Радиус кривизны

В дифференциальной геометрии кривизны R является $.$ обратной величиной кривизны радиус Для кривой он равен радиусу дуги окружности , которая лучше всего аппроксимирует кривую в этой точке. Для поверхностей радиус кривизны — это радиус круга, который лучше всего соответствует нормальному сечению или их комбинации . ^[1]^[2]^[3]

Определение

В случае пространственной кривой радиус кривизны равен длине вектора кривизны .

В случае кривой R $—$ абсолютное значение плоской ^[3]

R\equiv \left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|={\frac {1}{\kappa }},

где $s$ — длина дуги от фиксированной точки кривой, $φ$ — касательный угол , а $κ$ — кривизна .

Формула

В двух измерениях

Если кривая задана в декартовых координатах как $y (x)$ , т.е. как график функции , то радиус кривизны равен (при условии, что кривая дифференцируема до порядка 2)

$R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|\,,$

где ${\textstyle y'={\frac {dy}{dx}}\,,}$ ${\textstyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$ и $| г |$ обозначает абсолютное значение $z$ .

Если кривая задана параметрически функциями $x (t)$ и $y (t)$ , то радиус кривизны равен

$R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|$

где ${\textstyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},}$ ${\textstyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$ ${\textstyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},}$ и ${\textstyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}$

Эвристически этот результат можно интерпретировать как ^[2]

$R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}}\,,$

где

$\left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}\,.$

В $n$ измерениях

Если $γ : ℝ \to ℝ н$ - параметризованная кривая в $ℝ н$ тогда радиус кривизны в каждой точке кривой $ρ : ℝ \to ℝ$ определяется выражением ^[3]

$\rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.$

В качестве частного случая, если $f (t)$ является функцией от $ℝ$ до $ℝ$ , то радиус кривизны ее γ графика $(t) = (t, f (t))$ равен

$\rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.$

Вывод

Пусть $γ$ будет таким же, как указано выше, и зафиксируем $t$ . Мы хотим найти радиус $ρ$ параметризованной окружности, которая соответствует $γ$ в его нулевой, первой и второй производных в точке $t$ . Очевидно, что радиус не будет зависеть от положения $γ (t)$ , а только от скорости $γ'(t)$ и ускорения $γ ″(t)$ . Есть только три независимых скаляра , которые можно получить из двух векторов $v$ и $w$ , а именно $v \cdot v$ , $v \cdot w$ и $w \cdot w$ . Таким образом, радиус кривизны должен быть функцией трех скаляров $| γ'(т) | 2$ , $| с ″(т) | 2$ и $γ'(т) \cdot γ ″(т)$ . ^[3]

Общее уравнение параметризованной окружности в $ℝ н$ является

$\mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c}$

где $c \in ℝ н$ — центр круга (не имеет значения, поскольку он исчезает в производных), $a, b \in ℝ н$ — перпендикулярные векторы длины $ρ$ (т. е. $a \cdot a = b \cdot b = ρ 2$ и $a \cdot b = 0$ ), а $h : ℝ \to ℝ$ — произвольная функция, дважды дифференцируемая в точке $t$ .

Соответствующие производные от $g$ получаются

${\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}$

Если теперь мы приравняем эти производные $g$ к соответствующим производным $γ$ в момент $t,$ мы получим

${\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}$

Эти три уравнения с тремя неизвестными ( $ρ$ , $h'(t)$ и $h ″(t)$ ) можно решить относительно $ρ$ , получив формулу для радиуса кривизны:

$\rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}\,,$

или, опуская параметр $t$ для удобства чтения,

$\rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.$

Примеры

Полукруги и круги

Для полукруга радиуса $а$ в верхней полуплоскости с ${\textstyle R=|-a|=a\,,}$

${\begin{aligned}y&={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\\y'&={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\\y''&={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,.\end{aligned}}$

Для полукруга радиуса $а$ в нижней полуплоскости $y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,.$

Круг равный радиуса $а$ имеет радиус кривизны, $а$ .

Эллипсы

В эллипсе с большой осью $и 2a$ малой осью $на,$ большой 2b вершины оси имеют наименьший радиус кривизны среди всех точек ${\textstyle R={b^{2} \over a}}$ ; а вершины на малой оси имеют наибольший радиус кривизны среди всех точек, $R = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ a 2 / b ⁠$ .

