Триангуляция (топология)

Треугольный тор

Еще одна триангуляция тора

Треугольная форма дельфина

В математике триангуляция описывает замену топологических пространств кусочно -линейными пространствами , т. е. выбор гомеоморфизма в подходящем симплициальном комплексе . Пространства, гомеоморфные симплициальному комплексу, называются триангулируемыми. Триангуляция имеет различное применение в разных областях математики, например, в алгебраической топологии, комплексном анализе или моделировании.

Мотивация

С одной стороны, иногда полезно забыть о лишней информации о топологических пространствах: замена исходных пространств симплициальными комплексами может помочь распознать важные свойства и лучше понять рассматриваемый объект.

С другой стороны, симплициальные комплексы являются объектами комбинаторного характера, и поэтому им можно приписать величины, вытекающие из их комбинаторного образца, например, эйлеровой характеристики . Триангуляция теперь позволяет соотнести такие величины с топологическими пространствами.

Исследования существования и единственности триангуляций открыли новую ветвь топологии — кусочно-линейную топологию (короткую PL-топологию). Его основная цель — топологические свойства симплициальных комплексов и их обобщений — клеточных комплексов .

Симплициальные комплексы

Абстрактные симплициальные комплексы

Абстрактный симплициальный комплекс над множеством $V$ это система ${\mathcal {T}}\subset {\mathcal {P}}(V)$ непустых подмножеств таких, что:

• $\{v_{0}\}\in {\mathcal {T}}$ для каждого $v_{0}\in V$;
• если $E\in {\mathcal {T}}$ и $\emptyset \neq F\subset E$ $\Rightarrow$ $F\in {\mathcal {T}}$.

Элементы ${\mathcal {T}}$ называются симплексами, элементы $V$ называются вершинами. Симплекс с $n+1$ вершины имеют размерность $n$ по определению. Размерность абстрактного симплициального комплекса определяется как ${\text{dim}}({\mathcal {T}})={\text{sup}}\;\{{\text{dim}}(F):F\in {\mathcal {T}}\}\in \mathbb {N} \cup \infty$.

Абстрактные симплициальные комплексы также можно рассматривать как геометрические объекты. Для этого необходим термин геометрического симплекса.

Геометрические симплексы в размерности 1, 2 и 3

Простая геометрия

Позволять $p_{0},...p_{n}$ быть $n+1$ аффинно независимые точки в $\mathbb {R} ^{n}$, т. е. векторы $(p_{1}-p_{0}),(p_{2}-p_{0}),\dots (p_{n}-p_{0})$ независимы линейно . Набор ${\textstyle \Delta ={\Bigl \{}x\in \mathbb {R} ^{n}\;{\Big |}\;x=\sum _{i=0}^{n}t_{i}p_{i}\;with\;0\leq t_{i}\leq 1\;and\;\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\Bigr \}}}$ называется симплексом, натянутым на $p_{0},...p_{n}$. Он имеет размерность $n$ по определению. Очки $p_{0},...p_{n}$ называются вершинами $\Delta$, симплексы, натянутые на $n$ принадлежащий $n+1$ вершины называются гранями, а граница $\partial \Delta$ определяется как объединение его граней.

The $n$-мерный стандартный симплекс - это симплекс, натянутый на единичные векторы $e_{0},...e_{n}$

Геометрические симплициальные комплексы

Геометрический симплициальный комплекс ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ представляет собой набор геометрических симплексов таких, что

• Если $S$ является симплексом в ${\mathcal {S}}$, то все его грани находятся в ${\mathcal {S}}$.
• Если $S,T$ два различных симплекса в ${\mathcal {S}}$, их внутренности не пересекаются.

Объединение всех симплексов в ${\mathcal {S}}$ дает набор точек ${\mathcal {S}}$, обозначенный ${\textstyle |{\mathcal {S}}|=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S.}$ Этот набор $|{\mathcal {S}}|$ наделен топологией путем выбора замкнутых множеств в качестве $\{A\subseteq |{\mathcal {S}}|\;\mid \;A\cap \Delta$ закрыто для всех $\Delta \in {\mathcal {S}}\}$. Обратите внимание, что в общем случае эта топология не совпадает с топологией подпространства, которая $|{\mathcal {S}}|$ наследует от $\mathbb {R} ^{n}$. Топологии совпадают в том случае, если каждая точка комплекса лежит только в конечном числе симплексов.

