Гомотопический принцип

Принцип гомотопии обобщает такие результаты, как доказательство Смейла выворота сферы .

В математике принцип гомотопии (или h-принцип ) — это очень общий способ решения уравнений в частных производных (PDE) и, в более общем плане, отношений в частных производных (PDR). H-принцип хорош для недоопределенных PDE или PDR, таких как задача погружения, задача изометрического погружения, гидродинамика и другие области.

Теорию начали Яков Элиашберг , Михаил Громов и Энтони В. Филлипс. Он был основан на более ранних результатах, которые сводили отношения в частных производных к гомотопии , особенно для погружений. Первое свидетельство существования h-принципа появилось в теореме Уитни-Граустейна . За этим последовала изометрия Нэша – Койпера C. ¹ теорема вложения и теорема погружения Смейла–Хирша.

Грубая идея

Предположим, мы хотим найти функцию ƒ на R ^м которое удовлетворяет уравнению в частных производных степени k в координатах $(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})$. Его можно переписать как

$\Psi (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},J_{f}^{k})=0$

где $J_{f}^{k}$ обозначает все частные производные от ƒ до порядка k . Давайте поменяем каждую переменную в $J_{f}^{k}$ для новых независимых переменных $y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}.$Тогда наше исходное уравнение можно представить как систему

$\Psi _{}^{}(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0$

и некоторое количество уравнений следующего типа

$y_{j}={\partial ^{k}f \over \partial u_{j_{1}}\ldots \partial u_{j_{k}}}.$

Решение

$\Psi _{}^{}(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0$

называется неголономным решением , а решение системы, которое также является решением нашего исходного УЧП, называется голономным решением .

Чтобы проверить, существует ли решение нашего исходного уравнения, можно сначала проверить, существует ли неголономное решение. Обычно это довольно легко, и если неголономного решения нет, значит, у нашего исходного уравнения не было решений.

УЧП удовлетворяет h-принципу , если любое неголономное решение можно деформировать в голономное в классе неголономных решений. Таким образом, при наличии h-принципа дифференциально-топологическая задача сводится к алгебро-топологической задаче. Более явно это означает, что, кроме топологического препятствия, не существует другого препятствия существованию голономного решения. Топологическую проблему поиска неголономного решения гораздо проще решить, и ее можно решить с помощью теории препятствий для топологических расслоений.

Многие недоопределенные уравнения в частных производных удовлетворяют h-принципу. Однако ложность h-принципа также является интересным утверждением, интуитивно это означает, что изучаемые объекты имеют нетривиальную геометрию, которую невозможно свести к топологии. Например, вложенные лагранжианы в симплектическом многообразии не удовлетворяют h-принципу, чтобы доказать это, нужно найти инварианты, происходящие от псевдоголоморфных кривых .

Простые примеры

Монотонные функции

Возможно, самое простое соотношение в частных производных заключается в том, чтобы производная не обращалась в нуль: $f'(x)\neq 0.$ Собственно, это обыкновенное дифференциальное отношение, так как это функция одной переменной.

Голономным решением этого соотношения является функция, производная которой никуда не обращается в нуль, т. е. строго монотонная дифференцируемая функция, возрастающая или убывающая. Пространство таких функций состоит из двух непересекающихся выпуклых множеств : возрастающего и убывающего, и имеет гомотопический тип двух точек.

Неголономное решение этого соотношения будет состоять из данных двух функций: дифференцируемой функции f(x) и непрерывной функции g(x), причем g(x) нигде не обращается в нуль. Голономное решение порождает неголономное решение, если взять g(x) = f'(x). Пространство неголономных решений снова состоит из двух непересекающихся выпуклых множеств в зависимости от того, является ли g(x) положительным или отрицательным.

Таким образом, включение голономных решений в неголономные удовлетворяет h-принципу.

Теорема Уитни-Граустейна показывает, что погружения круга в плоскость удовлетворяют h-принципу, выраженному числом поворота .

Этот тривиальный пример имеет нетривиальные обобщения:расширение этого метода до погружений круга в себя классифицирует их по порядку (или числу витков ), поднимая карту до универсального охватывающего пространства и применяя приведенный выше анализ к полученной монотонной карте - линейное отображение соответствует умножению угла: $\theta \mapsto n\theta$ ( $z\mapsto z^{n}$ в комплексных числах). Обратите внимание, что здесь нет погружений порядка 0, так как им придется повернуться обратно на себя. Распространив это на окружности, погруженные в плоскость (условие погружения - это в точности условие того, что производная не обращается в нуль), теорема Уитни-Граустейна классифицировала их путем поворота числа , рассматривая гомотопический класс отображения Гаусса и показывая, что это удовлетворяет h- принцип; и здесь порядок 0 сложнее.

