Контактная геометрия

«Контактная форма» перенаправляется сюда. Информацию о веб-формах электронной почты см. в разделе Форма (веб) § Скрипты отправки формы в электронную почту .

Стандартная структура контактов на R ³ . Каждая точка в R ³ имеет плоскость, связанную с ней контактной структурой, в данном случае как ядро ​​одной формы d z − y d x . Кажется, что эти плоскости скручиваются вдоль Y. оси Она неинтегрируема, в чем можно убедиться, нарисовав бесконечно малый квадрат в плоскости x — y и проследив путь по одноформам. Путь не вернется к той же координате z после одного круга.

В математике удовлетворяющим контактная геометрия — это изучение геометрической структуры на гладких многообразиях, гиперплоскости заданной распределением в касательном расслоении, условию, называемому «полная неинтегрируемость». Эквивалентно, такое распределение может быть задано (по крайней мере локально) как ядро ​​дифференциальной одной формы, а условие неинтегрируемости преобразуется в условие максимальной невырожденности формы. Эти условия противоположны двум эквивалентным условиям « полной интегрируемости » гиперплоского распределения, т. е. того, что оно касается слоения коразмерности один на многообразии, эквивалентность которого составляет содержание теоремы Фробениуса .

Контактная геометрия во многом является нечетномерным аналогом симплектической геометрии , структуры на некоторых четномерных многообразиях. И контактная, и симплектическая геометрия мотивированы математическим формализмом классической механики , где можно рассматривать либо четномерное фазовое пространство механической системы, либо гиперповерхность с постоянной энергией, которая, будучи коразмерностью один, имеет нечетную размерность.

Приложения

Как и симплектическая геометрия, контактная геометрия имеет широкое применение в физике , например , в геометрической оптике , классической механике , термодинамике , геометрическом квантовании , интегрируемых системах и теории управления . Контактная геометрия также имеет приложения к низкоразмерной топологии ; например, его использовали Кронхаймер и Мровка для доказательства гипотезы свойства P , Майкл Хатчингс для определения инварианта гладких трехмерных многообразий и Ленхард Нг для определения инвариантов узлов. Его также использовал Яков Элиашберг для получения топологической характеристики многообразий Штейна размерности не менее шести.

Контактная геометрия использовалась для описания зрительной коры .

Контактные формы и структуры

Контактная структура на нечетномерном многообразии — это плавно меняющееся семейство подпространств коразмерности один каждого касательного пространства многообразия, удовлетворяющее условию неинтегрируемости. Семейство можно описать как часть пакета следующим образом:

Для заданного n -мерного гладкого многообразия M и точки p ∈ M контактный элемент M точке с точкой контакта p представляет собой ( n − 1)-мерное линейное подпространство касательного пространства к M в p . Контактный элемент может быть задан ядром линейной функции в касательном пространстве к M в точке p . Однако если подпространство задается ядром линейной функции ω, то оно также будет задаваться нулями λω, где λ ≠ 0 — любое ненулевое действительное число. Таким образом, все ядра { λω : λ ≠ 0 } дают один и тот же контактный элемент. Отсюда следует, что пространство всех контактных элементов М можно отождествить с фактором кокасательного расслоения Т* М (с нулевым сечением $0_{M}$ удаленный), а именно:

${\text{PT}}^{*}M=({\text{T}}^{*}M-{0_{M}})/{\sim }\ {\text{ where, for }}\omega _{i}\in {\text{T}}_{p}^{*}M,\ \ \omega _{1}\sim \omega _{2}\ \iff \ \exists \ \lambda \neq 0\ :\ \omega _{1}=\lambda \omega _{2}.$

Контактная структура на нечетномерном многообразии M размерности 2k представляет + 1 собой гладкое распределение контактных элементов, обозначаемое ξ , которое является общим в каждой точке. Условие типичности состоит в том, ξ неинтегрируема что .

Предположим, что у нас есть гладкое распределение контактных элементов ξ , локально заданное дифференциальной 1-формой α ; т. е. гладкое сечение коткасательного расслоения. Условие неинтегрируемости можно выразить явно как:

$\alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{k}\neq 0\ {\text{where}}\ ({\text{d}}\alpha )^{k}=\underbrace {{\text{d}}\alpha \wedge \ldots \wedge {\text{d}}\alpha } _{k{\text{-times}}}.$

Обратите внимание: если ξ задается дифференциальной 1-формой α , то то же самое распределение локально задается формулой β = ƒ⋅ α , где ƒ — ненулевая гладкая функция . Если ξ коориентируема, то α определена глобально.

Характеристики

следует Из теоремы Фробениуса об интегрируемости , что контактное поле ξ неинтегрируемо вполне . Это свойство контактного поля примерно противоположно полю, образованному касательными плоскостями семейства непересекающихся гиперповерхностей в M . В частности, вы не можете найти гиперповерхность в M , касательные пространства которой совпадают с ξ , даже локально. В действительности не существует подмногообразия размерности больше k , касательные пространства которого лежат в ξ .