Каждый геометрический комплекс можно связать с абстрактным комплексом, выбрав в качестве основного множества $V$ множество вершин, входящих в любой симплекс ${\mathcal {S}}$ и как система подмножеств подмножества $V$ которые соответствуют множествам вершин симплексов в ${\mathcal {S}}$.

Естественный вопрос: соответствует ли, наоборот, любой абстрактный симплициальный комплекс геометрическому комплексу? В общем, упомянутая здесь геометрическая конструкция недостаточно гибка: рассмотрим, например, абстрактный симплициальный комплекс бесконечной размерности. Однако следующая более абстрактная конструкция обеспечивает топологическое пространство для любого вида абстрактного симплициального комплекса:

Позволять ${\mathcal {T}}$ быть абстрактным симплициальным комплексом над множеством $V$. Выберите объединение симплексов $(\Delta _{F})_{F\in {\mathcal {T}}}$, но каждый в $\mathbb {R} ^{N}$ достаточно большой размерности, такой, что геометрический симплекс $\Delta _{F}$ имеет размерность $n$ если абстрактный геометрический симплекс $F$ имеет размерность $n$. Если $E\subset F$, $\Delta _{E}\subset \mathbb {R} ^{N}$можно узнать по лицу $\Delta _{F}\subset \mathbb {R} ^{M}$ и полученное топологическое пространство представляет собой склейку $\Delta _{E}\cup _{i}\Delta _{F}$ Производя склейку каждого включения, получаем искомое топологическое пространство.

Двумерный геометрический симплициальный комплекс с вершиной V, связью (V) и звездой (V) выделен красным и розовым цветом.

Как и в предыдущей конструкции, по топологии, индуцированной склейкой, замкнутыми множествами в этом пространстве являются подмножества, замкнутые в топологии подпространств каждого симплекса $\Delta _{F}$ в комплексе.

Симплициальный комплекс ${\mathcal {T_{n}}}$ который состоит из всех симплексов ${\mathcal {T}}$ размера $\leq n$ называется $n$-й скелет ${\mathcal {T}}$.

Естественная окрестность вершины $v\in V$ в симплициальном комплексе ${\mathcal {S}}$ считается дарованным звездой $\operatorname {star} (v)=\{L\in {\mathcal {S}}\;\mid \;v\in L\}$ симплекса, границей которого является зацепление $\operatorname {link} (v)$.

Симплициальные карты

Отображения, рассматриваемые в этой категории, являются симплициальными: пусть ${\mathcal {K}}$, ${\mathcal {L}}$ быть абстрактными симплициальными комплексами над множествами $V_{K}$, $V_{L}$. Симплициальное отображение — это функция $f:V_{K}\rightarrow V_{L}$ который отображает каждый симплекс в ${\mathcal {K}}$ на симплекс в ${\mathcal {L}}$. Путем аффинно-линейного расширения на симплексах $f$ индуцирует отображение между геометрическими реализациями комплексов.

Примеры

• Позволять $W=\{a,b,c,d,e,f\}$ и пусть ${\mathcal {T}}={\Big \{}\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{e\},\{f\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{a,e\},\{a,f\}{\Big \}}$. Соответствующий геометрический комплекс представляет собой звезду с центром $\{a\}$.
• Позволять $V=\{A,B,C,D\}$ и пусть ${\mathcal {S}}={\mathcal {P}}(V)$. Его геометрическая реализация $|{\mathcal {S}}|$ представляет собой тетраэдр .
• Позволять $V$ как указано выше, и пусть ${\mathcal {S}}'=\;{\mathcal {P}}({\mathcal {V}})\setminus \{A,B,C,D\}$. Геометрический симплициальный комплекс - это граница тетраэдра. $|{\mathcal {S'}}|=\partial |{\mathcal {S}}|$.

