Двухточечный тензор

«Двойной вектор» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о двойственных векторах, см. двойное пространство . Чтобы узнать о бивекторах, см. бивектор .

Двухточечные тензоры или двойные векторы — это тензороподобные величины, которые преобразуются как евклидовы векторы по отношению к каждому из своих индексов. Они используются в механике сплошных сред для преобразования исходных («материальных») и нынешних («конфигурационных») координат. Примеры включают градиент деформации и первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа .

Как и во многих приложениях тензоров, обозначение суммирования Эйнштейна часто используется . Чтобы прояснить эти обозначения, часто используются заглавные индексы для обозначения опорных координат и строчные буквы для обозначения текущих координат. Таким образом, двухточечный тензор будет иметь один заглавный и один строчный индекс; например AJM _. ,

Механика сплошных сред

Обычный тензор можно рассматривать как преобразование векторов одной системы координат в другие векторы той же системы координат. Напротив, двухточечный тензор преобразует векторы из одной системы координат в другую. То есть обычный тензор,

$\mathbf {Q} =Q_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {e} _{q})$,

активно преобразует вектор u в вектор v такой, что

$\mathbf {v} =\mathbf {Q} \mathbf {u}$

где v и u измеряются в одном и том же пространстве, а их координаты представлены относительно одного и того же базиса (обозначаются буквой « e »).

Напротив, двухточечный тензор G будет записываться как

$\mathbf {G} =G_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {E} _{q})$

и преобразует вектор U в системе E в вектор v в системе e как

$\mathbf {v} =\mathbf {GU}$.

Закон преобразования двухточечного тензора

Предположим, у нас есть две системы координат: одна со штрихом, а другая без штриха, и компоненты векторов преобразуются между ними как

$v'_{p}=Q_{pq}v_{q}$.

Для тензоров предположим, что тогда мы имеем

$T_{pq}(e_{p}\otimes e_{q})$.

Тензор в системе $e_{i}$. Пусть в другой системе тот же тензор задается выражением

$T'_{pq}(e'_{p}\otimes e'_{q})$.

Мы можем сказать

$T'_{ij}=Q_{ip}Q_{jr}T_{pr}$.

Затем

$T'=QTQ^{\mathsf {T}}$

— это обычное тензорное преобразование. Но двухточечный тензор между этими системами всего лишь

$F_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})$

который преобразуется как

$F'=QF$.

Простой пример

Самый банальный пример двухточечного тензора — это тензор преобразования, Q в приведенном выше обсуждении. Обратите внимание, что

$v'_{p}=Q_{pq}u_{q}$.

Теперь, написав полностью,

$u=u_{q}e_{q}$

а также

$v=v'_{p}e'_{p}$.

Тогда для этого требуется, чтобы Q имел вид

$Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})$.

По определению тензорного произведения

$(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}=(e_{q}.e_{q})e'_{p}=3e'_{p}$ ( 1 )

Итак, мы можем написать

$u_{p}e_{p}=(Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q}))(v_{q}e_{q})$

Таким образом

$u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}$

Учитывая ( 1 ), мы имеем

$u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}e_{p}$.

См. также

• Смешанный тензор
• Ковариантность и контравариантность векторов

Внешние ссылки

• Математические основы эластичности Джеррольд Э. Марсден, Томас Дж. Р. Хьюз
• Двухточечные тензоры в iMechanica