Смешанный тензор

В тензорном анализе — смешанный тензор это тензор , который не является ни строго ковариантным , ни строго контравариантным ; хотя бы один из индексов смешанного тензора будет нижним индексом (ковариантным), а хотя бы один из индексов будет верхним индексом (контравариантным).

Смешанный тензор типа или валентности ${\textstyle {\binom {M}{N}}}$ , также записываемый как «тип ( M , N )», с M > 0 и N > 0, представляет собой тензор, который имеет M контравариантных индексов и N ковариантных индексов. Такой тензор можно определить как линейную функцию , которая отображает ( M + N )-кортеж из M одноформ и N векторов в скаляр .

Изменение типа тензора [ править ]

Рассмотрим следующий октет связанных тензоров:

T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }.

Первый из них является ковариантным, последний — контравариантным, а остальные — смешанными. Условно говоря, эти тензоры отличаются друг от друга ковариантностью/контравариантностью своих индексов. Заданный контравариантный индекс тензора можно понизить с помощью метрического тензора

g µν

, а заданный ковариантный индекс можно повысить с помощью обратного метрического тензора

g примечание

. Таким образом,

g µν

можно назвать оператором понижения индекса , а

g примечание

индекса оператор повышения .

Как правило, ковариантный метрический тензор, сжатый с тензором типа ( M , N ), дает тензор типа ( M − 1, N + 1), тогда как его контравариантный обратный, сжатый с тензором типа ( M , N ) , дает тензор типа ( M + 1, N − 1).

Примеры [ править ]

Например, смешанный тензор типа (1, 2) можно получить, подняв индекс ковариантного тензора типа (0, 3):

T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\gamma \lambda },

где

T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }

тот же тензор, что и

T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }

, потому что

T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }\,\delta _{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },

Кронекера

причем δ

действует здесь как единичная матрица.

Так же,

T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },

T_{\alpha }{}^{\lambda \epsilon }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }\,g^{\gamma \epsilon },

T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },

T^{\alpha }{}_{\lambda \epsilon }=g_{\lambda \beta }\,g_{\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }.

Повышение индекса метрического тензора эквивалентно сжатию его обратного значения, что дает дельту Кронекера ,

g^{\mu \lambda }\,g_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }=\delta ^{\mu }{}_{\nu },

поэтому любая смешанная версия метрического тензора будет равна дельте Кронекера, которая также будет смешанной.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

DC Это (1988). Тензорное исчисление . Очерки Шаума, МакГроу Хилл (США). ISBN 0-07-033484-6 .
Уиллер, Дж.А.; Миснер, К.; Торн, Канзас (1973). «§3.5 Работа с тензорами». Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 85–86. ISBN 0-7167-0344-0 .
Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4 .

Внешние ссылки [ править ]

Индексная гимнастика , Вольфрам Альфа