Связь с симплектическими структурами

Следствием определения является то, что ограничение 2-формы ω = dα на гиперплоскость в ξ является невырожденной 2-формой. Эта конструкция дает любому контактному многообразию M естественное симплектическое расслоение ранга на единицу меньше размерности M . Обратите внимание, что симплектическое векторное пространство всегда четномерно, а контактные многообразия должны быть нечетномерными.

Кокасательное расслоение T * N любого n -мерного многообразия N само является многообразием (размерности 2 n ) и естественным образом поддерживает точную симплектическую структуру ω = dλ . (Эту 1-форму λ иногда называют формой Лиувилля ). Есть несколько способов построить ассоциированное контактное многообразие: некоторые размерности 2 n − 1, некоторые размерности 2 n + 1.

Проективизация

Пусть M — проективизация кокасательного расслоения к N : таким образом, M — расслоение над N слой которого в точке x — это пространство прямых в T* N или, что то же самое, пространство гиперплоскостей в T N. , 1-форма λ не сводится к истинной 1-форме на M . Однако он однороден степени 1 и поэтому определяет 1-форму со значениями в линейном расслоении O(1), которое является двойственным послойному тавтологическому линейному расслоению M . Ядро этой 1-формы определяет контактное распределение.

Энергетические поверхности

Предположим, что H — гладкая функция на T* N , что E — регулярное значение для H , так что множество уровня $L=\{(q,p)\in T^{*}N\mid H(q,p)=E\}$ является гладким подмногообразием коразмерности 1. Векторное поле Y называется векторным полем Эйлера (или Лиувилля), если оно трансверсально к L и конформно симплектично, что означает, что производная Ли от dλ по Y кратна dλ в окрестности Л. ​

Тогда ограничение $i_{Y}\,d\lambda$ to L — контактная форма L. на

Эта конструкция берет свое начало в гамильтоновой механике , где H — гамильтониан механической системы с конфигурационным пространством N и фазовым пространством T * N , а E — значение энергии.

Единичное котангенсное расслоение

Выберите риманову метрику на многообразии N и пусть H — соответствующая кинетическая энергия.Тогда множество уровня H = 1/2 является единичным кокасательным расслоением к N , гладкому многообразию размерности 2 n - 1, расслоенному над N, причем слои являются сферами. Тогда форма Лиувилля, ограниченная единичным кокасательным расслоением, является контактной структурой. Это соответствует частному случаю второй конструкции, где поток векторного поля Эйлера Y соответствует линейному масштабированию импульсов p s , оставляя q s фиксированным. Векторное поле R , определяемое равенствами

λ ( R ) = 1 и dλ ( R , A ) = 0 для всех векторных полей A ,

называется векторным полем Риба и порождает геодезический поток римановой метрики. Точнее, используя риманову метрику, можно отождествить каждую точку кокасательного расслоения к N с точкой касательного расслоения к N , и тогда значение R в этой точке (единичного) кокасательного расслоения будет соответствующим (единичным ) вектор, параллельный N .

Первый реактивный комплект

С другой стороны, можно построить контактное многообразие M размерности 2 n + 1, рассматривая первое расслоение струй вещественных функций на N . Это расслоение изоморфно T * N × R с использованием внешней производной функции. С координатами ( x , t ) M имеет контактную структуру

1. α знак равно dt + λ .

И наоборот, для любого контактного многообразия M произведение M × R имеет естественную структуру симплектического многообразия. Если α — контактная форма на M , то

ω = d ( е ^т а)

является симплектической формой на M × R , где t обозначает переменную в R -направлении. Это новое многообразие называется симплектизацией (иногда в литературе симплектификацией контактного многообразия М. )

Примеры

В качестве яркого примера рассмотрим R ³ , наделенный координатами ( x , y , z ) и одной формой dz − y dx . Контактная плоскость ξ в точке ( x , y , z ) натянута векторами X ₁ = ∂ _y и X ₂ = ∂ _x + y ∂ _z .

Заменяя отдельные переменные x и y многопеременными x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n , можно обобщить этот пример на любой R. ^{2н 1 +} . По теореме Дарбу каждая контактная структура на многообразии локально выглядит как эта конкретная контактная структура в (2 n + 1)-мерном векторном пространстве.

Важный класс контактных многообразий составляют сасакиевы многообразия .

Лежандровы подмногообразия и узлы.

Наиболее интересными подпространствами контактного многообразия являются его лежандровы подмногообразия. Неинтегрируемость поля контактных гиперплоскостей на (2 n + 1)-мерном многообразии означает, что ни одно 2 n -мерное подмногообразие не имеет его в качестве касательного расслоения, даже локально. Однако, как правило, можно найти n-мерные (вложенные или погруженные) подмногообразия, касательные пространства которых лежат внутри контактного поля: они называются лежандровыми подмногообразиями .

