Одноформный (дифференциальная геометрия)

В дифференциальной геометрии одноформа ) (или ковекторное поле на дифференцируемом многообразии — это дифференциальная форма степени один, то есть гладкое сечение кокасательного расслоения . ^[1] Эквивалентно, одна форма на многообразии $M$ гладким отображением всего пространства касательного расслоения является $M$ к $\mathbb {R}$ ограничение которого на каждый слой является линейным функционалом в касательном пространстве. ^[2] Символически,

$\alpha :TM\rightarrow {\mathbb {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbb {R} },$ где $\alpha _{x}$ является линейным.

Часто одноформы описываются локально , особенно в локальных координатах . В местной системе координат одноформа представляет собой линейную комбинацию дифференциалов координат : $\alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n},$ где $f_{i}$ являются гладкими функциями. С этой точки зрения одноформа имеет ковариантный закон преобразования при переходе из одной системы координат в другую. Таким образом, одна форма представляет собой ковариантное тензорное поле первого порядка .

Примеры

Самая основная нетривиальная дифференциальная форма - это форма «изменения угла». $d\theta .$ Это определяется как производная угловой «функции». $\theta (x,y)$ (которая определена только с точностью до аддитивной константы), которую можно явно определить через функцию atan2 . Взяв производную, получим следующую формулу для полной производной : ${\begin{aligned}d\theta &=\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dy\\&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\end{aligned}}$ В то время как угловая «функция» не может быть определена непрерывно – функция atan2 разрывна в отрицательном направлении. $y$ -ось - которая отражает тот факт, что угол не может быть определен непрерывно, эта производная непрерывно определяется, за исключением начала координат, что отражает тот факт, что бесконечно малые (и даже локальные) изменения угла могут быть определены везде, кроме начала координат. Интегрирование этой производной вдоль пути дает общее изменение угла по пути, а интегрирование по замкнутому контуру дает количество витков . $2\pi .$

На языке дифференциальной геометрии эта производная представляет собой одноформу на проколотой плоскости . Он замкнут (его внешняя производная равна нулю), но не точен , то есть не является производной 0-формы (то есть функции): угол $\theta$ не является глобально определенной гладкой функцией на всей проколотой плоскости. Фактически эта форма порождает первые когомологии де Рама проколотой плоскости. Это самый простой пример такой формы, и он является фундаментальным в дифференциальной геометрии.

Дифференциал функции

Позволять $U\subseteq \mathbb {R}$ быть открытым (например, интервал $(a,b)$ ) и рассмотрим дифференцируемую функцию $f:U\to \mathbb {R} ,$ с производной $f'.$ Дифференциал $df$ назначается каждой точке $x_{0}\in U$ линейное отображение касательного пространства $T_{x_{0}}U$ к реальным цифрам. В этом случае каждое касательное пространство естественным образом отождествляется с линией действительных чисел, а линейное отображение $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ рассматриваемый результат определяется масштабированием на $f'(x_{0}).$ Это простейший пример дифференциальной (одно-)формы.

См. также

Дифференциальная форма - выражение, которое можно интегрировать по региону.
Внутренний продукт – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств.
Обратная решетка - преобразование Фурье решетки реального пространства, важное в физике твердого тела.
Тензор - алгебраический объект с геометрическими приложениями.

Ссылки

^ «2 Знакомство с дифференциальной геометрией ‣ общей теорией относительности Дэвида Тонга» . www.damtp.cam.ac.uk . Проверено 4 октября 2022 г.
^ Макинерни, Эндрю (9 июля 2013 г.). Первые шаги в дифференциальной геометрии: риманова, контактная, симплектическая . Springer Science & Business Media. стр. 136–155. ISBN 978-1-4614-7732-7 .

[1] «2 Знакомство с дифференциальной геометрией ‣ общей теорией относительности Дэвида Тонга» . www.damtp.cam.ac.uk . Проверено 4 октября 2022 г.

[2] Макинерни, Эндрю (9 июля 2013 г.). Первые шаги в дифференциальной геометрии: риманова, контактная, симплектическая . Springer Science & Business Media. стр. 136–155. ISBN 978-1-4614-7732-7 .

[1]

[2]