Определение

Триангуляция топологического пространства $X$ является гомеоморфизмом $t:|{\mathcal {T}}|\rightarrow X$ где ${\mathcal {T}}$ является симплициальным комплексом. Топологические пространства не обязательно допускают триангуляцию, а если и допускают, то она не обязательно уникальна.

Примеры

• Симплициальные комплексы можно триангулировать по тождеству.
• Позволять ${\mathcal {S}},{\mathcal {S'}}$ быть как в примерах, показанных выше. Закрытый единичный шар $\mathbb {D} ^{3}$ гомеоморфен тетраэдру, поэтому допускает триангуляцию, а именно гомеоморфизм $t:|{\mathcal {S}}|\rightarrow \mathbb {D} ^{3}$. Ограничение $t$ к $|{\mathcal {S}}'|$ дает гомеоморфизм $t':|{\mathcal {S}}'|\rightarrow \mathbb {S} ^{2}$.

Двумерная сфера и триангуляция

• Тор ​ $\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$ допускает триангуляцию. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим тор как квадрат, параллельные грани которого склеены. Этот квадрат можно триангулировать, как показано ниже:

  

  Двумерный тор, представленный как склейка квадрата через карту g, определяющая его противоположные узлы.

• Проективная плоскость $\mathbb {P} ^{2}$ допускает триангуляцию (см. CW-комплексы)
• Можно показать, что дифференцируемые многообразия допускают триангуляции.

Инварианты

Триангуляции пространств позволяют сопоставлять пространствам комбинаторные инварианты, выходящие из соответствующих им симплициальных комплексов. Это характеристики, которые равны для комплексов, которые изоморфны посредством симплициального отображения и, следовательно, имеют одинаковую комбинаторную структуру.

Эти данные могут быть полезны для классификации топологических пространств с точностью до гомеоморфизма, но только при условии, что характеристики также являются топологическими инвариантами, то есть не зависят от выбранной триангуляции. Для приведенных здесь данных это так. Подробности и ссылку на сингулярные гомологии см. в топологической инвариантности.

Гомология

С помощью триангуляции можно назначить цепной комплекс топологическим пространствам, которые возникают из его симплициального комплекса, и вычислить его симплициальные гомологии . Компактные пространства всегда допускают конечные триангуляции, поэтому их группы гомологий конечно порождены и лишь конечное число из них не обращаются в нуль. Другие данные, такие как числа Бетти или характеристики Эйлера, могут быть получены из гомологии.

Бетти и

Позволять $|{\mathcal {S}}|$ быть конечным симплициальным комплексом. $n$-е число Бетти $b_{n}({\mathcal {S}})$ определяется ранг как $n$-я симплициальная группа гомологии пространств. Эти числа кодируют геометрические свойства пространств: число Бетти. $b_{0}({\mathcal {S}})$ например, представляет количество связанных компонентов. Для триангулированных замкнутых ориентируемых поверхностей $F$, $b_{1}(F)=2g$ держится там, где $g$ обозначает род поверхности: Следовательно, ее первое число Бетти представляет собой удвоенное количество ручек поверхности.

С учетом комментариев выше, для компактов все числа Бетти конечны и почти все равны нулю. Следовательно, можно составить их знакопеременную сумму

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}b_{k}({\mathcal {S}})$

которая называется эйлеровой характеристикой комплекса, запоминающимся топологическим инвариантом.

инвариантность

Чтобы использовать эти инварианты для классификации топологических пространств с точностью до гомеоморфизма, необходима инвариантность характеристик относительно гомеоморфизма.

