Фигурные кривые
В дифференциальной геометрии тензор кривизны Риччи , названный в честь Грегорио Риччи-Курбастро , представляет собой геометрический объект, который определяется выбором римановой или псевдоримановой метрики на многообразии . В широком смысле его можно рассматривать как меру степени, в которой геометрия данного метрического тензора локально отличается от геометрии обычного евклидова пространства или псевдоевклидова пространства .
Тензор Риччи можно охарактеризовать измерением того, как форма деформируется при движении по геодезическим в пространстве. В общей теории относительности , которая включает в себя псевдориманову настройку, это отражается наличием тензора Риччи в уравнении Райчаудхури . Частично по этой причине уравнения поля Эйнштейна предполагают, что пространство-время может быть описано псевдоримановой метрикой с поразительно простой связью между тензором Риччи и материальным содержанием Вселенной.
Как и метрический тензор, тензор Риччи присваивает каждому касательному пространству многообразия симметричную билинейную форму ( Бессе 1987 , стр. 43). [1] В широком смысле можно было бы провести аналогию роли кривизны Риччи в римановой геометрии с ролью лапласиана в анализе функций; в этой аналогии тензор кривизны Римана , естественным побочным продуктом которого является кривизна Риччи, будет соответствовать полной матрице вторых производных функции. Однако есть и другие способы провести ту же аналогию.
В трехмерной топологии тензор Риччи содержит всю информацию, которая в более высоких измерениях кодируется более сложным тензором кривизны Римана . Частично эта простота позволяет применять множество геометрических и аналитических инструментов, что привело к решению гипотезы Пуанкаре благодаря работам Ричарда С. Гамильтона и Григория Перельмана .
В дифференциальной геометрии нижние оценки тензора Риччи на римановом многообразии позволяют извлечь глобальную геометрическую и топологическую информацию путем сравнения (ср. теорему сравнения ) с геометрией пространственной формы постоянной кривизны . Это связано с тем, что нижние границы тензора Риччи могут быть успешно использованы при изучении функционала длины в римановой геометрии, как впервые было показано в 1941 году с помощью теоремы Майерса .
Одним из распространенных источников тензора Риччи является то, что он возникает всякий раз, когда кто-то коммутирует ковариантную производную с тензорным лапласианом. Этим, например, объясняется его присутствие в формуле Бохнера , которая повсеместно используется в римановой геометрии. Например, эта формула объясняет, почему оценки градиента, полученные Шинг-Тунг Яу (и их развитие, такое как неравенства Ченг-Яу и Ли-Яу), почти всегда зависят от нижней границы кривизны Риччи.
В 2007 году Джон Лотт , Карл-Теодор Штурм и Седрик Виллани решительно продемонстрировали, что нижние границы кривизны Риччи можно полностью понять в терминах структуры метрического пространства риманова многообразия вместе с его формой объема. [2] Это установило глубокую связь между кривизной Риччи и геометрией Вассерштейна и оптимальным транспортом , который в настоящее время является предметом большого количества исследований. [ нужна цитата ]
Определение [ править ]
Предположим, что является -мерный Риманово или псевдориманово многообразие , оснащенное с его связью Леви-Чивита . Риманова кривизна это карта, которая принимает гладкие векторные поля , , и , и возвращает векторное поле
То есть, зафиксировав и , то для любого ортонормированного базиса векторного пространства , надо
Это стандартное упражнение (мульти)линейной алгебры, чтобы убедиться, что это определение не зависит от выбора базиса .
В абстрактной индексной записи
Подпишите соглашения. Обратите внимание, что некоторые источники определяют быть как бы здесь называться они бы тогда определили как Хотя соглашения о знаках различаются в отношении тензора Римана, они не различаются в отношении тензор Риччи.
Определение через локальные координаты на гладком многообразии [ править ]
Позволять быть гладким риманианом или псевдориманов -многообразие. Учитывая гладкий график тогда у него есть функции и для каждого которые удовлетворяют
для всех . Последнее показывает, что, выраженное как матрицы, . Функции определяются путем оценки на координатные векторные поля, а функции определены так что, будучи матричнозначной функцией, они обеспечивают обратную функцию матричнозначной функция .
Теперь определим для каждого , , , , и между 1 и , функции
как карты .
