Симплициальная гомология

В алгебраической топологии симплициальные гомологии — это последовательность групп гомологий симплициального комплекса . Он формализует представление о количестве дырок заданной размерности в комплексе. Это обобщает количество компонент связности (случай размерности 0).

Симплициальные гомологии возникли как способ изучения топологических пространств , строительными блоками которых являются n - симплексы , n -мерные аналоги треугольников. Сюда входят точка (0-симплекс), отрезок прямой (1-симплекс), треугольник (2-симплекс) и тетраэдр (3-симплекс). По определению такое пространство гомеоморфно симплициальному комплексу (точнее, геометрической реализации абстрактного симплициального комплекса ). Такой гомеоморфизм называется триангуляцией данного пространства. Многие интересующие топологические пространства могут быть триангулированы, включая любое гладкое многообразие (Кэрнс и Уайтхед ).

Симплициальная гомология определяется простым рецептом для любого абстрактного симплициального комплекса. Примечательно, что симплициальные гомологии зависят только от соответствующего топологического пространства. В результате это дает вычислимый способ отличить одно пространство от другого.

Определения

Берутся граница границы 2-симплекса (слева) и граница 1-цепи (справа). Оба равны 0, поскольку представляют собой суммы, в которых как положительное, так и отрицательное 0-симплекса встречаются один раз. Граница границы всегда равна 0. Нетривиальный цикл — это нечто, что замыкается, как граница симплекса, в том смысле, что сумма его границы равна 0, но на самом деле это не граница симплекса или цепи. Поскольку тривиальные 1-циклы эквивалентны 0 в $H_{1}$, 1-цикл в правой середине гомологичен своей сумме с границей 2-симплекса слева.

Ориентации

Ключевым понятием в определении симплициальной гомологии является понятие ориентации симплекса . По определению, ориентация k -симплекса задается упорядочением вершин, записанным как ( v ₀ ,..., v _k ), с правилом, согласно которому два порядка определяют одну и ту же ориентацию тогда и только тогда, когда они отличаются на четная перестановка . Таким образом, каждый симплекс имеет ровно две ориентации, и изменение порядка двух вершин меняет ориентацию на противоположную. Например, выбор ориентации 1-симплекса означает выбор одного из двух возможных направлений, а выбор ориентации 2-симплекса означает выбор того, что должно означать «против часовой стрелки».

Цепи

Пусть S — симплициальный комплекс. Симплициальная — k -цепь это конечная формальная сумма

$\sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,$

где каждый c _i — целое число, а σ _i — ориентированный k -симплекс. В этом определении мы заявляем, что каждый ориентированный симплекс равен отрицательному симплексу с противоположной ориентацией. Например,

$(v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).$

Группа k на S обозначается Ck _. - цепей Это свободная абелева группа , имеющая базис во взаимно однозначном соответствии с множеством k -симплексов в S . Чтобы явно определить базис, необходимо выбрать ориентацию каждого симплекса. Один из стандартных способов сделать это — выбрать порядок всех вершин и придать каждому симплексу ориентацию, соответствующую индуцированному порядку его вершин.

Границы и циклы

Пусть σ = ( v ₀ ,..., v _k ) — ориентированный k -симплекс, рассматриваемый как базисный элемент C _k . Граничный оператор

$\partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}$

является гомоморфизмом, определяемым:

$\partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),$

где ориентированный симплекс

$(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})$

это я ^й грань σ , полученная удалением ее i ^й вершина.

В C _k элементы подгруппы

$Z_{k}:=\ker \partial _{k}$

называются циклами , а подгруппа

$B_{k}:=\operatorname {im} \partial _{k+1}$

Говорят, что оно состоит из границ .

Границы границ

Потому что $(-1)^{i+j-1}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,{\widehat {\widehat {v_{j}}}},\dots ,v_{k})=-(-1)^{i+j}(v_{0},\dots ,{\widehat {\widehat {v_{i}}}},\dots ,{\widehat {v_{j}}},\dots ,v_{k})$, где ${\widehat {\widehat {v_{x}}}}$ удалено ли второе лицо, $\partial ^{2}=0$. В геометрических терминах это говорит о том, что граница чего-либо не имеет границы. Эквивалентно, абелевы группы

$(C_{k},\partial _{k})$

образуют цепной комплекс . эквивалентное утверждение состоит в том, что содержится _Bk в Zk _. Другое

В качестве примера рассмотрим тетраэдр с вершинами, ориентированными как w,x,y,z . По определению, его граница определяется формулой: xyz - wyz + wxz - wxy . Граница границы задается формулой: (yz-xz+xy)-(yz-wz+wy)+(xz-wz+wx)-(xy-wy+wx) = 0 .