Известным подходом к этому вопросу стала в начале 20 века попытка показать, что любые две триангуляции одного и того же топологического пространства допускают общее подразделение . Это предположение известно как Hauptvermutung ( нем. «Основное предположение»). Позволять $|{\mathcal {L}}|\subset \mathbb {R} ^{N}$ быть симплициальным комплексом. Комплекс $|{\mathcal {L'}}|\subset \mathbb {R} ^{N}$ говорят, что это подразделение ${\mathcal {L}}$ если:

• каждый симплекс ${\mathcal {L'}}$ содержится в симплексе ${\mathcal {L}}$ и
• каждый симплекс ${\mathcal {L}}$ является конечным объединением симплексов в ${\mathcal {L'}}$ .

Эти условия гарантируют, что подразделения не изменят симплициальный комплекс как набор или топологическое пространство. Карта $f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}$ между симплициальными комплексами называется кусочно-линейным, если существует уточнение ${\mathcal {K'}}$ из ${\mathcal {K}}$ такой, что $f$ кусочно линейна на каждом симплексе ${\mathcal {K}}$. Два комплекса, соответствующие другому посредством кусочно-линейной биекции, называются комбинаторно-изоморфными. В частности, два комплекса, имеющие общее уточнение, комбинаторно эквивалентны. Группы гомологий инвариантны по отношению к комбинаторной эквивалентности, и поэтому Hauptvermutung даст топологическую инвариантность симплициальных групп гомологий. В 1918 году Александер ввел понятие сингулярной гомологии. В дальнейшем большинство инвариантов, возникающих в результате триангуляции, были заменены инвариантами, возникающими из сингулярных гомологий. Для этих новых инвариантов можно показать, что они инвариантны относительно гомеоморфизма и даже относительно гомотопической эквивалентности . Кроме того, было показано, что сингулярные и симплициальные группы гомологий совпадают. Этот обходной путь показал инвариантность данных к гомеоморфизму. Hauptvermutung утратил свое значение, но стал исходным для новой ветви топологии: кусочно-линейной топологии (короткой PL-топологии).

Основная

Hauptvermutung ( по-немецки «основная гипотеза» ) утверждает, что две триангуляции всегда допускают общее подразделение. Первоначально его целью было доказать инвариантность комбинаторных инвариантов относительно гомеоморфизмов. Предположение о том, что такие подразделения вообще существуют, интуитивно понятно, поскольку подразделения легко построить для простых пространств, например, для многообразий малой размерности. Действительно, предположение было доказано для многообразий размерности $\leq 3$ и для дифференцируемых многообразий, но в целом было опровергнуто: Важный инструмент, показывающий, что триангуляции не допускают общего подразделения. я. е лежащие в их основе комплексы не комбинаторно изоморфны — это комбинаторный инвариант кручения Райдемайстера.

Рейдемейстер-торсион

Чтобы опровергнуть Hauptvermutung, полезно использовать комбинаторные инварианты, которые не являются топологическими инвариантами. Известный пример — кручение Рейдемейстера. Его можно присвоить кортежу $(K,L)$ CW-комплексов: Если $L=\emptyset$ эта характеристика будет топологическим инвариантом, но если $L\neq \emptyset$ в общем нет. Подход к Hauptvermutung заключался в поиске гомеоморфных пространств с разными значениями кручения Райдемейстера. Этот инвариант изначально использовался для классификации линзовых пространств, и первые контрпримеры к Hauptvermutung были построены на основе линзовых пространств:

Классификация линзовых пространств

В своей первоначальной формулировке линзовые пространства представляют собой 3-многообразия, построенные как фактор-пространства 3-сферы: Пусть $p,q$ быть натуральными числами, такими что $p,q$ взаимнопросты. Пространство линзы $L(p,q)$ определяется как пространство орбит действия свободной группы

$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \times S^{3}\to S^{3}$

$(k,(z_{1},z_{2}))\mapsto (z_{1}\cdot e^{2\pi ik/p},z_{2}\cdot e^{2\pi ikq/p})$.

Для разных кортежей $(p,q)$линзовые пространства будут гомотопически эквивалентными, но не гомеоморфными. Поэтому их нельзя выделить с помощью классических инвариантов как фундаментальной группы, а использовать кручение Райдемайстера.

