Симплектизация

В математике симплектизацией , называется контактного многообразия симплектическое многообразие естественно соответствующее ему.

Определение

Позволять $(V,\xi )$ — контактное многообразие, и пусть $x\in V$. Рассмотрим набор

$S_{x}V=\{\beta \in T_{x}^{*}V-\{0\}\mid \ker \beta =\xi _{x}\}\subset T_{x}^{*}V$

всех ненулевых 1-форм в $x$, которые имеют контактную плоскость $\xi _{x}$ как их ядро. Союз

$SV=\bigcup _{x\in V}S_{x}V\subset T^{*}V$

является симплектическим кокасательного расслоения подмногообразием $V$, и, таким образом, обладает естественной симплектической структурой.

Проекция ​ $\pi :SV\to V$ снабжает симплектизацию структурой главного расслоения над $V$ со структурной группой $\mathbb {R} ^{*}\equiv \mathbb {R} -\{0\}$.

Коориентируемый случай

Когда контактная структура $\xi$ координируется посредством контактной формы $\alpha$, существует другой вариант симплектизации, в котором только формы, придающие одинаковую координацию $\xi$ как $\alpha$ считаются:

$S_{x}^{+}V=\{\beta \in T_{x}^{*}V-\{0\}\,|\,\beta =\lambda \alpha ,\,\lambda >0\}\subset T_{x}^{*}V,$

$S^{+}V=\bigcup _{x\in V}S_{x}^{+}V\subset T^{*}V.$

Обратите внимание, что $\xi$ коориентируемо тогда и только тогда, когда расслоение $\pi :SV\to V$ тривиально ​ . Любое сечение этого пучка является координирующей формой контактной структуры.