Классификация Смейлом погружений сфер как гомотопических групп многообразий Стифеля и ее обобщение Хирша на погружения многообразий, классифицируемых как гомотопические классы отображений расслоений реперов , представляют собой гораздо более глубокие обобщения и гораздо более сложные, но схожие в принципе - погружение требует, чтобы производная имела ранг k, что требует, чтобы частные производные в каждом направлении не обращались в нуль и были линейно независимыми, а результирующий аналог отображения Гаусса представляет собой отображение многообразия Штифеля или, в более общем смысле, между расслоениями фреймов.

Автомобиль в самолете

В качестве еще одного простого примера рассмотрим автомобиль, движущийся в плоскости. Положение автомобиля в плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами $x$ и $y$ по расположению (хороший выбор - расположение средней точки между задними колесами) и углу наклона $\alpha$ который описывает ориентацию автомобиля. Движение автомобиля удовлетворяет уравнению

${\dot {x}}\sin \alpha ={\dot {y}}\cos \alpha .$

так как небуксующий автомобиль должен двигаться по направлению своих колес. С точки зрения робототехники , не все пути в пространстве задач являются голономными .

Неголономное решение в этом случае, грубо говоря, соответствует движению автомобиля путем скольжения в плоскости. В этом случае неголономные решения не только гомотопны голономным, но также могут быть сколь угодно хорошо аппроксимированы голономными (путем движения вперед и назад, как параллельная парковка в ограниченном пространстве) – заметьте, что это аппроксимирует как положение, так и угол автомобиля сколь угодно близко. Это означает, что теоретически можно припарковаться параллельно на любом месте, длина которого превышает длину вашего автомобиля. Отсюда также следует, что в контактном 3-многообразии любая кривая является $C^{0}$-близко к лежандровой кривой.Это последнее свойство сильнее общего h-принципа; это называется $C^{0}$- плотный h-принцип .

Хотя этот пример прост, сравните его с теоремой вложения Нэша , в частности с теоремой Нэша–Койпера , которая гласит, что любая короткая гладкая ( $C^{\infty }$) встраивание или погружение $M^{m}$ в $\mathbf {R} ^{m+1}$ или больше может быть сколь угодно хорошо аппроксимировано изометрической $C^{1}$-встраивание (соответственно погружение). Это также плотный h-принцип, и его можно доказать с помощью техники «сморщивания» (или, скорее, вращения по кругу), аналогичной технике движения автомобиля в самолете, хотя она гораздо сложнее.

Способы доказательства принципа h

• Методика удаления особенностей, разработанная Громовым и Элиашбергом.
• Техника снопа, основанная на работах Смейла и Хирша.
• Выпуклое интегрирование на основе работ Нэша и Койпера.

Некоторые парадоксы

Здесь мы перечислим несколько противоречивых результатов, которые можно доказать, применив h-принцип:

• Выворот конуса. Рассмотрим функции f на R ² без начала координат ж ( Икс ) знак равно | х |. Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство функций $f_{t}$ такой, что $f_{0}=f$, $f_{1}=-f$ и для любого $t$, $\operatorname {grad} (f_{t})$ не равно нулю ни в какой точке.
• Любое открытое многообразие допускает (неполную) риманову метрику положительной (или отрицательной) кривизны.
• Выворот сферы без складок и разрывов можно выполнить с помощью $C^{1}$ погружения $S^{2}$.
• Нэш -Койпер С ¹ изометрическая теорема вложения , в частности, подразумевает, что существует $C^{1}$ изометрическое погружение раунда $S^{2}$ в сколь угодно малый шарик $\mathbb {R} ^{3}$. Это погружение не может быть $C^{2}$ потому что маленькая колеблющаяся сфера обеспечила бы большую нижнюю границу для главных кривизн и, следовательно, для гауссовой кривизны погруженной сферы, но, с другой стороны, если погружение $C^{2}$ это должно быть везде равно 1, кривизна Гаусса стандарта $S^{2}$ Гаусса , по теореме Эгрегиум

Дальнейшее чтение

• Масахиса Адачи, Вложения и погружения , перевод Кики Хадсон
• Элиашберг, Ю.; Мишачев Н.; Арики, С. (2002). Введение в h -принцип . Американское математическое общество. ISBN  9780821832271 .
• Громов, М. (1986). Частные дифференциальные отношения . Спрингер. ISBN  3-540-12177-3 .
• Де Леллис, Камилло; Секелихиди, Ласло младший (2012). « H -принцип и уравнения гидродинамики» . Бык. амер. Математика. Соц . 49 : 347–375. arXiv : 1111.2700 . дои : 10.1090/S0273-0979-2012-01376-9 .