Гомотопическая связность

В алгебраической топологии гомотопическая связность — это свойство, описывающее топологическое пространство на основе размерности его дыр. В общем, низкая гомотопическая связность указывает на то, что в пространстве есть хотя бы одна низкоразмерная дыра. Понятие n -связности обобщает понятия линейной связности и простой связности .

Эквивалентное определение гомотопической связности основано на гомотопических группах пространства. Пространство называется n -связным (или n -простосвязным ), если его первые n гомотопических групп тривиальны.

Гомотопическая связность определена и для карт. Отображение называется n -связным, если оно является изоморфизмом «до размерности n в гомотопии ».

Определение с помощью отверстий

Все определения ниже рассматривают топологическое пространство X .

Неформально дырка — это в X вещь, которая не позволяет некоторой правильно расположенной сфере непрерывно сжиматься до точки. ^[1]^: 78 Эквивалентно, это сфера , которую нельзя непрерывно расширить до шара . Формально,

d -мерная сфера в X является непрерывной функцией $f_{d}:S^{d}\to X$ .
D -мерный шар в X является непрерывной функцией $g_{d}:B^{d}\to X$ .
Дырка с d-мерной границей в X — это d- мерная сфера, которая не является нульгомотопной (- не может быть непрерывно стянута в точку). Эквивалентно, это d- мерная сфера, которую нельзя непрерывно расширить до ( d +1)-мерного шара. Иногда ее называют ( d +1)-мерной дыркой ( d +1 — размерность «недостающего шара»).
X называется n -связным , если оно не содержит дырок граничной размерности d ⩽ n . ^[1]^{: 78, раздел 4.3}
Гомотопическая связность X , обозначаемая ${\text{conn}}_{\pi }(X)$ , — наибольшее целое число n, для которого X является n -связным.
Немного другое определение связности, которое упрощает некоторые вычисления: наименьшее целое число d такое, что X содержит d -мерную дыру. Этот параметр связности обозначается $\eta _{\pi }(X)$ , и он отличается от предыдущего параметра на 2, т.е. $\eta _{\pi }(X):={\text{conn}}_{\pi }(X)+2$ . ^[2]

Примеры

2-мерная дырка (дырка с 1-мерной границей) — это круг (S ¹) в X , которую нельзя непрерывно сжать до точки в X . Пример показан на рисунке справа. Желтая область — топологическое пространство X ; это пятиугольник с удаленным треугольником. это одномерная сфера в X. Синий круг — Его нельзя непрерывно сжимать до точки в X; поэтому; X имеет двумерное отверстие. Другой пример — проколотая плоскость — евклидова плоскость с удаленной единственной точкой. $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ . Чтобы сделать двумерное отверстие в трехмерном шаре, проделайте через него туннель . ^[1] В общем, пространство содержит одномерную граничную дыру тогда и только тогда, когда оно не является односвязным . Следовательно, односвязность эквивалентна 1-связности. X 0-связен, но не 1-связен, поэтому ${\text{conn}}_{\pi }(X)=0$ . Наименьший размер отверстия равен 2, поэтому $\eta _{\pi }(X)=2$ .
Трехмерное отверстие.
Трехмерное отверстие (дырка с двухмерной границей) показано на рисунке справа. Здесь X — куб (желтый) с удаленным шаром (белый). Двумерную сферу (синюю) нельзя непрерывно сжимать до одной точки. X односвязен, но не 2-связен, поэтому ${\text{conn}}_{\pi }(X)=1$ . Наименьший размер отверстия равен 3, поэтому $\eta _{\pi }(X)=3$ .

Для 1-мерной дырки (дырки с 0-мерной границей) нам нужно рассмотреть $S^{0}$ - нульмерная сфера. Что такое нульмерная сфера? - Для каждого целого числа d сфера $S^{d}$ — граница ( d +1)-мерного шара $B^{d+1}$ . Так $S^{0}$ является границей $B^{1}$ , который является отрезком [0,1]. Поэтому, $S^{0}$ представляет собой набор двух непересекающихся точек {0, 1}. Нульмерная сфера в X это просто набор двух точек в X. — Если существует такое множество, которое нельзя непрерывно сжать до одной точки в X (или непрерывно расширить до сегмента в X ), это означает, что между двумя точками нет пути, то есть X не является линейно связным. ; см. рисунок справа. Следовательно, линейно-связная эквивалентна 0-связной. X не 0-связен, поэтому ${\text{conn}}_{\pi }(X)=-1$ . Наименьший размер отверстия равен 1, поэтому $\eta _{\pi }(X)=1$ .
0-мерная дырка — это отсутствующий 0-мерный шар. 0-мерный шар — это одна точка; его граница $S^{-1}$ пустое множество. Следовательно, существование 0-мерной дыры эквивалентно пустоте пространства. Следовательно, непустое эквивалентно (-1)-связному. пространства X Для пустого ${\text{conn}}_{\pi }(X)=-2$ и $\eta _{\pi }(X)=0$ , что является его наименьшим возможным значением.
нет В шаре отверстий любого размера. Следовательно, его связность бесконечна: $\eta _{\pi }(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)=\infty$ .