Лежандровы подмногообразия аналогичны лагранжевым подмногообразиям симплектических многообразий. Существует точное соотношение: лифт лежандрова подмногообразия в симплектизации контактного многообразия является лагранжевым подмногообразием.

Простейшим примером лежандровых подмногообразий являются лежандровы узлы внутри контактного трехмерного многообразия. Неэквивалентные лежандровы узлы могут быть эквивалентны гладким узлам; то есть существуют гладко изотопные узлы, изотопия которых не может быть выбрана в качестве пути лежандровых узлов.

Лежандровы подмногообразия — очень жесткие объекты; обычно существует бесконечно много лежандровых изотопических классов вложений, которые все гладко изотопны. Теория симплектического поля предоставляет инварианты лежандровых подмногообразий, называемые относительными контактными гомологиями , которые иногда могут различать отдельные лежандровы подмногообразия, топологически идентичные (т.е. гладко изотопные).

Векторное поле Риба

Если α является контактной формой для данной контактной структуры, векторное поле Риба R можно определить как единственный элемент (одномерного) ядра dα такой, что α( R ) = 1. Если контактное многообразие возникает как гиперповерхность с постоянной энергией внутри симплектического многообразия, то векторное поле Риба является ограничением на подмногообразие векторного поля Гамильтона, связанного с энергетической функцией. (Ограничение дает векторное поле на контактной гиперповерхности, поскольку гамильтоново векторное поле сохраняет уровни энергии.)

Динамику поля Риба можно использовать для изучения структуры контактного многообразия или даже основного многообразия с использованием методов гомологии Флоера , таких как симплектическая теория поля и, в трех измерениях, вложенные контактные гомологии . Различные контактные формы, ядра которых дают одну и ту же контактную структуру, будут давать разные векторные поля Риба, динамика которых в целом очень различна. Различные разновидности контактной гомологии априори зависят от выбора контактной формы и создают алгебраические структуры - замкнутые траектории их векторных полей Риба; однако эти алгебраические структуры оказываются независимыми от контактной формы, т.е. они являются инвариантами базовой контактной структуры, так что, в конце концов, контактную форму можно рассматривать как вспомогательный выбор. В случае вложенных контактных гомологий получается инвариант основного трехмерного многообразия, т.е. вложенные контактные гомологии не зависят от структуры контакта; это позволяет получить результаты, справедливые для любого векторного поля Риба на многообразии.

Месторождение Риб названо в честь Жоржа Риба .

Некоторые исторические замечания

Истоки контактной геометрии появляются в работах Христиана Гюйгенса , Исаака Барроу и Исаака Ньютона . Теория контактных преобразований (т.е. преобразований, сохраняющих контактную структуру) была разработана Софусом Ли с двойной целью изучения дифференциальных уравнений (например, преобразования Лежандра или канонического преобразования ) и описания «изменения элемента пространства», знакомого из проективной двойственности. .

Первое известное использование термина «контактное многообразие» появилось в статье 1958 года.

См. также

• Гомологии Флоера , некоторые разновидности которых дают инварианты контактных многообразий и их лежандровых подмногообразий.
• Субриманова геометрия

Ссылки

Введение в контактную геометрию

• Этнайр, Дж. (2003). «Вводные лекции по контактной геометрии». Учеб. Симпозиумы. Чистая математика . Труды симпозиумов по чистой математике. 71 : 81–107. arXiv : math/0111118 . дои : 10.1090/pspum/071/2024631 . ISBN  9780821835074 . S2CID   6174175 .
• Гейгес, Х. (2003). «Контактная геометрия». arXiv : math/0307242 .
• Гейгес, Хансйорг (2008). Введение в контактную топологию . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-139-46795-7 .
• Эбишер (1994). Симплектическая геометрия . Биркхойзер. ISBN  3-7643-5064-4 .
• Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-96890-3 .

Приложения к дифференциальным уравнениям

• Арнольд, VI (1988). Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-96649-8 .

Контактные трехмногообразия и лежандровы узлы.

• Терстон, Уильям (1997). Трехмерная геометрия и топология . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08304-5 .

Информация по истории контактной геометрии

• Лутц, Р. (1988). «Некоторые исторические и перспективные замечания по контактной геометрии». Конференция по дифференциальной геометрии и топологии (Сардиния, 1988 г.) . Возвращает. Фак. наук. унив. Кальяри. Полет. 58 дополнительных стр. 361–393. МР   1122864 .
• Гейгес, Х. (2001). «Краткая история контактной геометрии и топологии» . Экспо. Математика . 19 :25–53. дои : 10.1016/S0723-0869(01)80014-1 .
• Арнольд, Владимир И. (2012) [1990]. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук: пионеры математического анализа и теории катастроф от эвольвент до квазикристаллов . Биркхойзер. ISBN  978-3-0348-9129-5 .
• Контактная тема геометрии на arxiv.org

Внешние ссылки

• Контактный коллектор в Атласе коллекторов