Тензор Эйнштейна

В дифференциальной геометрии тензор Эйнштейна (названный в честь Альберта Эйнштейна ; также известный как с обращенным следом тензор Риччи ) используется для выражения кривизны многообразия псевдориманова . В общей теории относительности это происходит в поля Эйнштейна уравнениях гравитационного способом , которые описывают кривизну пространства-времени , который согласуется с сохранением энергии и импульса.

Определение

Тензор Эйнштейна $\mathbf {G}$ — тензор второго порядка, определенный над псевдоримановыми многообразиями . В безиндексной записи он определяется как

$$\mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,$$

где $\mathbf {R}$ – тензор Риччи , $\mathbf {g}$ – метрический тензор и $R$ скалярная кривизна , которая вычисляется как след тензора Риччи $R_{\mu \nu }$ к $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=R_{\mu }^{\mu }$. В компонентной форме предыдущее уравнение имеет вид

$$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.$$

Тензор Эйнштейна симметричен

$$G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }$$

и, как и на оболочке тензор энергии-напряжения , имеет нулевую дивергенцию :

$$\nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0\,.$$

Явная форма

Тензор Риччи зависит только от метрического тензора, поэтому тензор Эйнштейна можно определить непосредственно с помощью только метрического тензора. Однако это выражение сложное и редко цитируется в учебниках. Сложность этого выражения можно показать с помощью формулы тензора Риччи в терминах символов Кристоффеля :

$${\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)R_{\gamma \zeta }\\&=\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\\[2pt]G^{\alpha \beta }&=\left(g^{\alpha \gamma }g^{\beta \zeta }-{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }\right)\left(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }\right),\end{aligned}}$$

где $\delta _{\beta }^{\alpha }$ – тензор Кронекера и символ Кристоффеля $\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }$ определяется как

$$\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }\left(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon }\right).$$

и условия формы $\Gamma _{\beta \gamma ,\mu }^{\alpha }$ представляют его частную производную в направлении μ, т.е.:

$$\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma ,\mu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }$$

До отмены эта формула приводит к $2\times (6+6+9+9)=60$ индивидуальные условия. Отмены несколько снижают это число.

В частном случае локально инерциальной системы отсчета вблизи точки первые производные метрического тензора обращаются в нуль и компонентная форма тензора Эйнштейна значительно упрощается:

$${\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }\left[g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right)\right]\\&=g^{\gamma \mu }\left(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta }\right)\left(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }\right),\end{aligned}}$$

где квадратные скобки условно обозначают антисимметризацию по индексам в скобках, т.е.

$$g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}\left(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon }\right).$$

След

След сжав тензора Эйнштейна можно вычислить, уравнение в определении с метрическим тензором $g^{\mu \nu }$. В $n$ размеры (произвольной подписи):

$${\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}$$

Следовательно, в частном случае n = 4 измерений, $G\ =-R$. То есть след тензора Эйнштейна является отрицательным следом тензора Риччи . Таким образом, другое название тензора Эйнштейна — тензор Риччи с обращенным следом . Этот $n=4$ Этот случай особенно актуален в общей теории относительности .

Использование в

Тензор Эйнштейна позволяет уравнения поля Эйнштейна записать в краткой форме:

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },$$

где $\Lambda$ космологическая постоянная и $\kappa$ Эйнштейна гравитационная постоянная .

Судя по явной форме тензора Эйнштейна , тензор Эйнштейна является нелинейной функцией метрического тензора, но линеен по вторым частным производным метрики. Как симметричный тензор второго порядка, тензор Эйнштейна имеет 10 независимых компонентов в 4-мерном пространстве. Отсюда следует, что уравнения поля Эйнштейна представляют собой совокупность 10 квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка для метрического тензора.

Сжатые тождества Бьянки также легко выражаются с помощью тензора Эйнштейна:

$$\nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.$$

(Сжатые) тождества Бьянки автоматически обеспечивают ковариантное сохранение тензора энергии-импульса в искривленном пространстве-времени:

$$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.$$

Это тождество подчеркивает физическое значение тензора Эйнштейна. В терминах уплотненного тензора напряжений, сжатого на векторе Киллинга $\xi ^{\mu }$, обычный закон сохранения имеет место:

$$\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu }\right)=0.$$

Уникальность

Смотрите также: теорема Лавлока

Дэвид Лавлок показал, что в четырехмерном дифференцируемом многообразии тензор Эйнштейна является единственной тензорной и недивергентной функцией $g_{\mu \nu }$ и не более чем их первые и вторые частные производные.

Однако уравнение поля Эйнштейна - не единственное уравнение, удовлетворяющее трем условиям:

1. Напоминают, но обобщают уравнение гравитации Ньютона – Пуассона.
2. Применяется ко всем системам координат и
3. Гарантировать локальное ковариантное сохранение энергии-импульса для любого метрического тензора.

Было предложено множество альтернативных теорий, таких как теория Эйнштейна-Картана , которые также удовлетворяют вышеуказанным условиям.

См. также

• Сокращенные личности Бьянки
• Теорема Вермейля
• Математика общей теории относительности
• Ресурсы по общей теории относительности

Ссылки

• Оганян, Ханс К.; Ремо Руффини (1994). Гравитация и пространство-время (второе изд.). WW Нортон и компания . ISBN  978-0-393-96501-8 .
• Мартин, Джон Легат (1995). Общая теория относительности: первый курс для физиков . Международная серия Прентис Холл по физике и прикладной физике (пересмотренная редакция). Прентис Холл . ISBN  978-0-13-291196-2 .