Гомотопическая связность сфер

В общем случае для любого целого d числа ${\text{conn}}_{\pi }(S^{d})=d-1$ (и $\eta _{\pi }(S^{d})=d+1$ ) ^[1]^{: 79, Thm.4.3.2} Доказательство требует двух направлений:

Доказывая это ${\text{conn}}_{\pi }(S^{d})<d$ , то есть, $S^{d}$ не может быть непрерывно сведено к одной точке. Это можно доказать с помощью теоремы Борсука–Улама .
Доказывая это ${\text{conn}}_{\pi }(S^{d})\geq d-1$ , то есть, то есть каждое непрерывное отображение $S^{k}\to S^{d}$ для $k<d$ можно непрерывно сжимать к одной точке.

Определение с использованием групп

Пространство X называется n -связным при n ≥ 0, если оно непусто и все его гомотопические группы порядка d ≤ n являются тривиальной группой : $\pi _{d}(X)\cong 0,\quad -1\leq d\leq n,$ где $\pi _{i}(X)$ обозначает i - ю гомотопическую группу , а 0 обозначает тривиальную группу. ^[3] Оба определения эквивалентны. Требование к n -связному пространству состоит из требований для всех d ≤ n :

Требование d =-1 означает, что X не должно быть пустым.
Требование d =0 означает, что X должен быть путевым.
Требование любого d ≥ 1 означает, что X не содержит дыр граничной размерности d . То есть каждая d -мерная сфера в X гомотопна постоянному отображению. Следовательно, d -я гомотопическая группа X тривиальна. Верно и обратное: если X имеет дыру с d -мерной границей, то существует d -мерная сфера, не гомотопная постоянному отображению, поэтому d -я гомотопическая группа X нетривиальна. Короче говоря, X имеет дырку с d -мерной границей, если и только если $\pi _{d}(X)\not \cong 0$ Гомотопическая связность X — это наибольшее целое число n, для которого X является n -связным. ^[4]

Требования непустой и связности путей можно интерпретировать как (-1)-связные и 0-связные соответственно, что полезно при определении 0-связных и 1-связных карт, как показано ниже. 0- й гомотопический набор можно определить как:

\pi _{0}(X,*):=\left[\left(S^{0},*\right),\left(X,*\right)\right].

Это всего лишь точечное множество , а не группа, если только X само по себе не является топологической группой ; выделенная точка — это класс тривиального отображения, отправляющего S ⁰ базовой точки X. до Используя этот набор, пространство является 0-связным тогда и только тогда, когда 0-е гомотопическое множество является одноточечным. Определение гомотопических групп и этого гомотопического множества требует, чтобы X было точечным (имело выбранную базовую точку), чего невозможно сделать, если X пусто.

Топологическое пространство X является линейно связным тогда и только тогда, когда его 0-я гомотопическая группа тождественно равна нулю, поскольку линейная связность подразумевает, что любые две точки x ₁ и x ₂ в X могут быть соединены непрерывным путем , который начинается в x ₁ и заканчивается в x ₂ , что эквивалентно утверждению, что каждое отображение из S ⁰ ( дискретный набор из двух точек) в X можно непрерывно деформировать до постоянного отображения. Используя это определение, мы можем определить X как n -связный тогда и только тогда, когда

\pi _{i}(X)\simeq 0,\quad 0\leq i\leq n.

Примеры

Пространство X (−1)-связно тогда и только тогда, когда оно непусто.
Пространство X 0-связно тогда и только тогда, когда оно непусто и линейно связно .
Пространство 1-связно тогда и только тогда, когда оно односвязно .
n − -сфера ( n 1)-связна.

n -связная карта

Соответствующим относительным понятием абсолютному понятию n - связного пространства является n -связное отображение , которое определяется как отображение, гомотопический слой Ff которого является ( n − 1)-связным пространством. В терминах гомотопических групп это означает, что отображение $f\colon X\to Y$ является n -связным тогда и только тогда, когда:

$\pi _{i}(f)\colon \pi _{i}(X)\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \pi _{i}(Y)$ является изоморфизмом для $i<n$ , и
$\pi _{n}(f)\colon \pi _{n}(X)\twoheadrightarrow \pi _{n}(Y)$ это сюръективность.