Симплициальный комплекс с двумя 1-дырками

Группы гомологии

К ​ ^й группа гомологий H _k группы S определяется как факторабелева группа

$H_{k}(S)=Z_{k}/B_{k}\,.$

что группа гомологий Hk _{Отсюда следует ,} ( S ) существуют k -циклы отлична от нуля в точности тогда, когда на S , не являющиеся границами. есть k В каком-то смысле это означает, что в комплексе -мерные дыры. Например, рассмотрим комплекс S , полученный склейкой двух треугольников (без внутренней части) по одному краю, как показано на изображении. Края каждого треугольника можно ориентировать так, чтобы образовать цикл. Эти два цикла по построению не являются границами (поскольку каждая 2-цепь равна нулю). Можно вычислить, что группа гомологий H ₁ ( S ) изоморфна Z ² , с базисом, заданным двумя упомянутыми циклами. Это уточняет неформальную идею о том, что S имеет две «одномерные дыры».

Отверстия могут быть разных размеров. Ранг ​ к ​ ^й группа гомологий, число

$\beta _{k}=\operatorname {rank} (H_{k}(S))\,$

называется к ^й Бетти Число S . Он дает меру количества k дыр в S. - мерных

Пример

Группы гомологии треугольника

Пусть S — треугольник (без внутренней части), рассматриваемый как симплициальный комплекс. Таким образом, , три ребра _и , которые _{симплексами} являются одномерными _{S имеет три вершины, которые мы называем v0, v1, v2} . вычислить группы гомологии S , мы начнем с описания цепных групп Ck _Чтобы :

• C ₀ изоморфен Z ³ с базисом ( v ₀ ), ( v ₁ ), ( v ₂ ),
• C ₁ изоморфен Z ³ с базисом, заданным ориентированными 1-симплексами ( v ₀ , v ₁ ) , ( v ₀ , v ₂ ) и ( v ₁ , v ₂ ) .
• C ₂ — тривиальная группа, так как не существует симплекса типа $(v_{0},v_{1},v_{2})$ потому что треугольник предполагался без своей внутренней части. То же самое относится и к цепным группам в других измерениях.

Граничный гомоморфизм ∂ : C ₁ → C ₀ задается формулой:

$\partial (v_{0},v_{1})=(v_{1})-(v_{0})$

$\partial (v_{0},v_{2})=(v_{2})-(v_{0})$

$\partial (v_{1},v_{2})=(v_{2})-(v_{1})$

Поскольку C ₋₁ = 0 , каждая 0-цепь является циклом (т. е. Z ₀ = C ₀ ); более того, группа B ₀ 0-границ порождается тремя элементами справа от этих уравнений, создавая двумерную подгруппу C ₀ . Таким образом, 0-я группа гомологий H ₀ ( S ) = Z ₀ / B ₀ изоморфна Z с базисом, заданным (например) образом 0-цикла ( v ₀ ). Действительно, в факторгруппе все три вершины становятся равными; это выражает тот факт, S связен что .

Далее, группа 1-циклов является ядром гомоморфизма ∂, приведенного выше, который изоморфен Z , с базисом, заданным (например) ( v ₀ , v ₁ ) − ( v ₀ , v ₂ ) + ( v ₁ , т ₂ ) . (Изображение показывает, что этот 1-цикл огибает треугольник в одном из двух возможных направлений.) Поскольку C ₂ = 0 , группа 1-границ равна нулю, и поэтому 1-я группа гомологий H ₁ ( S ) изоморфна. до Z ≅ Z. / 0 Это уточняет идею о том, что треугольник имеет одно одномерное отверстие.

Далее, поскольку по определению нет 2-циклов, C ₂ = 0 ( тривиальная группа ). Поэтому 2-я группа гомологий H ₂ ( S ) равна нулю. То же самое верно для H _i ( S ) для всех i, не равных 0 или 1. Следовательно, гомологическая связность треугольника равна 0 (это наибольшее k , для которого приведенные группы гомологии до k тривиальны).