Теперь позвольте и быть двумя гладкими диаграммами с . Позволять — это функции, вычисленные, как указано выше, с помощью диаграммы и разреши — это функции, вычисленные, как указано выше, с помощью диаграммы . Затем можно проверить расчетом с помощью правила цепочки и правила произведения, что
где является первой производной вдоль е направление из . Это показывает, что следующее определение не зависит от выбора . Для любого , определим билинейное отображение к
где и являются компоненты касательных векторов при в и относительно координатные векторные поля .
Приведенное выше формальное представление принято сокращать следующим образом:
Это можно непосредственно проверить
так что определить (0,2)-тензорное поле на . В особенно, если и векторные поля на , тогда относительно любых гладких координат имеем
Последняя строка включает демонстрацию того, что билинейное отображение Рика четко определено: что гораздо проще записать с помощью неформальной записи.
Сравнение определений [ править ]
Два приведенных выше определения идентичны. Формулы, определяющие и в координатном подходе имеют точную параллель в формулах, определяющих связь Леви-Чивита и кривизну Римана через связь Леви-Чивита. Возможно, определения, непосредственно использующие локальные координаты, предпочтительнее, поскольку упомянутое выше «важнейшее свойство» тензора Римана требует быть Хаусдорфом, чтобы удержаться. Напротив, подход с локальными координатами требует только гладкого атласа. Несколько проще также связать философию «инвариантности», лежащую в основе локального подхода, с методами построения более экзотических геометрических объектов, например спинорных полей .
Сложная формула, определяющая во вводном разделе такие же, как и в следующем разделе. Единственное отличие состоит в том, что термины сгруппированы таким образом, чтобы было легко увидеть, что
Свойства [ править ]
Как видно из симметрий тензора кривизны Римана, тензор Риччи римановой многообразие симметрично в том смысле, что
для всех
Отсюда линейно-алгебраически следует, что тензор Риччи полностью определен. зная количество для всех векторов единичной длины. Эта функция на множестве единичных касательных векторов часто также называют кривизной Риччи , поскольку знание ее эквивалентно зная тензор кривизны Риччи.
Кривизна Риччи определяется секционными кривизнами римановой многообразен, но обычно содержит меньше информации. Действительно, если это вектор единичной длины на риманиане -многообразие, тогда это именно умноженное на среднее значение кривизны сечения, принятое по всем двум плоскостям содержащий . Есть трехмерное семейство таких 2-плоскостей, поэтому только в размерностях 2 и 3 тензор Риччи определяет тензор полной кривизны. Заметным исключением является случай, когда многообразию задано априори как гиперповерхность евклидова пространства . Вторая основная форма , которое определяет полную кривизну посредством уравнения Гаусса – Кодацци , само определяется тензором Риччи и главными направлениями гиперповерхности также являются собственными направлениями тензора Риччи. По этой причине тензор был введен Риччи.
Как видно из второго тождества Бьянки, имеется
где скалярная кривизна , определенная в местных координатах как Это часто называют сокращенной второй идентичностью Бьянки.
Прямой геометрический смысл [ править ]
Рядом с любой точкой в римановом многообразии , можно определить предпочтительные локальные координаты, называемые геодезическими нормальными координатами . Они адаптированы к метрике, так что геодезические через вести переписку к прямым линиям, проходящим через начало координат, таким образом, что геодезическое расстояние от соответствует евклидову расстоянию от начала координат. В этих координатах метрический тензор хорошо аппроксимируется евклидовой метрика в том точном смысле, что
Фактически, взяв разложение Тейлора метрики, примененной к полю Якоби вдоль радиальной геодезической в нормальной системе координат, получим
В этих координатах элемент метрического объема имеет следующее расширение в точке p :
что следует путем расширения квадратного корня определителя метрики .
Таким образом, если кривизна Риччи положительный в направлении вектора , коническая область в выметается строго сфокусированным семейством геодезических отрезков длиной исходящий из , с начальной скоростью внутри небольшой конус около , будет иметь меньший объем, чем соответствующий коническая область в евклидовом пространстве, по крайней мере, при условии, что достаточно мал. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна в направление данного вектора , такая коническая область в многообразии вместо этого будет иметь больший объем, чем в евклидовом пространстве.
