,3})=f({3,1})={4,5} который также является симплексом в L и т. д.

Если $f$ не является биективным, он может отображать k -мерные симплексы в K в l -мерные симплексы в L для любого l ⩽ k . В приведенном выше примере f отображает одномерный симплекс {1,2} в нульмерный симплекс {4}.

Если $f$ является биективным, и его инверсия $f^{-1}$ является симплициальным отображением L в K, то $f$ называется симплициальным изоморфизмом . Изоморфные симплициальные комплексы по существу «тот же самый», вплоть до переименования вершин. Существование изоморфизма между L и K обычно обозначается через $K\cong L$ . ^[2]^: 14 Определенная выше функция f не является изоморфизмом, поскольку она не является биективной. Если мы изменим определение на f (1)=4, f (2)=5, f (3)=6, то f будет биективным, но все равно не будет изоморфизмом, поскольку $f^{-1}$ не является простым: $f^{-1}(\{4,5,6\})=\{1,2,3\}$ , который не является симплексом в K. Если мы изменим L, удалив {4,5,6}, то есть L будет ASC, содержащим только множества {4,5},{5,6},{6,4 } и их подмножества, то f — изоморфизм.

Геометрические симплициальные комплексы

Пусть K и L — два геометрических симплициальных комплекса es (GSC). Симплициальное отображение K в L — это функция $f:K\to L$ такие, что образы вершин симплекса в K затягивают симплекс в L. Т. е. для любого симплекса $\sigma \in K$ , $\operatorname {conv} (f(V(\sigma )))\in L$ . Обратите внимание, что это означает, что вершины K отображаются в вершины L. ^[1]

Эквивалентно, можно определить симплициальное отображение как функцию основного пространства K (объединения симплексов в K) в базовое пространство L, $f:|K|\to |L|$ отображает каждый симплекс из K , который линейно в симплекс из L. То есть для любого симплекса $\sigma \in K$ , $f(\sigma )\in L$ , и кроме того, $f\vert _{\sigma }$ ( ограничение $f$ к $\sigma$ ) — линейная функция . ^[3]^: 16^[4]^: 3 Любое симплициальное отображение непрерывно.

Симплициальные карты определяются их влиянием на вершины. В частности, существует конечное число симплициальных отображений между двумя заданными конечными симплициальными комплексами.

Симплициальное отображение между двумя ASC порождает симплициальное отображение между их геометрическими реализациями (их основными многогранниками) с использованием барицентрических координат . Это можно определить точно. ^[2]^{: 15, Защита 1.5.3} Пусть K, L — два ASC, и пусть $f:V(K)\to V(L)$ быть симплициальным отображением. Аффинное расширение $f$ это отображение $|f|:|K|\to |L|$ определяется следующим образом. Для любой точки $x\in |K|$ , позволять $\sigma$ — его носитель (единственный симплекс, содержащий x внутри) и обозначают вершины $\sigma$ к $v_{0},\ldots ,v_{k}$ . Суть $x$ имеет единственное представление в виде выпуклой комбинации вершин, $x=\sum _{i=0}^{k}a_{i}v_{i}$ с $a_{i}\geq 0$ и $\sum _{i=0}^{k}a_{i}=1$ ( $a_{i}$ являются барицентрическими координатами $x$ ). Мы определяем $|f|(x):=\sum _{i=0}^{k}a_{i}f(v_{i})$ . Это | ж | является симплициальным отображением |K| в |L|; это непрерывная функция . Если f инъективно , то | ж | является инъективным; если f — изоморфизм между K и L , то | ж | является гомеоморфизмом между | К | и | Л |. ^[2]^{: 15, Поп.1.5.4}

Симпличное приближение

Позволять $f\colon |K|\to |L|$ будет непрерывным отображением между лежащими в основе многогранниками симплициальных комплексов и запишем ${\text{st}}(v)$ для звезды вершины. Симплициальная карта $f_{\triangle }\colon K\to L$ такой, что $f({\text{st}}(v))\subseteq {\text{st}}(f_{\triangle }(v))$ , называется симплициальным приближением к $f$ .

Симплициальное приближение гомотопно отображению, которое оно аппроксимирует. см. в теореме о симплициальной аппроксимации Более подробную информацию .

Кусочно-линейные карты

Пусть K и L — два GSC. Функция $f:|K|\to |L|$ называется кусочно-линейным (PL), если существуют подразделение K ' из K и подразделение L ' из L такие, что $f:|K'|\to |L'|$ является симплициальным отображением K' в L'. Любое симплициальное отображение является PL, но обратное неверно. Например, предположим, что |K| и |L| два треугольника, и пусть $f:|K|\to |L|$ — нелинейная функция, отображающая крайнюю левую половину | К | линейно в самую левую половину | L |, и отображает самую правую половину | К | линейно в самую правую половину | Л |. Тогда f есть PL, поскольку это симплициальное отображение подразделений |K| на два треугольника и разделение |L| на два треугольника. Это понятие представляет собой адаптацию общего понятия кусочно-линейной функции к симплициальным комплексам.

Гомеоморфизм PL между двумя многогранниками | К | и | Л | является PL-отображением таким, что симплициальное отображение между подразделениями $f:|K'|\to |L'|$ , является гомеоморфизмом.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Манкрес, Джеймс Р. (1995). Элементы алгебраической топологии . Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-62728-2 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5 . Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером. , раздел 4.3
^ Колин П. Рурк и Брайан Дж. Сандерсон (1982). Введение в кусочно-линейную топологию . Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-81735-9 . ISBN 978-3-540-11102-3 .
^ Брайант, Джон Л. (1 января 2001 г.), Даверман, Р.Дж.; Шер, Р.Б. (ред.), «Глава 5 — Кусочно-линейная топология» , Справочник по геометрической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 219–259, ISBN 978-0-444-82432-5 , получено 15 ноября 2022 г.

[:1-1] Перейти обратно: ^а ^б Манкрес, Джеймс Р. (1995). Элементы алгебраической топологии . Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-62728-2 .

[:0-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5 . Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером. , раздел 4.3

[3] Колин П. Рурк и Брайан Дж. Сандерсон (1982). Введение в кусочно-линейную топологию . Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-81735-9 . ISBN 978-3-540-11102-3 .

[4] Брайант, Джон Л. (1 января 2001 г.), Даверман, Р.Дж.; Шер, Р.Б. (ред.), «Глава 5 — Кусочно-линейная топология» , Справочник по геометрической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 219–259, ISBN 978-0-444-82432-5 , получено 15 ноября 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]