высокой размерности

Пусть S — тетраэдр (без внутренней части), рассматриваемый как симплициальный комплекс. Таким образом, S имеет четыре 0-мерных вершины, шесть 1-мерных ребер и четыре 2-мерных грани. Подробно построение групп гомологии тетраэдра описано здесь. Оказывается, ( _{изоморфна} S ) изоморфна Z , H2 ( _H0 S ) тоже Z , а все остальные группы тривиальны. Следовательно, гомологическая связность тетраэдра равна 0.

Если тетраэдр содержит свою внутренность, то H ₂ ( S ) тоже тривиален.

В общем случае, если S — d -мерный симплекс, справедливо следующее:

• Если S рассматривать без своей внутренности, то H ₀ ( S ) = Z и H _{d −1} ( S ) = Z и все остальные гомологии тривиальны;
• Если S рассматривать вместе с его внутренностью, то H ₀ ( S ) = Z и все остальные гомологии тривиальны.

Симплициальные карты

Основная статья: Упрощенная карта

Пусть S и T — симплициальные комплексы . Симплициальное отображение f из S в T — это функция множества вершин S в множество вершин T такая, что образ каждого симплекса в S (рассматриваемый как набор вершин) является симплексом в T . Симплициальное отображение f : S → T определяет гомоморфизм групп гомологии H _k ( S ) → H _k ( T ) для каждого целого числа k . Это гомоморфизм, связанный с цепным отображением цепного комплекса S в цепной комплекс T . Явно это отображение цепей задается на k -цепях формулой

$f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))$

если f ( v ₀ ), ..., f ( v _k ) различны, и в противном случае f (( v ₀ , ..., v _k )) = 0 .

Эта конструкция превращает симплициальные гомологии в функтор от симплициальных комплексов к абелевым группам. Это важно для приложений теории, включая теорему Брауэра о неподвижной точке и топологическую инвариантность симплициальных гомологий.

Родственные гомологии

Сингулярные гомологии — это родственная теория, которая лучше адаптирована к теории, а не к вычислениям. Сингулярные гомологии определены для всех топологических пространств и зависят только от топологии, а не от какой-либо триангуляции; и это согласуется с симплициальной гомологией для пространств, которые можно триангулировать. Тем не менее, поскольку симплициальную гомологию симплициального комплекса можно вычислить автоматически и эффективно, симплициальная гомология стала важной для применения в реальных ситуациях, таких как анализ изображений , медицинская визуализация и анализ данных в целом.

Другая родственная теория — клеточная гомология .

Приложения

Стандартный сценарий во многих компьютерных приложениях представляет собой набор точек (измерений, темных пикселей на растровой карте и т. д.), в которых необходимо найти топологический признак. Гомология может служить качественным инструментом для поиска такой особенности, поскольку ее легко вычислить на основе комбинаторных данных, таких как симплициальный комплекс. Однако точки данных сначала должны быть триангулированы , то есть данные заменяются симплициальной комплексной аппроксимацией. Вычисление стойкой гомологии включает анализ гомологии при различных разрешениях, регистрацию классов гомологии (дырок), которые сохраняются при изменении разрешения. Такие функции можно использовать для обнаружения структур молекул, опухолей в рентгеновских лучах и кластерных структур в сложных данных.

В более общем плане симплициальная гомология играет центральную роль в топологическом анализе данных — методе в области интеллектуального анализа данных .

Реализации

• Точное и эффективное вычисление симплициальной гомологии больших симплициальных комплексов можно выполнить с помощью GAP Simplicial Homology.
• набор инструментов MATLAB для вычисления устойчивой гомологии Plex ( Вин де Сильва , Гуннар Карлссон ). доступен На этом сайте
• Автономные реализации на C++ доступны как часть программных проектов Perseus , Dionysus и PHAT .
• Для Python существуют такие библиотеки, как scikit-tda , Persim , giotto-tda и GUDHI , последняя нацелена на генерацию топологических функций для машинного обучения . Их можно найти в репозитории PyPI .

См. также

• Симплициальная гомотопия

Внешние ссылки

• Топологические методы в научных вычислениях
• Вычислительная гомология (также кубическая гомология)