Кривизна Риччи по сути представляет собой среднее значение кривизн в плоскостях, включая . Таким образом, если исходящий конус изначально круглой (или сферической) поперечное сечение искажается в эллипс ( эллипсоид ), возможно чтобы объемные искажения исчезли, если искажения вдоль Главные оси противодействуют друг другу. Риччи кривизна тогда исчезла бы вдоль . В физических приложениях наличие неисчезающей кривизны сечения не обязательно указывает на наличие каких-либо масс локально; если изначально круглое сечение конуса мировых линий позднее становится эллиптической, не меняя своего объема, затем это происходит из-за приливных эффектов массы в каком-то другом месте.
Приложения [ править ]
Кривизна Риччи играет важную роль в общей теории относительности . ключевой член в уравнениях поля Эйнштейна .
Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи , сначала введен Ричардом С. Гамильтоном в 1982 году, где некоторые однопараметрические семейства римановых метрик выделяются как решения геометрически определенное уравнение в частных производных. В гармонических локальных координатах тензор Риччи можно выразить как ( Чоу и Кнопф 2004 , лемма 3.32). [3]
На кэлеровом многообразии кривизна Риччи определяет первый класс Черна. многообразия (мод кручение). Однако кривизна Риччи не имеет аналогов. топологическая интерпретация на римановом многообразии общего положения.
Глобальная геометрия и топология [ править ]
Вот краткий список глобальных результатов, касающихся многообразий с положительной кривизной Риччи; см. также классические теоремы римановой геометрии . Короче говоря, положительная кривизна Риччи риманова многообразия имеет сильные топологические последствия, в то время как (для размерности не менее 3) отрицательная кривизна Риччи не имеет топологических последствий. (Кривизна Риччи называется положительной , если функция кривизны Риччи положителен на множестве ненулевых касательных векторов .) Некоторые результаты известны и для псевдоримановых многообразий.
- Теорема Майерса (1941) утверждает, что если кривизна Риччи ограничена снизу на полном римановом n -многообразии соотношением , то многообразие имеет диаметр . Из аргумента о накрывающем пространстве следует, что любое компактное многообразие положительной кривизны Риччи должно иметь конечную фундаментальную группу . Ченг (1975) показал, что в этом случае равенство неравенства диаметров имеет место только в том случае, если многообразие изометрично сфере постоянной кривизны. .
- Неравенство Бишопа –Громова гласит, что если полное -мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то объем геодезического шара меньше или равен объему геодезического шара того же радиуса в евклидовом -космос. Более того, если обозначает объем шара с центром и радиус в многообразии и обозначает объем шара радиуса в евклидовом -пробел, затем функция не увеличивается. Это можно обобщить на любую нижнюю оценку кривизны Риччи (а не только на неотрицательность), и это ключевой момент в доказательстве теоремы Громова о компактности .)
- Чигера–Громолла Теорема о расщеплении утверждает, что если полное риманово многообразие с содержит линию , означающую геодезическую такой, что для всех , то оно изометрично пространству произведений . Следовательно, полное многообразие положительной кривизны Риччи может иметь не более одного топологического конца. Теорема верна и при некоторых дополнительных гипотезах для полных лоренцевых многообразий (метрической сигнатуры ) с неотрицательным тензором Риччи ( Galloway 2000 ).
- Гамильтона Первая теорема сходимости для потока Риччи, как следствие, гласит, что единственные компактные 3-многообразия, которые имеют римановы метрики положительной кривизны Риччи, - это факторы 3-сферы по дискретным подгруппам SO (4), которые действуют надлежащим образом разрывно. Позже он расширил это, чтобы учесть неотрицательную кривизну Риччи. В частности, единственной односвязной возможностью является сама 3-сфера.
Эти результаты, особенно результаты Майерса и Гамильтона, показывают, что положительная кривизна Риччи имеет серьезные топологические последствия. Напротив, теперь известно, что за исключением случаев поверхностей отрицательная кривизна Риччи не имеет топологических последствий; Локамп (1994) показал, что любое многообразие размерности больше двух допускает полную риманову метрику отрицательной кривизны Риччи. В случае двумерных многообразий отрицательность кривизны Риччи является синонимом отрицательности гауссовой кривизны, что имеет очень четкие топологические последствия . Существует очень мало двумерных многообразий, которые не допускают римановых метрик отрицательной гауссовой кривизны.