Два пространства для линз $L(p,q_{1}),L(p,q_{2})$ гомеоморфны тогда и только тогда, когда $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}$. Это тот случай, когда два линзовых пространства просты-гомотопически эквивалентны . Этот факт можно использовать для построения контрпримеров для Hauptvermutung следующим образом. Предположим, есть пробелы $L'_{1},L'_{2}$ полученные из негомеоморфных линзовых пространств $L(p,q_{1}),L(p,q_{2})$имеющие различное кручение Райдемейстера. Предположим далее, что модификация в $L'_{1},L'_{2}$ не влияет на кручение Райдемейстера, но так, что после модификации $L'_{1}$ и $L'_{2}$ гомеоморфны. Полученные пробелы опровергнут Hauptvermutung.

Существование триангуляции

Помимо вопроса о конкретных триангуляциях для вычислительных задач, существуют утверждения о пространствах, которые легче доказать, поскольку они являются симплициальными комплексами. Особый интерес представляют многообразия. Топологические многообразия размерности $\leq 3$ всегда триангулируемы но существуют нетриангулируемые многообразия размерности $n$, для $n$ произвольно, но больше трех. Далее, дифференцируемые многообразия всегда допускают триангуляции.

Кусочно-линейные конструкции

Многообразия — важный класс пространств. Естественно потребовать от них не только триангуляции, но и допускать кусочно-линейный атлас — PL-структуру:

Позволять $|X|$ быть симплициальным комплексом, каждая точка которого имеет открытую окрестность $U$ такая, что существует триангуляция $U$ и кусочно-линейный гомеоморфизм $f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$. Затем $|X|$ называется кусочно-линейным (PL) многообразием размерности $n$ а триангуляция вместе с PL-атласом называется PL-структурой на $|X|$.

Важная лемма состоит в следующем:

Позволять $X$ быть топологическим пространством. Это эквивалентно

1. $X$ это $n$-мерное многообразие и допускает PL-структуру.
2. Существует триангуляция $X$ такая, что ссылка каждой вершины является $n-1$ сфера.
3. Для каждой триангуляции $X$ ссылка каждой вершины является $n-1$ сфера.

Эквивалентность второго и третьего утверждений обусловлена ​​тем, что зацепление вершины не зависит от выбранной триангуляции с точностью до комбинаторного изоморфизма. Можно показать, что дифференцируемые многообразия допускают PL-структуру так же, как и многообразия размерности $\leq 3$. Контрпримеры к гипотезе о триангуляции, конечно же, являются контрпримерами к гипотезе о существовании PL-структуры.

Более того, существуют примеры триангулированных пространств, не допускающих PL-структуры. Рассмотрим $n-2$-мерная PL-гомологическая сфера $X$. Двойная подвеска $S^{2}X$ является топологическим $n$-сфера. Выбор триангуляции $t:|{\mathcal {S}}|\rightarrow S^{2}X$ полученный с помощью операции надстройки над триангуляциями, полученный симплициальный комплекс не является PL-многообразием, поскольку существует вершина $v$ такой, что $link(v)$ это не $n-1$ сфера.

Вопрос, возникающий при определении, заключается в том, всегда ли PL-структуры уникальны: даны две PL-структуры для одного и того же пространства. $Y$, существует ли гомеоморфизм $F:Y\rightarrow Y$ которая является кусочно-линейной относительно обеих PL-структур? Это предположение похоже на Hauptvermutung, и действительно существуют пространства, которые имеют разные PL-структуры, которые не эквивалентны. Триангуляцию PL-эквивалентных пространств можно преобразовать друг в друга с помощью движений Пахнера:

Пахнер

Одно движение Пахнера заменяет два тетраэдра на три тетраэдра.