Радиус кривизны эллипса как функция параметра $t$ равен ^[4]

$R(t)={\frac {(b^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t)^{3/2}}{ab}}\,,$

где ${\textstyle \theta =\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {y}{x}}{\Big )}=\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {b}{a}}\;\tan \;t{\Big )}\,.}$

Радиус кривизны эллипса как функция $θ$ равен

$R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,$

где эксцентриситет эллипса e $выражением$ определяется

$e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\,.$

Приложения

Для использования в дифференциальной геометрии см. уравнение Чезаро .
Для радиуса кривизны Земли (аппроксимируется сплюснутым эллипсоидом); См. также: измерение дуги
Радиус кривизны также используется в трехчастном уравнении изгиба балок .
Радиус кривизны (оптика)
Тонкопленочные технологии
Печатная электроника
Минимальный радиус поворота железной дороги
АСМ-зонд

Напряжения в полупроводниковых структурах

Напряжение в полупроводниковой структуре, связанное с напыленными тонкими пленками, обычно возникает в результате теплового расширения (теплового напряжения) во время производственного процесса. Термический стресс возникает потому, что осаждение пленки обычно происходит при температуре выше комнатной. При охлаждении от температуры осаждения до комнатной температуры разница в коэффициентах теплового расширения подложки и пленки приводит к термическому напряжению. ^[5]

Внутреннее напряжение возникает из-за микроструктуры, создаваемой в пленке при осаждении атомов на подложку. Растягивающее напряжение возникает из-за микропустот (небольших отверстий, считающихся дефектами) в тонкой пленке из-за притягивающего взаимодействия атомов через пустоты.

Напряжение в тонкопленочных полупроводниковых структурах приводит к короблению пластин. Радиус кривизны напряженной конструкции связан с тензором напряжений в конструкции и может быть описан модифицированной формулой Стоуни . ^[6] Топографию напряженной конструкции, включая радиусы кривизны, можно измерить с помощью методов оптического сканирования. Современные сканеры имеют возможность измерять полную топографию подложки, а также измерять оба главных радиуса кривизны, обеспечивая при этом точность порядка 0,1% для радиусов кривизны 90 метров и более. ^[7]

См. также

Радиус базовой кривой
Радиус изгиба
Степень кривизны (гражданское строительство)
Соприкасающийся круг
Отслеживать кривую перехода

Ссылки

^ Вайсстен, Эрик. «Радиус кривизны» . Вольфрам Математический мир . Проверено 15 августа 2016 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Кишан, Хари (2007). Дифференциальное исчисление . Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д С любовью, Клайд Э .; Рейнвилл, Эрл Д. (1962). Дифференциальное и интегральное исчисление (Шестое изд.). Нью-Йорк: Макмиллан.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Эллипс» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 февраля 2022 г.
^ «Контроль стресса в тонких пленках» . Flipchips.com . Проверено 22 апреля 2016 г.
^ «Об определении напряжения пленки при изгибе подложки: формула Стоуни и ее пределы» (PDF) . Qucosa.de . Архивировано из оригинала (PDF) 8 августа 2017 г. Проверено 22 апреля 2016 г.
^ Питер Валецкий. «Модель Х» . Zebraoptical.com . Проверено 22 апреля 2016 г.

Дальнейшее чтение

ду Карму, Манфредо (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Прентис-Холл. ISBN 0-13-212589-7 .

Внешние ссылки

[1] Вайсстен, Эрик. «Радиус кривизны» . Вольфрам Математический мир . Проверено 15 августа 2016 г.

[:0-2] Перейти обратно: ^а ^б Кишан, Хари (2007). Дифференциальное исчисление . Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202 .

[:1-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д С любовью, Клайд Э .; Рейнвилл, Эрл Д. (1962). Дифференциальное и интегральное исчисление (Шестое изд.). Нью-Йорк: Макмиллан.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Эллипс» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 февраля 2022 г.

[5] «Контроль стресса в тонких пленках» . Flipchips.com . Проверено 22 апреля 2016 г.

[6] «Об определении напряжения пленки при изгибе подложки: формула Стоуни и ее пределы» (PDF) . Qucosa.de . Архивировано из оригинала (PDF) 8 августа 2017 г. Проверено 22 апреля 2016 г.

[7] Питер Валецкий. «Модель Х» . Zebraoptical.com . Проверено 22 апреля 2016 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Различные понятия кривизны, определенные в дифференциальной геометрии.
Дифференциальная геометрия кривых	Кривизна Кручение кривой Формулы Френе – Серре Радиус кривизны (приложения) Аффинная кривизна Полная кривизна Полная абсолютная кривизна
Дифференциальная геометрия поверхностей	Главные кривизны Гауссова кривизна Средняя кривизна Рамка Дарбу Уравнения Гаусса – Кодацци Первая фундаментальная форма Вторая фундаментальная форма Третья фундаментальная форма
Риманова геометрия	Кривизна римановых многообразий Тензор кривизны Римана Фигурные кривые Скалярная кривизна Секционная кривизна
Кривизна соединений	Форма кривизны Тензор кручения Сокривизна Голономия