Последнее условие часто сбивает с толку; это происходит потому, что обращение в нуль ( n − 1)-й гомотопической группы гомотопического слоя Ff соответствует сюръекции на n ^й гомотопические группы в точной последовательности:

\pi _{n}(X)\mathrel {\overset {\pi _{n}(f)}{\to }} \pi _{n}(Y)\to \pi _{n-1}(Ff).

Если группа справа $\pi _{n-1}(Ff)$ исчезает, то отображение слева является сюръекцией.

Низкоразмерные примеры:

Связное отображение (0-связное отображение) — это отображение, которое находится на компонентах пути (0-я гомотопическая группа); это соответствует непустости гомотопического слоя.
Односвязное отображение (1-связное отображение) — это отображение, которое является изоморфизмом на компонентах пути (0-я гомотопическая группа) и на фундаментальную группу (1-я гомотопическая группа).

n -связность пространств, в свою очередь, может быть определена через n -связность отображений: пространство X с базовой точкой x ₀ является n -связным пространством тогда и только тогда, когда включение базовой точки $x_{0}\hookrightarrow X$ является n -связным отображением. Одноточечное множество сжимаемо, поэтому все его гомотопические группы исчезают, и, таким образом, «изоморфизм ниже n и на в точке n » соответствует первых n гомотопических групп X. исчезновению

Интерпретация

Это поучительно для подмножества: включение n -связное $A\hookrightarrow X$ такое, что до размерности n − 1 гомотопии в большем пространстве X могут быть гомотопированы в гомотопии в подмножестве A .

Например, для карты включения $A\hookrightarrow X$ чтобы быть 1-связным, оно должно быть:

на $\pi _{0}(X),$
один на один $\pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X),$ и
на $\pi _{1}(X).$

Один на один вкл. $\pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X)$ означает, что если существует путь, соединяющий две точки $a,b\in A$ пройдя через X, существует путь, в A соединяющий их, а на $\pi _{1}(X)$ означает, что на самом деле путь в X гомотопен пути в A.

Другими словами, функция, являющаяся изоморфизмом на $\pi _{n-1}(A)\to \pi _{n-1}(X)$ подразумевает лишь то, что любые элементы $\pi _{n-1}(A)$ которые гомотопны в X, гомотопны абстрактно в A - гомотопия в A может быть не связана с гомотопией в X - но при этом быть n -связной (так же и на $\pi _{n}(X)$ ) означает, что (вплоть до размерности n − 1) гомотопии в X можно вставить в гомотопии в A .

Это дает более конкретное объяснение полезности определения n -связности: например, пространство, в котором включение k -скелета является n -связным (при n > k ) - например, включение точки в n -сфера - обладает тем свойством, что любые ячейки в размерах от k до n не влияют на гомотопические типы меньшей размерности.

Нижние границы

Многие топологические доказательства требуют нижних оценок гомотопической связности. Существует несколько «рецептов» доказательства таких нижних оценок.

Гомология

Теорема Гуревича связывает гомотопическую связность ${\text{conn}}_{\pi }(X)$ гомологической связности , обозначаемой ${\text{conn}}_{H}(X)$ . Это полезно для вычисления гомотопической связности, поскольку гомологические группы вычисляются проще.

Предположим сначала, что X односвязно, т. е. ${\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1$ . Позволять $n:={\text{conn}}_{\pi }(X)+1\geq 2$ ; так $\pi _{i}(X)=0$ для всех $i<n$ , и $\pi _{n}(X)\neq 0$ . Теорема Гуревича ^[5]^{: 366, Thm.4.32} говорит, что в данном случае ${\tilde {H_{i}}}(X)=0$ для всех $i<n$ , и ${\tilde {H_{n}}}(X)$ изоморфен $\pi _{n}(X)$ , так ${\tilde {H_{n}}}(X)\neq 0$ слишком. Поэтому: ${\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X).$ Если X не односвязен ( ${\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0$ ), затем ${\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)$ все еще держится. Когда ${\text{conn}}_{\pi }(X)\leq -1$ это тривиально. Когда ${\text{conn}}_{\pi }(X)=0$ (поэтому X линейно связен, но не односвязен), необходимо доказать, что ${\tilde {H_{0}}}(X)=0$ . ^{[ нужны разъяснения ]}