Движения Пачнера — это способ манипулировать триангуляциями: пусть ${\mathcal {S}}$ быть симплициальным комплексом. Для двух симплексов $K,L$ Присоединяйтесь ​

$K*L={\Big \{}tk+(1-t)l\;|\;k\in K,l\in L\;t\in [0,1]{\Big \}}$ точки лежат на прямых между точками в $K$ и в $L$. Выбирать $S\in {\mathcal {S}}$ такой, что $lk(S)=\partial K$ для любого $K$ лежит не в ${\mathcal {S}}$. Новый комплекс ${\mathcal {S'}}$, можно получить заменой $S*\partial K$ к $\partial S*K$. Эта замена называется ходом Пачнера. Теорема Пахнера утверждает, что всякий раз, когда два триангулированных многообразия PL-эквивалентны, существует серия движений Пахнера, переводящих одно в другое.

Клеточные комплексы

Вещественная проективная плоскость как симплициальный комплекс и как CW-комплекс. В виде CW-комплекса его можно получить, сначала склеив $\mathbb {D} ^{0}$ и $\mathbb {D} ^{1}$ чтобы получить 1-сферу, а затем прикрепить диск $\mathbb {D} ^{2}$ по карте $g:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow \mathbb {S} ^{1},e^{ix}\mapsto e^{2ix}$.

Аналогичной, но более гибкой, чем симплициальные комплексы, конструкцией являются клеточные комплексы (или CW-комплексы). Его конструкция следующая:

Ан $n$-ячейка закрытая $n$-мерный единичный шар $B_{n}=[0,1]^{n}$, открытый $n$-клетка является ее внутренней $B_{n}=[0,1]^{n}\setminus \mathbb {S} ^{n-1}$. Позволять $X$ — топологическое пространство, пусть $f:\mathbb {S} ^{n-1}\rightarrow X$ быть непрерывным отображением. Склеивание $X\cup _{f}B_{n}$ Говорят, что его получают путем склеивания $n$-клетка.

Клеточный комплекс – это объединение $X=\cup _{n\geq 0}X_{n}$ топологических пространств таких, что

• $X_{0}$ представляет собой дискретное множество
• каждый $X_{n}$ получается из $X_{n-1}$ приклеив семейство $n$-клетки.

Каждый симплициальный комплекс является CW-комплексом, обратное неверно. Построение CW-комплексов можно использовать для определения клеточной гомологии и показать, что клеточная гомология и симплициальная гомология совпадают. Для вычислительных задач иногда проще предположить, что пространства являются CW-комплексами, и определить их гомологию посредством клеточного разложения, примером является проективная плоскость. $\mathbb {P} ^{2}$: Для его построения как CW-комплекса требуется три ячейки, тогда как его симплициальный комплекс состоит из 54 симплексов.

Другие приложения

Классификация коллекторов

Путем триангуляции одномерных многообразий можно показать, что они всегда гомеоморфны непересекающимся копиям вещественной прямой и единичной сферы. $\mathbb {S} ^{1}$. Более того, поверхности, т. е. 2-многообразия, можно полностью классифицировать: Пусть $S$ быть компактной поверхностью.

• Если $S$ ориентируем, он гомеоморфен 2-сфере с $n$ торы измерения $2$ прилагается, для некоторых $n\geq 0$.
• Если $S$ неориентируем, он гомеоморфен бутылке Клейна с $n$ торы измерения $2$ прилагается, для некоторых $n\geq 0$.

Чтобы доказать эту теорему, строят фундаментальный многоугольник поверхности: это можно сделать, используя симплициальную структуру, полученную в результате триангуляции.

Отображения симплициальных комплексов

Придание пространствам структуры симплициальной структуры может помочь понять карты, определенные в пространствах. На основании теоремы о симплициальной аппроксимации карты часто можно считать симплициальными:

Симплициальная аппроксимация

Позволять ${\mathcal {K}}$, ${\mathcal {L}}$ быть абстрактными симплициальными комплексами над множествами $V_{K}$, $V_{L}$. Симплициальное отображение — это функция $f:V_{K}\rightarrow V_{L}$ который отображает каждый симплекс в ${\mathcal {K}}$ на симплекс в ${\mathcal {L}}$. Путем аффинно-линейного расширения на симплексах $f$ индуцирует отображение между геометрическими реализациями комплексов. Каждая точка геометрического комплекса лежит внутри ровно одного симплекса — его опоры. Рассмотрим теперь непрерывное отображение $f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}$. Симплициальная карта $g:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}$ называется симплициальной аппроксимацией $f$ тогда и только тогда, когда каждый $x\in {\mathcal {K}}$ отображается с помощью $g$ на поддержку $f(x)$ в ${\mathcal {L}}$. Если такое приближение существует, можно построить гомотопию $H$ преобразование $f$ в $g$ определив его на каждом симплексе; там оно всегда существует, поскольку симплексы сжимаемы.

