Симметризация

В математике любую симметризация — это процесс, который преобразует функцию в $n$ переменные к симметричной функции в $n$ переменные.Аналогично, антисимметризация преобразует любую функцию в $n$ переменные в антисимметричную функцию.

Две переменные

Позволять $S$ быть набором и $A$ — аддитивная абелева группа . Карта $\alpha :S\times S\to A$ называется симметричное отображение , если

$$\alpha (s,t)=\alpha (t,s)\quad {\text{ for all }}s,t\in S.$$

Это называется антисимметричная карта, если вместо этого

$$\alpha (s,t)=-\alpha (t,s)\quad {\text{ for all }}s,t\in S.$$

The симметризация карты $\alpha :S\times S\to A$ это карта $(x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x).$Аналогичным образом, антисимметризация или кососимметризация карты $\alpha :S\times S\to A$ это карта $(x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x).$

Сумма симметризации и антисимметризации отображения. $\alpha$ является $2\alpha .$Таким образом, помимо 2 , что означает, что если 2 обратимо , например, для действительных чисел , можно разделить на 2 и выразить каждую функцию как сумму симметричной функции и антисимметричной функции.

Симметризация симметричного отображения есть его двойник, а симметризация знакопеременного отображения равна нулю; аналогично антисимметризация симметричного отображения равна нулю, а антисимметризация антисимметричного отображения является его двойником.

Билинейные формы

Симметризация и антисимметризация билинейного отображения билинейны; таким образом, вдали от 2 каждая билинейная форма представляет собой сумму симметричной формы и кососимметричной формы, и нет никакой разницы между симметричной формой и квадратичной формой.

При 2 не всякую форму можно разложить на симметричную форму и кососимметричную форму. Например, над целыми числами соответствующая симметричная форма (над рациональными числами ) может принимать полуцелые значения, а над $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,$ функция кососимметрична тогда и только тогда, когда она симметрична (т. $1=-1$).

Это приводит к понятию ε-квадратичных форм и ε-симметричных форм.

Теория представлений

С точки зрения теории представлений :

• замена переменных дает представление симметрической группы в пространстве функций двух переменных,
• симметричные и антисимметричные функции — это подпредставления, соответствующие тривиальному представлению и знаковому представлению , и
• симметризация и антисимметризация отображают функцию в эти подпредставления — если разделить на 2, это даст карты проекции .

Поскольку симметрическая группа второго порядка равна циклической группе второго порядка ( $\mathrm {S} _{2}=\mathrm {C} _{2}$), это соответствует дискретному преобразованию Фурье второго порядка.

n переменных

В более общем смысле, учитывая функцию в $n$ переменных, можно симметризировать, взяв сумму по всем $n!$ перестановки переменных, или антисимметризировать, взяв сумму по всем $n!/2$ четные перестановки и вычитание суммы по всем $n!/2$ нечетные перестановки (за исключением случаев, когда $n\leq 1,$ единственная перестановка четная).

Здесь симметризация симметричной функции умножается на $n!$ - таким образом, если $n!$ обратим, например, при работе полем характеристики над $0$ или $p>n,$ то эти прогнозы получаются при делении на $n!.$

С точки зрения теории представлений, они дают только подпредставления, соответствующие тривиальному и знаковому представлению, но для $n>2$ есть и другие – см. теорию представлений симметрической группы и симметричные многочлены .

Начальная загрузка

Учитывая функцию в $k$ переменных, можно получить симметричную функцию от $n$ переменные, суммируя сумму $k$-элементные подмножества переменных. В статистике это называется начальной загрузкой , а связанная с ней статистика называется U-статистикой .

См. также

• Переменная многолинейная карта — многолинейная карта, равная 0, если аргументы линейно зависимы.
• Антисимметричный тензор - Тензор, равный отрицательному значению любой из его транспозиций.

Ссылки

• Хазевинкель, Мишель (1990). Энциклопедия математики: обновленный и аннотированный перевод советской «Математической энциклопедии» . Том. 6. Спрингер. ISBN  978-1-55608-005-0 .