Поведение масштабировании при конформном
Если метрика изменяется путем умножения его на конформный коэффициент , тензор Риччи новой, конформно связанной метрики дается ( Besse 1987 , стр. 59)
где представляет собой (положительный спектр) лапласиан Ходжа, т. е. противоположность обычному следу гессенского.
В частности, учитывая точку в римановом многообразии всегда можно найти метрики, конформные данной метрике для чего Тензор Риччи исчезает при . Однако обратите внимание, что это только точечно. утверждение; обычно невозможно заставить кривизну Риччи исчезнуть тождественно на всем многообразии конформным перемасштабированием.
Для двумерных многообразий приведенная выше формула показывает, что если это гармоническая функция , то конформное масштабирование не меняет тензор Риччи (хотя по-прежнему меняет свой след по отношению к к метрике, если только .
Бесследовый тензор Риччи
В римановой геометрии и псевдоримановой геометрии бесследовый тензор Риччи (также называемый бесследовым тензором Риччи ) Риманов или псевдориманов -многообразие тензор, определяемый формулой
где и обозначим кривизну Риччи и скалярная кривизна . Название этого объекта отражает тот факт, что его след автоматически исчезает: Однако это довольно важный тензор, поскольку он отражает «ортогональное разложение» тензора Риччи.
Ортогональное разложение тензора Риччи [ править ]
Следующее, не столь тривиальное свойство:
Менее очевидно, что два члена в правой части ортогональны. друг другу:
Тождество, которое тесно связано с этим (но которое можно доказать непосредственно) в том, что
Бесследовый тензор Риччи метрики и Эйнштейна
Взяв расхождение и используя сокращенное тождество Бьянки, можно увидеть, что подразумевает . Итак, при условии, что n ≥ 3 и связано, исчезает из означает, что скалярная кривизна постоянна. Тогда можно увидеть что следующие условия эквивалентны:
- на какое-то число
В римановой ситуации приведенное выше ортогональное разложение показывает, что также эквивалентно этим условиям. В псевдоримановой ситуации, напротив, условие не обязательно подразумевает так что максимум, что можно сказать, это то, что эти условия подразумевают
В частности, исчезновение бесследового тензора Риччи характеризует Многообразия Эйнштейна , определенные условием на номер В общей теории относительности это уравнение гласит: что является решением вакуумного поля Эйнштейна уравнения с космологической постоянной .
Многообразия Кэлера [ править ]
На кэлеровом многообразии , кривизна Риччи определяет форма кривизны канонического линейного расслоения ( Морояну 2007 , глава 12). Канонический линейный расслоение является верхним внешняя степень расслоения голоморфных келеровых дифференциалов :
Связность Леви-Чивита, соответствующая метрике на дает подняться на связь на . Кривизна этого соединения 2-форма, определяемая
где представляет собой карту сложной структуры на касательное расслоение, определяемое структурой кэлерова многообразия. Риччи форма является закрытой 2-формой. Его класс когомологий : с точностью до действительного постоянного множителя, первого класса Черна канонического расслоения, и поэтому является топологическим инвариантом (для компактного ) в том смысле, что это зависит только от топологии и гомотопический класс комплексной структуры.
И наоборот, форма Риччи определяет тензор Риччи по формуле
В локальных голоморфных координатах , форма Риччи имеет вид
где ∂ — оператор Дольбо и
Если тензор Риччи обращается в нуль, то каноническое расслоение плоское, поэтому Структурная группа может быть локально сведена к подгруппе специальная линейная группа . Однако кэлеровы многообразия уже обладают голономией в , и поэтому (ограниченное) голономия Риччи-плоского кэлерова многообразия содержится в . И наоборот, если (ограниченная) голономия 2 -мерный риманиан многообразие содержится в , то многообразие является Риччи-плоским Келерово многообразие ( Кобаяши и Номидзу 1996 , IX, §4).
Обобщение на аффинные связи [ править ]
Тензор Риччи также можно обобщить на произвольные аффинные связности : где это инвариант, играющий особенно важную роль при изучении проективная геометрия (геометрия, связанная с непараметризованная геодезическая) ( Номизу и Сасаки 1994 ). Если обозначает аффинную связность, то тензор кривизны это (1,3)-тензор, определяемый формулой
для любых векторных полей . Тензор Риччи определяется как след:
В этой более общей ситуации тензор Риччи симметричен тогда и только тогда, когда существует локально существует форма параллельного тома для подключения.