Теорема симплициальной аппроксимации гарантирует для каждой непрерывной функции $f:V_{K}\rightarrow V_{L}$ существование симплициального приближения, по крайней мере, после уточнения ${\mathcal {K}}$, например, заменив ${\mathcal {K}}$ путем его повторного барицентрического подразделения. Теорема играет важную роль для некоторых утверждений алгебраической топологии, чтобы уменьшить поведение непрерывных отображений на поведение симплициальных отображений, например, в теореме Лефшеца о неподвижной точке.

Лефшеца о

Число Лефшеца — полезный инструмент для определения того, имеет ли непрерывная функция фиксированные точки. Эти данные вычисляются следующим образом: Предположим, что $X$ и $Y$ являются топологическими пространствами, допускающими конечные триангуляции. Непрерывная карта $f:X\rightarrow Y$ индуцирует гомоморфизмы $f_{i}:H_{i}(X,K)\rightarrow H_{i}(Y,K)$ между ее симплициальными группами гомологии с коэффициентами в поле $K$. Это линейные карты между $K$-векторные пространства, поэтому их след $tr_{i}$ могут быть определены и их знакопеременная сумма

$L_{K}(f)=\sum _{i}(-1)^{i}tr_{i}(f)\in K$

называется Лефшеца числом $f$. Если $f=id$, это число является эйлеровой характеристикой $K$. Теорема о неподвижной точке утверждает, что всякий раз, когда $L_{K}(f)\neq 0$, $f$ имеет фиксированную точку. В доказательстве это сначала показано только для симплициальных отображений, а затем обобщается на любые непрерывные функции с помощью аппроксимационной теоремы. Теорема Брауэра о неподвижной точке рассматривает случай, когда $f:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow \mathbb {D} ^{n}$ является эндоморфизмом единичного шара. Для $k\geq 1$ все его группы гомологии $H_{k}(\mathbb {D} ^{n})$ исчезает, и $f_{0}$ всегда тождество, поэтому $L_{K}(f)=tr_{0}(f)=1\neq 0$, так $f$ имеет фиксированную точку.

Формула Римана-Гурвица

Формула Римана-Гурвица позволяет определить род компактной связной римановой поверхности. $X$ без использования явной триангуляции. Для доказательства необходимо существование триангуляций поверхностей в абстрактном смысле: пусть $F:X\rightarrow Y$ — непостоянная голоморфная функция на поверхности известного рода. Отношения между родами $g$ поверхностей $X$ и $Y$ является

$2g(X)-2=deg(F)(2g(Y)-2)\sum _{x\in X}(ord(F)-1)$

где $deg(F)$ обозначает степень отображения. Сумма четко определена, поскольку она учитывает только точки ветвления функции.

В основе этой формулы лежит то, что голоморфные функции на римановых поверхностях являются разветвленными накрытиями. Формулу можно найти, рассматривая изображение симплициальной структуры вблизи точек ветвления.

См. также

• Триангуляция (геометрия)
• Треугольная сетка

Литература

• Аллен Хэтчер: алгебраическая топология , Издательство Кембриджского университета, Кембридж/Нью-Йорк/Мельбурн, 2006, ISBN 0-521-79160-X
• Джеймс Р. Манкрес: . Группа 1984. Аддисон Уэсли, Менло-Парк, Калифорния, 1984, ISBN 0-201-04586-9.
• Маршалл М. Коэн: Курс теории простой гомотопии . В: Тексты для аспирантов по математике . 1973, ISSN 0072-5285, номер номера : 10.1007/978-1-4684-9372-6.