Гомологическая связность

В алгебраической топологии гомологическая связность — это свойство, описывающее топологическое пространство на основе его групп гомологий .

Определения

Предыстория

X если гомологически связен, его 0-я группа гомологий равна Z , т.е. $H_{0}(X)\cong \mathbb {Z}$или, что то же самое, его 0-я гомологий приведенная группа тривиальна : ${\tilde {H_{0}}}(X)\cong 0$.

• Например, когда X — граф, а его набор связных компонентов — C , $H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|C|}$ и ${\tilde {H_{0}}}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|C|-1}$ (см. гомологии графов ). Следовательно, гомологическая связность эквивалентна графу, имеющему один компонент связности, что эквивалентно связности графа . Это похоже на понятие связного пространства .

X гомологически 1-связно, если оно гомологически связно, и, кроме того, его 1-я группа гомологий тривиальна, т. е. $H_{1}(X)\cong 0$.

• Например, когда X — связный граф с множеством вершин V и множеством ребер E , $H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|E|-|V|+1}$. Следовательно, гомологическая 1-связность эквивалентна тому, что граф является деревом . Неформально это соответствует тому, что X не имеет «дырок» с одномерной границей, что аналогично понятию односвязного пространства .

В общем, для любого целого числа k все X если гомологически k-связен, его приведенные группы гомологий порядка 0, 1, ..., k тривиальны. Обратите внимание, что приведенная группа гомологий равна группе гомологий для 1,..., k (отличается только 0-я приведенная группа гомологий).

Связь

Гомологическая связность X ≥ 0 , , обозначаемая conn _H (X) , является наибольшим k для которого X гомологически k -связен. Примеры:

• Если все приведенные группы гомологий X тривиальны, то conn _H (X) = бесконечность . Это справедливо, например, для любого шара .
• Если 0-я группа тривиальна, а 1-я группа — нет, то conn _H (X) = 0 . Это справедливо, например, для связного графа с циклом.
• Если все приведенные группы гомологий нетривиальны, то conn _H (X) = -1 . Это справедливо для любого несвязного пространства.
• Связность пустого пространства, по соглашению, равна conn _H (X) = -2 .

Некоторые вычисления становятся проще, если связность определена со смещением 2, то есть $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$. Эта пустого пространства равна 0, что является его наименьшим возможным значением. Эта любого несвязного пространства равна 1.

Зависимость от поля коэффициентов

Основное определение рассматривает группы гомологии с целыми коэффициентами. Рассмотрение групп гомологии с другими коэффициентами приводит к другим определениям связности. Например, X является F ₂ -гомологически 1-связным, если его 1-я группа гомологий с коэффициентами из F ₂ (циклическое поле размера 2) тривиальна, т.е.: $H_{1}(X;\mathbb {F} _{2})\cong 0$.

связность в

О гомологической связности симплициальных комплексов см. Симплициальные гомологии . Гомологическая связность рассчитывалась для различных пространств, в том числе:

• Комплекс независимости графа;
• Случайный двумерный симплициальный комплекс ;
• Случайный k -мерный симплициальный комплекс;
• Случайный гиперграф ;
• Случайный чешский комплекс .

с

Теорема Гуревича связывает гомологическую связность ${\text{conn}}_{H}(X)$ гомотопической связности , обозначаемой ${\text{conn}}_{\pi }(X)$.

Для любого X односвязного, т. е. ${\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1$, подключения те же:

$${\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)$$

Если X не односвязен ( ${\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0$), то имеет место неравенство:

$${\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)$$

но это может быть строго. См. Гомотопическая связность .

См. также

Игра Мешулама — это игра, в которую играют на графе G , которую можно использовать для вычисления нижней границы гомологической связности комплекса независимости G. графа