кривизна Риччи Дискретная
Понятия кривизны Риччи на дискретных многообразиях были определены на графах и сети, где они количественно определяют свойства локальной дивергенции ребер. Оливье Кривизна Риччи определяется с помощью теории оптимального переноса. [4] Другое (и более раннее) понятие, кривизна Риччи Формана, основано на топологические аргументы. [5]
См. также [ править ]
Сноски [ править ]
- ^ Здесь предполагается, что многообразие имеет уникальную связь Леви-Чивита . Для общей аффинной связности тензор Риччи не обязательно должен быть симметричным.
- ^ Лотт, Джон; Виллани, Седрик (23 июня 2006 г.). «Кривизна Риччи для пространств метрической меры посредством оптимального транспорта». arXiv : math/0412127 .
- ^ Чоу, Беннетт (2004). Поток Риччи: введение . Дэн Кнопф. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3515-7 . OCLC 54692148 .
- ^ Оливье, Янн (01 февраля 2009 г.). «Кривизна Риччи цепей Маркова в метрических пространствах» . Журнал функционального анализа . 256 (3): 810–864. дои : 10.1016/j.jfa.2008.11.001 . ISSN 0022-1236 . S2CID 14316364 .
- ^ Форман (01 февраля 2003 г.). «Метод Бохнера для клеточных комплексов и комбинаторной кривизны Риччи» . Дискретная и вычислительная геометрия . 29 (3): 323–374. дои : 10.1007/s00454-002-0743-x . ISSN 1432-0444 . S2CID 9584267 .
Ссылки [ править ]
- Бесс, AL (1987), Многообразия Эйнштейна , Springer, ISBN 978-3-540-15279-8 .
- Чоу, Беннет и Кнопф, Дэн (2004), Поток Риччи: Введение , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3515-7 .
- Эйзенхарт, Л.П. (1949), Риманова геометрия , Принстонский университет. Нажимать .
- Форман (2003), «Метод Бохнера для клеточных комплексов и комбинаторной кривизны Риччи», Дискретная и вычислительная геометрия , 29 (3): 323–374. doi:10.1007/s00454-002-0743-x . ISSN 1432-0444
- Галлоуэй, Грегори (2000), «Принципы максимума для нулевых гиперповерхностей и теоремы о расщеплении нулей», Annales de l'Institut Henri Poincaré A , 1 (3): 543–567, arXiv : math/9909158 , Bibcode : 2000AnHP.... 1..543G , doi : 10.1007/s000230050006 , S2CID 9619157 .
- Кобаяши, С.; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии, Том 1 , Interscience .
- Кобаяши, Сошичи, Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Том 2 , Wiley-Interscience , ISBN. 978-0-471-15732-8 .
- Локамп, Иоахим (1994), «Метрика отрицательной кривизны Риччи», Annals of Mathematics , Вторая серия, 140 (3), Annals of Mathematics: 655–683, doi : 10.2307/2118620 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118620 , MR 1307899 .
- Морояну, Андрей (2007), Лекции по кэлеровой геометрии , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 69, Издательство Кембриджского университета , arXiv : math/0402223 , doi : 10.1017/CBO9780511618666 , ISBN 978-0-521-68897-0 , МР 2325093 , S2CID 209824092
- Номидзу, Кацуми , Сасаки, Такеши (1994), Аффинная дифференциальная геометрия , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-44177-3 .
- Оливье, Янн (2009), «Кривизна Риччи цепей Маркова в метрических пространствах», Journal of Functional Analysis 256 (3): 810–864. дои:10.1016/j.jfa.2008.11.001 . ISSN 0022-1236
- Риччи, Г. (1903–1904), «Направления и главные инварианты в любом многообразии», Atti R. Inst. Венето , 63 (2): 1233–1239 .
- Л. А. Сидоров (2001) [1994], «Тензор Риччи» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Л. А. Сидоров (2001) [1994], «Кривизна Риччи» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Наджман, Лоран и Ромон, Паскаль (2017): Современные подходы к дискретной кривизне, Спрингер (Чам), Конспекты лекций по математике
Внешние ссылки [ править ]
- З. Шен, К. Сормани «Топология открытых многообразий с неотрицательной кривизной Риччи» (обзор)
- Г. Вэй, «Многообразия с нижней границей кривизны Риччи» (обзор)