Смешанный тензор

«Тип тензора» перенаправляется сюда. Информацию о типе данных массива см. в разделе Тип тензора (вычисления) .

В тензорном анализе смешанный тензор — это тензор , который не является ни строго ковариантным , ни строго контравариантным ; хотя бы один из индексов смешанного тензора будет нижним индексом (ковариантным), а хотя бы один из индексов будет верхним индексом (контравариантным).

Смешанный тензор типа или валентности ${\textstyle {\binom {M}{N}}}$, также записываемый как «тип ( M , N )», с M > 0 и N > 0, представляет собой тензор, который имеет M контравариантных индексов и N ковариантных индексов. Такой тензор можно определить как линейную функцию , которая отображает ( M + N )-кортеж из M одноформ и N векторов в скаляр .

Изменение типа тензора

Основная статья: Повышение и понижение индексов

Рассмотрим следующий октет связанных тензоров:

$$T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }.$$

Первый из них является ковариантным, последний — контравариантным, а остальные — смешанными. Условно говоря, эти тензоры отличаются друг от друга ковариантностью/контравариантностью своих индексов. Заданный контравариантный индекс тензора можно понизить с помощью метрического тензора g _µν , а заданный ковариантный индекс можно повысить с помощью обратного метрического тензора g ^{примечание} . Таким образом, g _µν можно назвать оператором понижения индекса , а g ^{примечание} оператор повышения индекса .

Как правило, ковариантный метрический тензор, сжатый с тензором типа ( M , N ), дает тензор типа ( M − 1, N + 1), тогда как его контравариантный обратный, сжатый с тензором типа ( M , N ) , дает тензор типа ( M + 1, N − 1).

Примеры

Например, смешанный тензор типа (1, 2) можно получить, подняв индекс ковариантного тензора типа (0, 3):

$$T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\gamma \lambda },$$

где $T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }$ тот же тензор, что и $T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }$, потому что

$$T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }\,\delta _{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },$$

Кронекера причем δ действует здесь как единичная матрица.

Так же,

$$T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },$$

$$T_{\alpha }{}^{\lambda \epsilon }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }\,g^{\gamma \epsilon },$$

$$T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },$$

$$T^{\alpha }{}_{\lambda \epsilon }=g_{\lambda \beta }\,g_{\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }.$$

Повышение индекса метрического тензора эквивалентно сжатию его с обратным, что дает дельту Кронекера ,

$$g^{\mu \lambda }\,g_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }=\delta ^{\mu }{}_{\nu },$$

поэтому любая смешанная версия метрического тензора будет равна дельте Кронекера, которая также будет смешанной.

См. также

• Ковариантность и контравариантность векторов
• Обозначение Эйнштейна
• Фигурное исчисление
• Тензор (внутреннее определение)
• Двухточечный тензор

Ссылки

• Округ Колумбия Кей (1988). Тензорное исчисление . Очерки Шаума, МакГроу Хилл (США). ISBN  0-07-033484-6 .
• Уиллер, Дж.А.; Миснер, К.; Торн, Канзас (1973). «§3.5 Работа с тензорами». Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 85–86. ISBN  0-7167-0344-0 .
• Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN  978-0-679-77631-4 .

Внешние ссылки

• Индексная гимнастика , Вольфрам Альфа