Третья фундаментальная форма

В дифференциальной геометрии третья фундаментальная форма — это метрика поверхности, обозначаемая $\mathrm {I\!I\!I}$. В отличие от второй фундаментальной формы , она не зависит от нормали к поверхности .

Определение

Пусть S — оператор формы , а M — гладкая поверхность . Кроме того, пусть u _p и v _p — элементы касательного пространства T _p ( M ) . Третья фундаментальная форма тогда определяется выражением

$\mathrm {I\!I\!I} (\mathbf {u} _{p},\mathbf {v} _{p})=S(\mathbf {u} _{p})\cdot S(\mathbf {v} _{p})\,.$

Свойства

Третья фундаментальная форма полностью выражается через первую фундаментальную форму и вторую фундаментальную форму . Если мы допустим H — среднюю кривизну поверхности, а K — гауссову кривизну поверхности, мы имеем

$\mathrm {I\!I\!I} -2H\mathrm {I\!I} +K\mathrm {I} =0\,.$

Поскольку оператор формы самосопряженный, для u , v ∈ T _p ( M ) находим

$\mathrm {I\!I\!I} (u,v)=\langle Su,Sv\rangle =\langle u,S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u,v\rangle \,.$

См. также

• Метрический тензор
• Первая фундаментальная форма
• Вторая фундаментальная форма
• Тавтологическая одноформа