Неравенство может быть строгим: существуют пространства, в которых ${\text{conn}}_{\pi }(X)=0$ но ${\text{conn}}_{H}(X)=\infty$ . ^[6]

По определению, k -я группа гомологии симплициального комплекса зависит только от симплексов размерности не выше k +1 (см. симплициальные гомологии ). Следовательно, из приведенной выше теоремы следует, что симплициальный комплекс K является k -связным тогда и только тогда, когда его ( k +1)-мерный скелет (подмножество K , содержащее только симплексы размерностью не более k +1) является k -связным: ^[1]^{: 80, Поп.4.4.2.}

Присоединиться

Пусть K и L — непустые клеточные комплексы . Их соединение обычно обозначается $K*L$ . Затем: ^[1]^{: 81, Поп.4.4.3} ${\text{conn}}_{\pi }(K*L)\geq {\text{conn}}_{\pi }(K)+{\text{conn}}_{\pi }(L)+2.$

Тождество упрощается с помощью эта-нотации: $\eta _{\pi }(K*L)\geq \eta _{\pi }(K)+\eta _{\pi }(L).$ В качестве примера позвольте $K=L=S^{0}=$ совокупность двух несвязанных точек. Между точками имеется одномерное отверстие, поэтому эта равна 1 . Соединение $K*L$ — квадрат, гомеоморфный кругу, поэтому его этата равна 2 . Соединение этого квадрата с третьей копией К представляет собой октаэдр , гомеоморфный $S^{2}$ , а его эта равна 3. В общем случае объединение n копий $S^{0}$ гомеоморфен $S^{n-1}$ и его эта равна n .

Общее доказательство основано на аналогичной формуле для гомологической связности.

нерв

Пусть K ₁ ,..., K _n — абстрактные симплициальные комплексы , и обозначим их объединение через K .

Обозначим нервный комплекс { K ₁ , ... , K _n } (абстрактный комплекс, записывающий шаблон пересечения K _i ) через N .

Если для каждого непустого $J\subset I$ , пересечение ${\textstyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$ либо пусто, либо ( − | J |+1)-связно, то для каждого j ⩽ k j j -я гомотопическая группа N изоморфна -й k гомотопической группе K .

В частности, N k - связен тогда и только тогда, когда K - связен k . ^[7]^{: Thm.6}

Гомотопический принцип

В геометрической топологии случаи, когда включение геометрически определенного пространства, например пространства погружений, $M\to N,$ в более общее топологическое пространство, такое как пространство всех непрерывных отображений между двумя связанными пространствами. $X(M)\to X(N),$ Говорят, что n -связны удовлетворяют гомотопическому принципу или «h-принципу». Существует ряд мощных общих методов доказательства h-принципов.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5 . Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером. , раздел 4.3
^ Ахарони, Рон; Бергер, Эли (2006). «Пересечение матроида и симплициального комплекса» . Труды Американского математического общества . 358 (11): 4895–4917. дои : 10.1090/S0002-9947-06-03833-5 . ISSN 0002-9947 .
^ «n-связное пространство в nLab» . ncatlab.org . Проверено 18 сентября 2017 г.
^ Фрик, Флориан; Соберон, Пабло (11 мая 2020 г.). «Топологическая проблема Тверберга за пределами простых степеней». arXiv : 2005.05251 [ math.CO ].
^ Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-79160-1
^ См. пример 2.38 в книге Хэтчера. См. также этот ответ .
^ Бьёрнер, Андерс (1 апреля 2003 г.). «Нервы, волокна и гомотопические группы» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 102 (1): 88–93. дои : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN 0097-3165 .

[:03-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5 . Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером. , раздел 4.3

[2] Ахарони, Рон; Бергер, Эли (2006). «Пересечение матроида и симплициального комплекса» . Труды Американского математического общества . 358 (11): 4895–4917. дои : 10.1090/S0002-9947-06-03833-5 . ISSN 0002-9947 .

[3] «n-связное пространство в nLab» . ncatlab.org . Проверено 18 сентября 2017 г.

[4] Фрик, Флориан; Соберон, Пабло (11 мая 2020 г.). «Топологическая проблема Тверберга за пределами простых степеней». arXiv : 2005.05251 [ math.CO ].

[hatcher-5] Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-79160-1

[6] См. пример 2.38 в книге Хэтчера. См. также этот ответ .

[7] Бьёрнер, Андерс (1 апреля 2003 г.). «Нервы, волокна и гомотопические группы» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 102 (1): 88–93. дои : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN 0097-3165 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]