Лежандровский узел

В математике часто лежандровым узлом называют плавное вложение окружности в $\mathbb {R} ^{3}$, касательная к стандартной контактной структуре на $\mathbb {R} ^{3}$. Это случай лежандрова подмногообразия наименьшей размерности , который представляет собой вложение k-мерного многообразия в (2k+1)-мерное контактное многообразие, которое всегда касается контактной гиперплоскости.

Два лежандровых узла эквивалентны, если они изотопны через семейство лежандровых узлов. Могут существовать неэквивалентные лежандровы узлы, изотопные топологическим узлам. Многие неэквивалентные лежандровы узлы можно отличить, рассматривая их инварианты Терстона-Беннекена и число вращения, которые вместе известны как «классические инварианты» лежандровых узлов. Были построены более сложные инварианты, в том числе инвариант, построенный комбинаторно Чекановым и Элиашбергом с использованием голоморфных дисков. Этот инвариант Чеканова-Элиашберга дает инвариант для петель лежандровых узлов при учете монодромии петель. Это привело к появлению нестягиваемых петель лежандровых узлов, которые сжимаемы в пространстве всех узлов.

Любой лежандров узел может быть $C^{0}$ возмущается до поперечного узла (узла, поперечного контактной структуре) путем отталкивания в направлении, поперечном плоскостям контакта. Множество классов изоморфизма лежандровых узлов по модулю отрицательных лежандровых стабилизаций находится в биекции с множеством трансверсальных узлов.

Ссылки

• Гейгес, Хансйорг (2008). Введение в топологию контактов; Том 109 кембриджских исследований по высшей математике . Издательство Кембриджского университета. п. 94. ИСБН  978-0-521-86585-2 .
• Касакуберта, Карлос (2001). Европейский математический конгресс: Барселона, 10–14 июля 2000 г. Биркхойзер. п. 526. ИСБН  978-3764364182 .
• Эпштейн, Дж.; Фукс, Д.; Мейер, М. (2001). «Инварианты Чеканова–Элиашберга и поперечные аппроксимации лежандровых узлов» . Тихоокеанский математический журнал . 201 (1): 89–106. дои : 10.2140/pjm.2001.201.89 .
• Кальман, Тамас (2005). «Контактные гомологии и однопараметрические семейства лежандровых узлов». Геометрия и топология . 9 (4): 2013–2078. arXiv : math/0407347 . дои : 10.2140/gt.2005.9.2013 . S2CID   8307055 .
• Саблофф, Джошуа М. (2009), «Что такое… лежандров узел?» (PDF) , Уведомления AMS , 56 (10): 1282–1284 .

Внешние ссылки

• Атлас лежандровых узлов